高等数学函数的极限与连续习题精选及答案.pdf
1、函数及函数相同错误当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。x31fx x x 1及gx x 1函数关系相同，但定义域不同，所以f x及g x是不同2的函数。，则fx为无穷大fx M（M为一个常数）2、如果错误根据无穷大的定义，此题是错误的。3、如果数列有界，则极限存在错误如：数列xn1n是有界数列，但极限不存在4、liman a，liman ann，lim错误如：数列an5、如果limx1nfx A，则fx A（当x 时，为无穷小）n(1)n1，但lim(1)n不存在。n正确根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。6、如果，则 正确lim o1，是 lim1 0，即是的高阶无穷小量。lim27、当x 0时，1cosx及x是同阶无穷小xx 2sinsin1cosx1122 lim lim2正确limx0 x0 x04 x2x2x22118、limxsin limxlimsin 0 x0 xx0 x0 x1错误limsin不存在，不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。x0 x2219、lim1 ex0 xx1错误lim1 exxx10、点x 0是函数y 的无穷间断点xxx xxlimlim1 1，lim错误limx00 xx00 xx00 xx00 xx点x 0是函数y 的第一类间断点x111、函数fx必在闭区间a,b内取得最大值、最小值x1错误根据连续函数在闭区间上的性质，fx在x 0处不连续x第 1 页x函数二、填空题：1、设fx1在闭区间a,b内不一定取得最大值、最小值xy fx的定义域是0,1，则x（）fe的定义域是（(,0)f 1sin2x）；）；（）（）的定义域是（flg x的定义域是（(1,10)xx x k,x k(k Z)2）答案：（1）0 e 12（2）0 1sin x 1（3）0 lgx 1 x 2 2 x 0 x 0的定义域是（2、函数fx0 x230 x 43、设2,4）fx sin x2，x x21，则fx（sin x21）x4、limnsin（x）nnx 1 1 xx5、设fxcos，lim fx（1 x 1，则lim fx（2）x10 x102x 1x120）1cosx1x 02a f x6、设fx，如果在处连续，则（）x 0 x2x 0a1cosx11cosx1 f xlim，如果在处连续，则lim f0 ax 0 x0 x022x2x27、设x0是初等函数fx定义区间内的点，则lim fx（fx0）初等函数8、函数fx在定义区间内连续，lim fxfx0 xx02xx0y 19、若xlimx 1当x（1）时为无穷大，当x（）时为无穷小x2 x 1 ax b 0，则a（1），b（12）欲使上式成立，令上式化简为10、函数1 a2 0，a 1，的间断点是（x 0,x 1）11xx2 x 211、fx2的连续区间是（,1,1,3,3,x 4x 3ax 2sin x 2，则a（2）12、若limxxsin x1（0）13、lim，lim xsin（1），xxxx第 2 页fx1）14、limsin(arctan x)（不存在），lim sin(arccot x)（0）xxn三、选择填空：1、如果lim xn a，则数列xn是（b）a.单调递增数列b有界数列c发散数列2、函数fx logax x21x是（a）a奇函数b偶函数c非奇非偶函数3、当x 0时，e 1是x的（c）a高阶无穷小b低阶无穷小c等价无穷小4、如果函数fx在x0点的某个邻域内恒有fx M（M是正数），则函数fx在该邻域内（c）a极限存在b连续c有界5、函数fx1在（1 xsin xxc）条件下趋于.ax6、设函数1 bx 10 cx 10，则limfxx0fx（c）abc不存在根据极限存在定理知：lim7、如果函数fx当x x0时极限存在，则函数fx在x0点（x0fx不存在。c）fx当x x0时极限存在及否及函数在该点有无定义没有关系。1118、数列，n，当n 时为（23na无穷大b无穷小c发散但不是无穷大9、函数a有定义b无定义 c不一定有定义c）fx在x0点有极限是函数fx在x0点连续的（b）a充分条件b必要条件c充分必要条件10、点x 0是函数arctana连续点b第一类间断点c第二类间断点根据左右极限存在的点为第一类间断点。11、点x1的（xb）0是函数sina连续点b第一类间断点c第二类间断点四、计算下列极限：1的（xc）n 11、limn3nnn 111(1)n1lim lim()解nn33n3n3n2、limtan3xx0sin2xtan3x3x3lim lim（x 0,sin2x2x,tan3x3x）解x0sin2xx02x23、limx x x xxn4、limn2 n 1 n2 n第 3 页解limnn2 n 1n2n n limn2 n 1n2 n2 n2 n 1n2 n2n n 1n nx3 x25、limx00 x sin xxsin x6、lim2x01 x1x 17、limx0 x 18、limx xx 1tan xsin x9、limx0 x3x10、limx001cos2xx1解x00limx1cos2xx limx122x2xx00 12 x111、limxx11 1x1e1x x1lim lim2xxx1eex1 解1x12、lim1xln1xx111 lim xln1 limln1 lnlim1 1解xxxxxx13、limxxx cosxxx cosxcosx1xcosxx1lim limxxcosxxcosx解1x第 4 页14、lim12x1x21x 111 x112lim2 lim2 lim 解x1x11 x2x 1x1x1x 1415、limx44x 23x 341444x 4xlim lim1x 33xsin x2x 2解16、lim311cosx3xsin xsin xsin xlim lim2 lim2x001cosxx00 x00 x12解x2 111lim 11117、lim解n12122323n n1nn14x00n第 5 页
