高中数学正切函数的性质与图象学案 新人教A版必修.pdf

1 14.34.3正切函数的性质与图象正切函数的性质与图象1理解正切函数的性质，掌握正切函数的图象的作法2能利用正切函数的图象与性质解决与正切函数有关的基本问题基础梳理一、正切函数的性质1正切函数的定义域和值域：定义域为x xk，kZ，值域为 R22正切函数的周期性：ytanx的周期是k(kZ，k0)，最小正周期是3正切函数的奇偶性与对称性：正切函数是奇函数，其图象关于原点中心对称4正切函数的单调性：正切函数在开区间k，k(kZ)内都是增函数22练习：正切函数ytanx在区间，上的值域为1，144思考应用1能否说正切函数在整个定义域上是增函数？解析：不能正切函数在整个定义域上不具有单调性，因为它的定义域不连续，所以，不能说它在整个定义域上是增函数，正切函数在它的任一个连续区间内是单调递增函数举反例：x15，x2，x10，得kxk(kZ)又ytanx在k，k上是增函222数函数ylg tanx的增区间是k，k(kZ)故选 B.22tan 600的值是(D)A33 B.C3 D.333解析：tan 600tan(360240)tan 240tan(18060)tan 603.3直线ya(a为常数)与函数ytanx(为常数且0)的图象相交的相邻两点间的距离是(C)2A B.C.D与a值有关解析：利用图象，直线ya与函数ytanx的图象相交，相邻两点间的距离就是ytanx的一个最小正周期，即为.故选 C.4函数f(x)tanx的单调增区间为(C)4A.k，k，kZ22B(k，(k1)，kZC.k3，k，kZ443，k，kZ44D.k5方程 tanx3(xf(1)f(1)Bf(0)f(1)f(1)Cf(1)f(0)f(1)Df(1)f(0)f(1)解析：由kxk，kZ 得242k3xk，kZ，44f(1)f(0)又f(1)tan13tan1，441333，且 1，1，010，4444f(1)f(1)f(0)，故选 A.7函数f(x)tan 2x的定义域为(A)tanxA.xxR且xk4，kZB.xxR且xk，kZ2，kZ4，kZ4C.xxR且xkD.xxR且xk8利用正切函数图象解不等式(1)tanx1；(2)tan 2x1.分析：本题可先作出ytanx在，上的图象，然后由 tan1，并结合图224象的升降(单调性)便可去掉法则“tan”，从而建立自变量间的关系解析：(1)因为 tanx1，tan1，在，内，满足条件的x为：4422x，由 正 切 函 数 的 图 象 及 周 期 性 可 知，满 足 此 不 等 式 的x的 取 值 集 合 为2xkxk，kZ.24(2)在，内，tan1.所以不等式 tan 2x1 的解集由不等式k22242xkkk，kZ 确定解得x，kZ.所以不等式 tan 2x1 的解集为42428kkxx，kZ.428229已知f(x)x2xtan1，x1，3，其中，.22(1)当时，求函数f(x)的最大值与最小值；6(2)求的取值范围，使yf(x)在区间1，3上是单调函数解析：(1)当232时，f(x)xx1.63x1，3，当x34时，f(x)min；3323当x1 时，f(x)max.3(2)函数f(x)x2xtan1 的对称轴为xtan，yf(x)在区间1，3上是单调函数，tan1 或tan3，即 tan1 或 tan3.又2，或，222342即的取值范围是，.23421正切函数单调区间的求法：求yAtan(x)的单调区间，可先用诱导公式把化为正值，再由不等式kxk(kZ)求得x的范围即可222比较大小问题：比较两个同名函数值的大小，应先保证自变量在同一单调区间内，再利用函数单调性比较大小如果自变量不在同一单调区间内，则可用介值法比较大小3解简单的三角不等式：一般地，求解简单的三角不等式时，既可以用三角函数线，又可以用三角函数的图象，先得到一个周期内的解集，再加上周期的整数倍，即可得所求的解集