高中数学——圆锥曲线试题精选(含答案).pdf
高考圆锥曲线试题精选一、选择题：一、选择题：（每小题（每小题 5 5 分，计分，计 5050 分）分）x2y21的焦距为（）1、(2008(2008 海南、宁夏文海南、宁夏文)双曲线102A.32B.42C.33D.43x2 y21的两个焦点为 F、F，过 F 作垂直于x轴的2.（20042004 全国卷文、理）全国卷文、理）椭圆4121直线及椭圆相交，一个交点为 P，则|APF2|=（）37 B3 C D42223（20062006 辽宁文）辽宁文）方程2x 5x2 0的两个根可分别作为（一椭圆和一双曲线的离心率一椭圆和一抛物线的离心率两抛物线的离心率两椭圆的离心率4（20062006 四川文、理）四川文、理）直线3 及抛物线）y2 4x交于 A、B 两点，过 A、B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为 P、Q，则梯形 APQB 的面积为（）（A）48.（B）56（C）64（D）72.x2y21的右焦点为圆心，且及其渐近线相切的圆的方程是()5.(2007(2007 福建理福建理)以双曲线916A.C.B.D.6 6（20042004 全国卷理）全国卷理）已知椭圆的中心在原点，离心率e 1，且它的一个焦点及抛物线2y2 4x的焦点重合，则此椭圆方程为（）x2y2x2y2x2x221 B1 C y1 D y21A438624x2y21(mn 0)离心率为 2，有一个焦点及抛物线y2 4x的焦7（20052005 湖北文、理）湖北文、理）双曲线mn点重合，则mn的值为（）33168 B C D16833x216y221的左焦点在抛物线y=2px的准线上,则 p 的值为()8.(20088.(2008 重庆文重庆文)若双曲线3pA2(A)2(B)3(C)4(D)42x2y2x2y21和双曲线1有公共的焦点，那么9 9（20022002 北京文）北京文）已知椭圆3m25n22m23n2双曲线的渐近线方程是（）Ax 15y2By 15x2Cx 3y4Dy 3x4x2y2210（20032003 春招北京文、理）春招北京文、理）在同一坐标系中，方程221与ax by 0(a b 0)的曲线ab大致是()二、二、填空题：填空题：（每小题（每小题 5 5分，计分，计 2020 分）分）11.（20052005 上海文）上海文）若椭圆长轴长及短轴长之比为 2，它的一个焦点yyyOxxOxOxyOABCD第 1 页是2 15,0，则椭圆的标准方程是_3x2y2x，12(2008(2008 江西文江西文)已知双曲线221(a 0,b 0)的两条渐近线方程为y 3ab若顶点到渐近线的距离为 1，则双曲线方程为x2y21的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的13.（20072007 上海文）上海文）以双曲线45抛物线方程是14.(20082008 天津理天津理)已知圆 C 的圆心及抛物线y2 4x的焦点关于直线y x对称.直线4x 3y 2 0及圆 C 相交于A,B两点，且AB 6,则圆 C 的方程为 .三、解答题：三、解答题：（15151818 题各题各 1313 分，分，1919、2020 题各题各 1414 分）分）x2y215.15.（20062006 北京文）北京文）椭圆 C:221(a b 0)的两个焦点为 F,F,点 P 在椭圆 C 上，且ab414PF1 F1F2,|PF1|,|PF2|.（）求椭圆 C 的方程；33()若直线l过圆 x+y+4x-2y=0 的圆心 M,交椭圆 C 于A,B两点,且 A、B 关于点 M 对称,求直线l的方1222程.16（20052005 重庆文）重庆文）已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为（2，0），右顶点为(（1）求双曲线 C 的方程；（2）若直线l3,0):y kx 2及双曲线 C 恒有两个不同的交点 A 和 B，且OAOB 2（其中 O 为原点）.求 k 的取值范围.217.(2007(2007 安徽文安徽文)设F是抛物线G:x=4y的焦点.()过点P（0，-4）作抛物线G的切线,求切线方程:FB 0,延长AF、BF分别交抛物线G于点()设A、B为抛物线G上异于原点的两点，且满足FAC,D，求四边形ABCD面积的最小值.18(2008(2008 辽宁文辽宁文)在平面直角坐标系xOy中，点P到两点(0，设点P的轨迹为C（）写出C的方程；（）设直线3)，(0，3)的距离之和等于 4，的值是多少？y kx1及C交于A，B两点k为何值时OAOB？此时AB22y19.（20022002 广东、河南、江苏）广东、河南、江苏）A、B 是双曲线 x 1 上的两点，点 N(1,2)是线段 AB 的中点2(1)求直线 AB 的方程；(2)如果线段 AB 的垂直平分线及双曲线相交于 C、D 两点，那么 A、B、C、D 四点是否共圆？为什么？20.（20072007 福建理福建理)如图，已知点 F（1，0），直线 l：x1，P 为平面上的动点，过 P 作直线 l 的垂线，垂足为点 Q，且。(1)求动点 P 的轨迹 C 的方程；（2）过点 F 的直线交轨迹 C 于 A、B 两点，交直线 l 于点 M，已知，求的值。“圆锥曲线及方程”单元测试（参考答案）一、选择题：一、选择题：（每小题（每小题 5 5 分，计分，计 5050 分）分）二、填空题：二、填空题：（每小题（每小题 5 5 分，计分，计 2020 分）分）x2y2x23y221；1211.1 13.y12x 14.802044x2(y 1)210.三、解答题：三、解答题：（15151818 题各题各 1313 分，分，1919、2020 题各题各 1414 分）分）15.15.解：()因为点P在椭圆C上，所以2a在 RtPF1F2中，222 PF1 PF2 6，a=3.2F1F2PF2 PF12 2 5,故椭圆的半焦距c=5,1.x2y2从而b=ac=4,所以椭圆C的方程为94()解法一：设A，B的坐标分别为（x1,y1）、（x2,y2）.第 2 页已知圆的方程为（x+2）+(y1)=5,所以圆心M的坐标为（2，1）.从而可设直线l的方程为y=k(x+2)+1,2222代入椭圆C的方程得（4+9k）x+(36k+18k)x+36k+36k27=0.22x1 x218k29k 2.因为A，B关于点M对称.，所以2249k88解得k，所以直线l的方程为y(x 2)1,99即 8x-9y+25=0.(经检验，所求直线方程符合题意)22()解法二：已知圆的方程为（x+2）+(y1)=5,所以圆心M的坐标为（2，1）.设A，B的坐标分别为（x1,y1）,(x2,y2).由题意x1x2且由得(x1 x2)(x1 x2)(y1 y2)(y1 y2)0.94因为A、B关于点M对称，所以x1+x2=4,y1+y2=2,代入得y1 y2x1 x2888，即直线l的斜率为，所以直线l的方程为y1（x+2），999即 8x9y+25=0.(经检验，所求直线方程符合题意.)x2y216解：（）设双曲线方程为221(a 0,b 0).abx2 y21.由已知得a 3,c 2,再由a b 2,得b1.故双曲线 C 的方程为3x2 y21得(13k2)x2 6 2kx 9 0.（）将y kx 2代入3213k 0,由直线l及双曲线交于不同的两点得222 (6 2k)36(13k)36(1 k)0.122即k且k1.36 2k9,x x设A(xA,yA),B(xB,yB)，则xA xB，AB2213k13k2222由OAOB 2得xAxB yAyB 2,而xAxB yAyB xAxB(kxA2)(kxB2)(k21)xAxB2k(xA xB)23k2 73k291 2,即 0,解此不等式得于是 k2 3.223k 13k 1312由、得 k1.333)(,1).故k的取值范围为(1,332x0 xx).由y,知抛物线在Q点处的切线斜率为0，17.解：（）设切点Q(x0,42222x0 x0 x0 x0(x x0),即y x.故所求切线方程为y 42242x02,x016,x0 4.所以切线方程为y=2x-4.因为点P（0，-4）在切线上，所以 4 4()设A(x1,y1),C(x2,y2).由题设知，直线AC的斜率k存在，由对称性，不妨设k0.因直线AC过焦点F（0，1），所以直线AC的方程为y=kx+1.y kx1,2点A，C的坐标满足方程组消去 y，得x 4kx 4 0,2x 4y,第 3 页x1 x2 4k,由根及系数的关系知x x 4.1214(1 k2)同理可求得BD 4(1(4)2)k2.当k=1 时，等号成立.所以，四边形ABCD面积的最小值为 32.18解：（）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以(0，3)，(03)为焦点，2长半轴为 2 的椭圆它的短半轴b 22(3)21，故曲线C的方程为x2y412y2（）设A(x1，y)，B(xyx 1，12，2)，其坐标满足4y kx1.消去y并整理得(k2 4)x2 2kx3 0，故x2k31 x2 k24，x1x2 k24OA OB，即x1x2 y1y2 0 而y1y2 k2x1x2 k(x1 x2)1，于是x31x2 y1y2 k243k22k24k21k24k241k24所以k 12时，x1x2 y1y2 0，故OA OB当k 12时，x4121 x217，x1x2 17而(x42222 x1)(x2 x1)4x1x2172443174313172，所以AB 4 651719.解：(1)依题意，可设直线方程为 yk(x1)22代入 x2y21，整理得(2k)x22k(2k)x(2k)220记 A(x,y22k(2k)11),B(x2,y2)，则 x1、x2是方程的两个不同的实数根，所以 2k 0,且 x1x22k2由 N(1,2)是 AB 中点得12(x1x2)1 k(2k)2k2，解得 k1，所易知 AB 的方程为 yx1.(2)将 k1 代入方程得 x22x30，解出 x11,x23，由 yx1 得 y10,y24即 A、B 的坐标分别为(1,0)和(3，4)由 CD 垂直平分 AB，得直线 CD 的方程为 y(x1)2，即 y3x，代入双曲线方程，整理，得 x26x110记 C(x3,y3),D(x4,y4)，以及 CD 中点为 M(x0,y0)，则 x3、x4是方程的两个的实数根，所以 x x1346,x3x411，从而 x02(x3x4)3,y03x06|CD|(x22223x4)(y3y4)2(x3x4)2(x3x4)4x3x4410|MC|MD|12|CD|210，又|MA|MB|(x220 x1)(y0y1)436210即 A、B、C、D 四点到点 M 的距离相等，所以 A、B、C、D 四点共圆.20.（）解法一：设点P(x，y)，则Q(1，y)，由得：(x1，0)(2，y)(x1，y)(2，y)，化简得C:y2 4xy第 4 页QPB（）解法二：由得：FQ(PQ PF)0，所以点P的轨迹C是抛物线，由题意，轨迹C的方程为：（）设直线y2 4xAB的方程为：x my1(m 0)2，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，又M1my2 4x，联立方程组，消去x得：x my1，y y2 4m，y24my 4 0，(4m)212 0，故1y y 41222由MA1AF，MB 2BF得：y1 1y1，y2 2y2，mm22整理得：1 1，2 1，my1my21 2 22 y y2211()=21my1y2m y1y2=-2-2 4m=0.m 4第 5 页
