结构力学授课教案 .pdf
第九章第九章 力矩分配法力矩分配法？本章的问题：？本章的问题：A.B.C.D.E.F.力矩分配法的适用条件是什么？什么叫固端弯矩？约束力矩如何计算？什么是转动刚度、分配系数和传递系数？什么是不平衡力矩？如何分配？力矩分配法的计算步骤如何？对于多结点的连续梁和无侧移的刚架是如何分配和传递弯矩的？力矩分配法是位移法的渐近法。适用于连续梁和无结点线位移的刚架。91 力矩分配法的基本概念力矩分配法的理论基础是位移法，属于位移法的渐近方法。适用范围：是连续梁和无结点线位移的刚架。针对本方法，下面介绍有关力矩分配法的几个相关概念。1、名词解释（1）转动刚度转动刚度表示杆端对转动的抵抗能力。杆端的转动刚度以 S 表示，它在数值上等于使杆端产生单位转角时需要施加的力矩。图 91 给出了等截面杆件在 A 端的转动刚度 SAB的数值。关于 SAB应当注意以下几点：（1）在 SAB中 A 点是施力端，B 点称为远端。（2）SAB是指施力端 A 在没有线位移的条件下的转动刚度。在图 91 中，A 端画成铰支座。目的是强调A 端只能转动，不能移动。由图 91 得：各种情况下杆件的转动刚度分别为:远端固定：S4i远端简支：S3i远端滑动：S i远端自由：S0i：是线刚度，其值iEIL图 91 各种结构的转动刚度（2）分配系数图 92 所示三杆 AB、AD、AC 在刚结点 A 连接在一起。远端B、C、D 端分别为固定端，滑动支座，铰支座。假设有外荷载 M 作用在 A 端，使结点 A 产生转角A，然后达到平衡。试求杆端弯矩MAB、MAC、MAD。由转动刚度的定义可知：MAB=SABA=4iABAMAC=SACA=iACAMAD=SADA=3iADa取结点 A 作隔离体，由平衡方程M=0得：M=SABA+SACA+SADAA式中MMSAB SAC SADSAS表示各杆A端转动刚度之和。A将A值代入上式，得AMABMACMADSABMSASACMSASADMSA图 92 刚结点作用外力偶由上式可以得出：各杆 A 端的弯矩与各杆的转动刚度成正比。即：MAj=AjMAj称为分配系数。其中 j 可以是远端 B、C、D。AB称为杆 AB 在 A 端的分配系数。即等于杆 AB 的转动刚度与交于 A 点的各杆的转动刚度之和的比值。注意：同一结点各杆分配系数之和应等于零。即=AB+AC+AD=1总之：作用于结点 A 的力偶荷载 M，按各杆端的分配系数分配于各杆的A 端。（3）传递系数在图 92 中，力偶荷载M 作用于结点 A，使各杆近端产生弯矩，同时也使各杆远端产生弯矩。由位移法的刚度方程可得杆端弯矩的具体数值如下：MAB=4iABAM B A=2iABAMAC=iACAMCA=iACAMAD=3iADAMDA=0由上式可看出，远端弯矩和近端弯矩的比值称为传递系数用 CAB表示。称为传递系数。传递系数表示当近端有转角时，远端弯矩与近端弯矩的比值。对等截面杆件来说：传递系数C 随远端的支承情况而定。具体为：远端固定：C 0.5远端简支：C0远端滑动：C-1一旦已知传递系数、和近端弯矩，远端弯矩自然可求出：MBA=CABMAB就图 92 所示的问题的计算方法归纳如下：结点 A 作用的力偶荷载 M，按各杆的分配系数给各杆的近端，远端弯矩等于近端弯矩乘以传递系数。2 2、基本运算、基本运算（单结点的力矩分配）（单结点的力矩分配）先从只有一个节点角位移的连续梁入手。如图93a 所示。一个两跨连续梁。阻止转动的约束放松约束图 93 单结点的力矩分配过程在力矩分配法中，我们不需列方程计算，就直接计算各杆的杆端弯矩。注意：杆端弯矩以顺时针为正。计算步骤表述如下：（1）假想我们先在结点 B 加一个阻止转动的刚臂，（即限制其转动）见图93b，然后再加砝码，此时，只有AB 跨有变形；在此步骤中，由于约束的存在，使连续梁变成两个单跨梁。在被锁住的结点 B 上，通过 AB 跨的固端弯矩 MBAF，再从图 93a 中的 BC 跨，得 BC 的固端弯矩为 MBCF=0，由MB=0 即 MBMBAFMBCF，得到到了结点 B 的约束力矩 MB；约束力矩等于固端弯矩之和，以顺时针为正。（2）连续梁的结点 B 原来无约束，当然也不存在约束力矩MB，要与原结构相吻合，须去掉约束和不平衡力矩如图 9-3c。所以应放松结点和反方向加不平衡力矩（MB）。这时在结点B 上就有一外力偶作用，根据前面的结论进行分配以及传递。（3）把以上两步的情况进行叠加，就得到与原图（93a）相同的情况。因此，把图 93b、9-3c中的杆端弯矩相叠加，就得到实际的杆端弯矩（图93a）。所以：力矩分配法的物理概念简述如下：先在刚结点 B 加上阻止转动的约束，把连续梁分为单跨梁，求出杆端产生的固端弯矩。结点B各杆固端弯矩之和即为约束力矩MB。去掉约束（即相当于在结点B 新加MB）,求出各杆 B 端新产生的分配力矩和远端新产生的传递力矩。叠加各杆端记下的力矩就得到实际杆端弯矩。下面通过例题来说明方法的应用。例例 9.19.1用力矩分配法计算图示连续梁，绘其弯矩图。EI常数解：（1）先在节点 B 加上阻止转动的约束，计算由荷载产生的固端弯矩，计算结果如下：MFABql22062 60kN.m1212ql22062 60kN.m121233326PL 36KN.m1616FMABFMBC 在节点 B 处，各杆端弯矩总和为约束力矩 MB,MB=60-36=24kN.m(2)放松节点 B，这相当于在节点 B 施加一个外力偶荷载24kN.m.节点 B 上作用的力偶荷载，按分配系数分配于两杆的B 端。并使远端（A 端）产生传递力矩，具体演算如下：杆 AB 和 BC 的线刚度相等，都为 ii 转动刚度（远端固定为 4i,远端铰结为 3i）EILsAB 4iAB 4isBC3iBC3i.分配系数：ABBCSAB4i 0.571SAB SBC4i 3iSBC3i 0.429SAB SBC4i 3i校核BABC1计算过程可列表进行。计计算算过过程程根据杆端弯矩绘弯矩图如下：杆端分配系数固端弯矩分配传递最终弯矩ABBABCCB0.5710.42960606.8513.766.8546.3036010.3046.300 92多结点的力矩分配上节我们分析了单结点的力矩分配，对于多结点的连续梁和刚架，只要逐个对每一个结点应用上节的基本运算，就可求出杆端弯矩。图 94a 表示一个三跨连续梁，结构的外荷载是在 BC 跨上加一砝码，变形如图 94a，下面我们说明分析过程。用力矩分配法计算多跨连续梁原理和单节点相似，逐个放松节点进行分配、传递。循环进行，直到最后分配的弯矩很小，满足精度要求，便可停止计算，然后把杆端的固端弯矩、分配弯矩、传递弯矩相加便得到杆端的最后弯矩。具体计算步骤如下：图 9-4 三跨连续梁的力矩分配过程第一步，先在结点 BC 上加约束，阻止结点转动，然后再加砝码（94b），这时由于约束的存在使得连续梁被分成三个单跨梁，仅 BC 一跨有变形，如图 94b 中虚线所示。第二步，去掉结点 B 的约束（即放松 B 结点）（图 94c 注意：此时结点 C 仍有约束），这时结点 B 将有转角，累加的总变形如图 94c 中虚线所示。第三步，重新将B 点锁住，然后去掉结点C 的约束。累加的总变形如图94d 中虚线所示。此时的变形已比较接近实际情况的变形了。依次类推，再重复第二步和第三步，即轮流去掉结点B 和结点 C 的约束，则连续梁的变形和内力很快就达到实际的状态。最后，将各项步骤所得的杆端弯矩进行叠加，即得到所求的杆端弯矩。注意：不平衡力矩的大小和方向，正确计算分配系数和传递系数。特别要注意符号问题。下面通过例题来说明该方法的应用。例例 9.29.2 用力矩分配法计算图示连续梁，并绘弯矩图。解：现按演算格式进行计算（1）计算各节点的分配系数；因在计算中只有 B、C 两个节点有角位移，在这两个节点施加约束并进行放松，所以只需计算节点 B、C 的分配系数，为简单起见，不妨设 EI=1。计算分配系数如下。节点 BSBA 4iBA 410.6676SBC 4iBC 41.516SBCSBA0.6671所以分配系数：BA0.4BA0.6S0.6671S0.6671BB验算BABC1同理节点 CSCB1.52 4iCB 41SCD3iCD3166CBSCBS110.5CDCD0.5S11S11CC验算CBCD1（2）求固端弯矩，锁住节点 B、C。按单跨的超静定梁确定固端弯矩。计算如下：11FMBC PL 806 60kN.m88MFCB11 PL 806 60kN.m8811FMCD ql2 2062 90kN.m88（3）分配过程。结合表格进行；放松节点 B，（此时节点 C 仍被锁住）按单节点问题进行分配和传递。节点 B 的约束力矩为60kN.m，放松节点 B，等于在节点 B 上施加一与约束力矩反向的力偶荷载，60kN.mBA 和 BC 杆端的分配弯矩为0.46024kN.m,0.660=36kN.m杆端 CB 的传递弯矩为：13618kN.m212412kN.m2杆端 AB 的传递弯矩为将以上分配和传递弯矩分别写在各杆端的相应位置，经过分配和传递，节点 B 已经平衡，可在分配弯矩的数字下面画一横线，以示区别，同时用箭头表示将分配弯矩传递到远端节点上，并写明各杆的远端弯矩。（4）重新锁住节点 B 并放松节点 C，节点 C 的约束力矩为：60901812kN.m放松节点 C，等于在节点 C 上施加一与约束力矩反向的力偶荷载 12kN.m.CB、CD 两杆端的分配弯矩都是：0.5126kN.m杆端 BC的传递弯矩为 0.563kN.m.将分配弯矩和传递弯矩按同样的方法表示于各杆端。此时，节点 C 已经平衡，但节点 B 又有新的约束力矩，以上完成了力矩分配法的第一个循环，按此原理再进行弯矩分配，详细见表。（5）将各杆的固端弯矩、历次的分配弯矩、传递弯矩相加，即得最后的杆端弯矩。计计 算算 过程过程杆端ABBABCCBCDDC分 配系 数固 端弯 矩0060609000.40.60.500.5弯 矩分 配与传 递122436318660.450.040.61.21.80.90.050.090.230.450.140.070.04最 终弯 矩11.3522.7122.7183.52-83.52 0
