全国高考理科数学[全国一卷]试题及答案解析.pdf
全国普通高等学校招生全国统一考试（全国一卷）理科数学一、选择题：（本题有 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。）1、设 z=，则z=（）A.0 B.12 C.1 D.22、已知集合 A=x|x2-x-20，则 CRA=（）A、x|-1x2 B、x|-1x2C、x|x2 D、x|x-1x|x 23、某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：建设前经济收入构成比例建设前经济收入构成比例建设后经济收入构成比例建设后经济收入构成比例则下面结论中不正确的是（）A.B.C.D.新农村建设后，种植收入减少新农村建设后，其他收入增加了一倍以上新农村建设后，养殖收入增加了一倍新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4、记 S Sn n为等差数列a an n的前 n 项和，若 3S S3 3=S=S2 2+S+S4 4，a a1 1=2，则 a a5 5=（）A、-12 B、-10 C、10 D、125、设函数f（x）=x+（a-1）x+ax.若f（x）为奇函数，则曲线 y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为（）A.y=-2xB.y=-x C.y=2x D.y=x6、在ABC 中，AD 为 BC 边上的中线，E 为 AD 的中点，则 EB=（）A.34 AB-14 AC B.14 AB-34 AC C.34 AB+14 AC D.14 AB+34 AC7、某圆柱的高为 2，底面周长为 16，其三视图如右图。圆柱表面上的点 M 在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点 N 在左视图上的对应点为 B，则在此圆柱侧面上，从 M 到 N 的路径中，最短路径的长度为（）A.217B.25C.3D.28.设抛物线 C：y=4x 的焦点为 F，过点（-2，0）且斜率为 23 的直线与 C 交于 M，N 两点，则FM FN=()A.5 B.6 C.7 D.89.已知函数 f（x）=围是()A.-1，0）B.0，+）C.-1，+）D.1，+）10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形。此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形 ABC 的斜边 BC，直角边 AB，AC.ABC 的三边所围成的区域记为，黑色部分记为，其余部分记为。在整个图形中随机取一点，此点取自，的概率分别记为p1，p2，p3，则()A.p1=p2B.p1=p3C.p2=p3D.p1=p2+p311.已知双曲线 C：x23 -y-y=1=1，O 为坐标原点，F 为 C 的右焦点，过 F 的直线与 C 的两条渐近线的交点分别为M，N.若OMN为直角三角形，则MN=()g（x）=f（x）+x+a，若 g（x）存在 2 个零点，则 a 的取值范 A.32 B.3 C.D.412.已知正方体的棱长为 1，每条棱所在直线与平面 所成的角都相等，则 截此正方体所得截面面积的最大值为（）A.二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13.若 x，y 满足约束条件则 z=3x+2y 的最大值为 .B.C.D.14.记 Sn为数列an的前 n 项和.若 Sn=2an+1，则 S6=.15.从 2 位女生，4 位男生中选 3 人参加科技比赛，且至少有 1 位女生入选，则不同的选法共有种.（用数字填写答案）16.已知函数f（x）=2sinx+sin2x，则f（x）的最小值是 .三.解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共（一）必考题：共 6060 分。分。17.（12 分）在平面四边形 ABCD 中，ADC=90，A=45，AB=2，BD=5.（1）求 cosADB；（2）若DC=18.（12 分），求BC.如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把DFC折起，使点C到达点P的位置，且PFBF.（1）证明：平面PEF平面ABFD；（2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值.19.（12 分）设椭圆 C：x22 +y+y=1=1 的右焦点为 F，过 F 的直线 l 与 C 交于 A，B 两点，点 M 的坐标为（2，0）.（1）当 l 与 x 轴垂直时，求直线 AM 的方程；（2）设 O 为坐标原点，证明：OMA=OMB.20、（12 分）某工厂的某种产品成箱包装，每箱 200 件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品，检验时，先从这箱产品中任取 20 件产品作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品做检验，设每件产品为不合格品的概率都为P（0P1），且各件产品是否为不合格品相互独立。（1）记 20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为f（P），求f（P）的最大值点（2）现对一箱产品检验了 20 件，结果恰有 2 件不合格品，以（1）中确定的。作为 P 的值，已知每件产品的检验费用为 2 元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付 25元的赔偿费用。（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为 X，求 EX；（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？21、（12 分）已知函数.（1）讨论 f（x）的单调性；（2）若 f（x）存在两个极值点 x1,x2,证明：.（二）选考题：共（二）选考题：共 1010 分。请考生在第分。请考生在第 2222、2323 题中任选一题作答。如果多做，题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题则按所做的第一题计分。计分。22.选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）在直角坐标系xOy中，曲线 C 的方程为 y=kx+2.以坐标原点为极点，建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为+2cos-3=0.（1）求 C 的直角坐标方程:（2）若 C 与 C 有且仅有三个公共点，求 C 的方程.23.选修 4-5：不等式选讲（10 分）已知f（x）=x+1-ax-1.（1）当 a=1 时，求不等式f（x）1 的解集；（2）若 x（0，1）时不等式f（x）x 成立，求 a 的取值范围.x轴正半轴为极轴绝密启用前一、选择题2018 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题参考答案1C7B二、填空题136三、解答题17解：BDAB（1）在ABD中，由正弦定理得sinAsinADB.2B 8D 3A 9C 4B10A 5D11B 6A12A146315163 3162252sinADB,5.由题设知，sin45sinADB所以cosADB 1由题设知，ADB 90，所以223255.（2）由题设及（1）知，cosBDC sinADB 25.在BCD中，由余弦定理得BC2 BD2 DC2 2BDDC cosBDC 258 252 2 25.25所以BC 5.18解：（1）由已知可得，BF PF，BF EF，所以BF 平面PEF.又BF 平面ABFD，所以平面PEF 平面ABFD.（2）作PH EF，垂足为H.由（1）得，PH 平面ABFD.uu u ruuu r以H为坐标原点，HF的方向为y轴正方向，|BF|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系H xyz.由（1）可得，DE PE.又DP2，DE 1，所以PE 3.又PF 1，EF 2，故PE PF.PH 33EH 2，2.可得uu u ruu u r33333DP (1,)P(0,0,)D(1,0)HP (0,0,)22，2,2为平面ABFD的法向量.2则H(0,0,0)，3uu u r uu u rHPDP3sin|uu u ruu u r|443|HP|DP|设DP与平面ABFD所成角为，则.3所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为4.19解：（1）由已知得F(1,0)，l的方程为x 1.由已知可得，点A的坐标为(1,22)或(1,22).2所以AMy 2x 2或y 2的方程为2x 2.（2）当l与x轴重合时，OMA OMB 0.当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以OMA OMB.当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为y k(x 1)(k 0)，y1y2xkMA kMB22，直线MA，MB的斜率之和为x12x22.由y1 kx1 k，y2 kx2 k得k2kx1x23k(x1 x2)4kMA kMB(x12)(x22).x2将y k(x 1)代入2 y21得(2k21)x24k2x 2k22 0.所以，x x 4k22k22122k21,x1x22k21.4k34k 12k38k3则2kxx 4k1x23k(1 x2)4k 2k21 0.从而kMA kMB 0，故MA，MB的倾斜角互补.所以OMA OMB.综上，OMA OMB.23解：2,x1,f(x)2x,1 x 1,（1）当a 1时，f(x)|x 1|x 1|，即2,x1.A(x1,y1)，B(x2,y2)，x12，则1x|x 2.故不等式f(x)1的解集为（2）当x(0,1)时|x 1|ax 1|x成立等价于当x(0,1)时|ax 1|1成立.若a0，则当x(0,1)时|ax 1|1；若a 0，|ax 1|1的解集为0 x 221a，所以a，故0 a2.综上，a的取值范围为(0,2.20解：2218f(p)C p(1 p)20（1）20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为.因此218217217 f(p)C202p(1 p)18p(1 p)2C20p(1 p)(110p).令f(p)0，得p 0.1.当p(0,0.1)时，f(p)0；当p(0.1,1)时，f(p)0.所以f(p)的最大值点为p0 0.1.（2）由（1）知，p 0.1.（）令Y表示余下的 180 件产品中的不合格品件数，依题意知Y:B(180,0.1)，X 202 25Y，即X 40 25Y.所以EX E(40 25Y)40 25EY 490.由于EX 400，故应该对余下的产品作检验.21解：（）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400 元.1ax2ax1f(x)21(0,)f(x)xxx2（1）的定义域为，.（）若a2，则f(x)0，当且仅当a 2，x 1时f(x)0，所以f(x)在(0,)单调递减.a a24a a24x x(x)0f22a 2（）若，令得，或.a a24a a24x(0,)U(,)22当时，f(x)0；a a24 a a24a a24a a24x(,)(0,)(,)(x)0ff(x)2222当时，.所以在，单调递减，a a24 a a2 4(,)22在单调递增.（2）由（1）知，f(x)存在两个极值点当且仅当a 2.2由于f(x)的两个极值点x1，x2满足x ax 1 0，所以x1x21，不妨设x1 x2，则x21.由于f(x1)f(x2)ln x1 ln x2ln x1 ln x22ln x21 1 a 2 a 2 a1x1 x2x1x2x1 x2x1 x2 x2x2，f(x1)f(x2)1 a 2 x2 2ln x2 0 x xx12所以等价于2.设函数g(x)0.g(x)1 x 2ln xx，由（1）知，g(x)在(0,)单调递减，又g(1)0，从而当x(1,)时，f(x1)f(x2)1 x2 2ln x2 0 a 2xx x12所以2，即.22解：（1）由x cos，y sin得C2的直角坐标方程为22(x 1)y 4.（2）由（1）知C2是圆心为A(1,0)，半径为2的圆.由题设知，C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线.记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2.由于B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点.|k 2|当l1与C2只有一个公共点时，A到l1所在直线的距离为2，所以验，当k 0时，l1与C2没有公共点；当k k 12 2，故k 43或k 0.经检43时，l1与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公共点.|k 2|22当l2与C2只有一个公共点时，A到l2所在直线的距离为2，所以k 1，故k 0或k 43.经检验，当k 0时，l1与C2没有公共点；当k 43时，l2与C2没有公共点.4y|x|23综上，所求C1的方程为.
