八年级上册数学全等三角形证明辅助线分析实例及复习题答案.pdf

初二数学第十一章全等三角形综合复习切记：“有三个角对应相等”和“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等。例例1.1.如图，A,F,E,B四点共线，AC CE，BD DF，AE BF，AC BD。求证：ACF BDE。思路：思路：从结论ACF BDE入手，全等条件只有AC BD；由AE BF两边同时减去EF得到AF BE，又得到一个全等条件。还缺少一个全等条件，可以是CF DE，也可以是AB。由条件AC CE，BD DF可得ACE BDF 90，再加上AE BF，AC BD，可以证明ACE BDF，从而得到AB。AC CE，BD DF在RtACE及RtBDF中RtACE RtBDF(HL)证明证明AE EF BF EF，即AF BE在ACF及BDE中ACF BDE(SAS)思考思考：本题的分析方法实际上是“两头凑”的思想方法：一方面从问题或结论入手，看还需要什么条件；另一方面从条件入手，看可以得出什么结论。再对比“所需条件”和“得出结论”之间是否吻合或具有明显的联系，从而得出解题思路。小结：小结：本题不仅告诉我们如何去寻找全等三角形及其全等条件，而且告诉我们如何去分析一个题目，得出解题思路。例例2.2.如图，在ABC中，BE是ABC 的平分线，AD BE，垂足为D。求证：2 1C。思路：思路：直接证明2 1C比较困难，我们可以间接证明，即找到，证明2 且 1C。也可以看成将2“转移”到。那么在哪里呢？角的对称性提示我们将AD延长交BC于F，则构造了FBD，可以通过证明三角形全等来证明2=DFB，可以由三角形外角定理得DFB=1+C。证明证明：延长AD交BC于F在ABD及FBD中ABD FBDBD BDADB FDB 90又ABD FBD(ASA2DFBDFB 1C2 1C。思考思考：由于角是轴对称图形，所以我们可以利用翻折来构造或发现全等三角形。例例 3.3.如图，在ABC中，AB BC，ABC 90。F为AB延长线上一点，点E在BC上，BE BF，连接AE,EF和CF。求证：AE CF。思路：思路：可以利用全等三角形来证明这两条线段相等，关键是要找到这两个三角形。以线段AE为边的ABE绕点B顺时针旋转90等即可。到CBF的位置，而线段CF正好是CBF的边，故只要证明它们全第 1 页ABC 90，F为AB延长线上一点在ABE及CBF中ABE CBF(SAS)证明证明：思考思考：利用旋转的观点，不但有利于寻找全等三角形，而且有利于找对应边和对应角。小结：小结：利用三角形全等证明线段或角相等是重要的方法，但有时不容易找到需证明的三角形。这时我们就可以根据需要利用平移、翻折和旋转等图形变换的观点来寻找或利用辅助线构造全等三角形。例例 4.4.如图，AB/CD，AD/BC，求证：AB CD。思路：思路：关于四边形我们知之甚少，通过连接四边形的对角线，可以把原问题转化为全等三角形的问题。证明证明：连接AC在ABC及CDA中ABC CDA(ASA)思考思考：连接四边形的对角线，是构造全等三角形的常用方法。例例 5.5.如图，AP,CP分别是ABC外角MAC和NCA的平分线，它们交于点P。求证：BP为MBN的平分线。思路：思路：要证明“BP为MBN的平分线”，可以利用点P到BM,BN的距离相等来证明，故应过点P向BM,BN作垂线；另一方面，为了利用已知条件“AP,CP分别是MAC和NCA的平分线”，也需要作出点P到两外角两边的距离。证明证明：过P作PD BM于D，PE AC于E，PF BN于FAP平分MAC，PD BM于D，PE AC于ECP平分NCA，PE AC于E，PF BN于FPD PF，且PD BM于D，PF BN于FBP为MBN的平分线。思考思考：题目已知中有角平分线的条件，或者有要证明角平分线的结论时，常过角平分线上的一点向角的两边作垂线，利用角平分线的性质或判定来解答问题。例例 6.6.如图，D是ABC的边BC上的点，且CD AB，ADBBAD，AE是ABD的中线。求证：AC 2AE。思路：思路：要证明“AC 2AE”，不妨构造出一条等于2AE的线段，然后证其等于至F，使EFAC。因此，延长AE AE。AE，连接DF证明证明：延长AE至点F，使EF在ABE及FDE中ABE FDE(SAS)ADBBAD在ADF及ADC中ADF ADC(SAS)又AF 2AE又思考思考：三角形中倍长中线，可以构造全等三角形，继而得出一些线段和角相等，甚至可以证明两条直线平行。例例 7.7.如图，在ABC中，AB AC，求证：AB AC PB PC。12，P为AD上任意一点。原图法一图法二图思路：思路：欲证AB AC PB PC，不难想到利用三角形中三边的不等关系来证明。由于结论中是差，故用两边之差小于第三边来证明，从而想到构造线段AB AC。而构造AB AC可以采用“截长”和“补短”两种方法。证明证明：法一：第 2 页在AB上截取AN AC，连接PN在APN及APC中APN APC(SAS)在BPN中，PB PN BNPB PC AB AC，即 ABACPBPC。法二：AM AB，连接PM在ABP及AMP中ABP AMP(SAS)在PCM中，CM PM PC延长AC至M，使思考思考：当已知或求证中涉及线段的和或差时，一般采用“截长补短”法。具体作法是：在较长的线段上截取一条线段等于一条较短线段，再设法证明较长线段的剩余线段等于另外的较短线段，称为“截长”；或者将一条较短线段延长，使其等于另外的较短线段，然后证明这两条线段之和等于较长线段，称为“补短”。小结：小结：本题组总结了本章中常用辅助线的作法，以后随着学习的深入还要继续总结。我们不光要总结辅助线的作法，还要知道辅助线为什么要这样作，这样作有什么用处。同步练习同步练习一、选择题：1.能使两个直角三角形全等的条件是()A.两直角边对应相等C.两锐角对应相等B.一锐角对应相等D.斜边相等2.根据下列条件，能画出唯一ABC的是()AB 3，BC 4，CA 8B.AB 4，BC 3，A 30C.C 60，B 45，AB 4D.C 90，AB 63.如图，已知增加下列条件：AB AE；BC ED；C D；1 2，AC AD，B E。其中能使ABC AED的条件有()A.A.4 个B.3 个C.2 个D.1 个 D，AC,BD交于E点，下列不正确的是()A.DAE CBEB.CE DEC.DEA不全等于CBED.EAB是等腰三角形5.如图，已知AB CD，BC AD，B 23，则D等于()A.67B.46C.23D.无法确定4.如图，1 2，C二、填空题：6.如图，在ABC中，C 90，ABC的平分线BD交AC于点D，且CD:AD 2:3，AC 10cm，则点D到AB的距离等于_cm；7.如图，已知AB DC，AD BC，E,F是BD上的两点，且BE DF，若AEB 100，ADB 30，则BCF _；8.将一张正方形纸片按如图的方式折叠，BC,BD为折痕，则CBD的大小为_；9.如图，在等腰RtABC中，C 90，AC BC，AD平分BAC交BC于D，DE AB于E，若AB 10，则BDE的周长等于_；10.如图，点D,E,F,B在同一条直线上，AB/CD，AE/CF，且AE CF，若BD 10，BF 2，则EF _；三、解答题：第 3 页11.如图，ABC为等边三角形，点M,N分别在BC,AC上，且BM CN，AM及BN交于Q点。求AQN的度数。90，AC BC，D为AB上一点，AE CD，BF CD，交CD延长线于F点。求证：BF CE。12.如图，ACB第 4 页同步练习的答案同步练习的答案一、选择题：1.A2.C3.B4.C5.C10.6二、填空题：6.47.708.909.10三、解答题：11.解：ABC为等边三角形在ABM及BCN中ABM BCN(SAS)12.证明：AE CD，BF CD在ACE及CBF中ACE CBF(AAS)第 5 页