全等三角形截长补短倍长中线角平分线专题.pdf
截长补短法人教八年级上册课本中，在全等三角形部分介绍了角的平分线的性质，这一性质在许多问题里都有着广泛的应用.而“截长补短法”又是解决这一类问题的一种特殊方法，在无法进行直接证明的情形下，利用此种方法常可使思路豁然开朗.请看几例.A例例1.1.已知，如图 1-1，在四边形ABCD中，BCAB，AD=DC，BD平分ABC.D求证：BAD+BCD=180.分析：分析：因为平角等于 180，因而应考虑把两个不在一起的通过全等转B化成为平角，图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造直角三角形，可通过“截长补短法”来实现.证明：证明：过点D作 DE 垂直BA的延长线于点E，作DFBC于点F，如图 1-2BD平分ABC，DE=DF，EC图 1-1在RtADE与RtCDF中，ADDE DFAD CDBRtADERtCDF(HL),DAE=DCF.又BAD+DAE=180，BAD+DCF=180，即BAD+BCD=180例例2.2.如图 2-1，ADBC，点E在线段AB上，ADE=CDE，DCE=ECB.图 1-2FCDAE求证：CD=AD+BC.分析：分析：结论是CD=AD+BC，可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在CD上截CF=CB，只要再证DF=DA即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的.证明：证明：在CD上截取CF=BC，如图 2-24CB取图 2-1DA在FCE与BCE中，E321FCF CBFCE BCECE CEFCEBCE（SAS）,2=1.又ADBC，ADC+BCD=180，DCE+CDE=90，CB图 2-22+3=90，1+4=90，3=4.在FDE与ADE中，FDE ADEDE DE3 4FDEADE（ASA），DF=DA，CD=DF+CF，CD=AD+BC.例例3.3.已知，如图 3-1，1=2，P为BN上一点，且PDBC于点D，AB+BC=2BD.求证：BAP+BCP=180.分析：分析：与例 1 相类似，证两个角的和是180，可把它们移到一起，让它们是邻补角，即证明BCP=EAP，因而此题适用“补短”进行全等三角形的构造.证明：证明：过点P作 PE 垂直 BA 的延长线于点E，如图 3-2ANP1=2，且PDBC，PE=PD，在RtBPE与RtBPD中，PE PDBP BPRtBPERtBPD(HL),BE=BD.B12DC图 3-1EANPAB+BC=2BD，AB+BD+DC=BD+BE，AB+DC=BE即DC=BE-AB=AE.在RtAPE与RtCPD中,PE PDPEA PDCAE DCRtAPERtCPD(SAS),PAE=PCD又BAP+PAE=180,BAP+BCP=180例例4.4.已知：如图 4-1，在ABC中，C2B，12.求证：AB=AC+CD.分析：分析：从结论分析，“截长”或“补短”都可实现问题的转化，即延长AC至E使CE=CD，或在AB上截取AF=AC.证明：方法一（补短法）证明：方法一（补短法）B12DC图 3-2A12BDC图 4-1延长AC到E，使DC=CE，则CDECED，如图 4-2AACB2E，ACB2B，BE，在ABD与AED中,BD12C1 2B EAD ADABDAED（AAS）,AB=AE.又AE=AC+CE=AC+DC，AB=AC+DC.方法二（截长法）方法二（截长法）在AB上截取AF=AC，如图 4-3在AFD与ACD中,F图 4-2EA12AF AC1 2AD ADAFDACD（SAS）,DF=DC，AFDACD.又ACB2B，FDBB，FD=FB.AB=AF+FB=AC+FD，AB=AC+CD.BDC图 4-3上述两种方法在实际应用中，时常是互为补充，但应结合具体题目恰当选择合适思路进行分析。让掌握学生掌握好“截长补短法”对于更好的理解数学中的化归思想有较大的帮助。1.如图，在正方形 ABCD 中，E 为 AB 边的中点，G、F 分别为 AD，BC 边上的点，若 AG=1，BF=2，GEF=90，则GF 的长为_.2.如图，在 ABC 中，AC=5，中线 AD=7，则 AB 边的取值范围是？3.如图，AD 为ABC 的中线，求证：ABAC2AD.4.如图，CB、CD 分别是钝角AEC 和锐角ABC 的中线，且 AC=AB求证：CE=2CDCB 平分DCE5.如图已知ABC，AD 是 BC 边上的中线，分别以AB 边、AC 边为直角边各向形外作等腰直角三角形，求证EF2AD.6.如图，在ABC 中，D 是 BC 边的中点，E 是 AD 上一点，BEAC，BE 的延长线交 AC 于点 F，求证：AEF=EAF7.如图，在ABC 中，AD 交 BC 于点 D，点 E 是 BC 中点，EFAD 交 CA 的延长线于点 F，交 EF 于点 G，若 BG=CF，求证：AD 为ABC 的角平分线.8.如图，ABC 中，BD=DC=AC,E 是 DC 的中点，求证，AD 平分BAE.角平分线练习1、如图，在 RtABC 中，C=90，BD 是ABC 的平分线，交 AC 于点 D，若 CD=n，AB=m，则ABD 的面积是（）A.mnB.11mnC.2mnD.mn232、如图，已知 AC 平分PAQ，点 B，B分别在边 AP，AQ 上，如果添加一个条件，即可推出 AB=AB，那么该条件可以是（）A、BBACB、BC=BCC、ACB=ACBD、ABC=ABC3、如图，FDAO 于 D，FEBO 于 E，下列条件：OF 是AOB 的平分线；DF=EF；DO=EO；OFD=OFE。其中能够证明 DOFEOF 的条件的个数有（）A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个4、如图，在 ABC 中，ADBC 于 D，BEAC 于 E，AD 与 BE 相交于 F，若 BF=AC，则ABC 的度数是.5、在 ABC 中，AB=AC，A=50，AB 的垂直平分线 DE 交 AC 于点 D，垂足为 E，则DBC 的度数是.6、如图，已知点C 是AOB 的平分线上一点，点P、P分别在边 OA、OB 上。如果要得到OP=OP，需要添加以下条件中的某一个即可，请你写出所有可能的结果的序号为_：OCP=OCPOPC=OPC；PC=PC；PPOC7、如图，在 ABC 中，BC=5 cm，BP、CP 分别是ABC 和ACB 的角平分线，且 PDAB，PEAC，则 PDE 的周长是_ cm.A(6 题)P PA APAC CCBDEP P B BO OE8、ABC 中，C=90，AD 平分BAC，交 BC 于点 D。若 DC=7，则 D 到 AB 的距离是.CD9、已知：如图，CEAB 于点 E，BDAC 于点 D，BD、CE 交于点 O，且 BO=CO求证：O 在BAC 的角平分线上B10、如图（7）：ACBC，BM 平分ABC 且交 AC 于点 M、N 是 AB 的中点且 BN=BC。求证：（1）MN 平分AMB，（2）A=CBM。BNCAM（图7）11、如图：在 ABC 中，AD 是它的角平分线，且BD=CD，DE，DF 分别垂直 AB，AC，垂足为 E，AF。求证：EB=FC。12、如图：在 ABC 中，O 是ABC 与ACB 的平分线的交点。求证：点 O 在A 的平分线上。13、如图：E 是AOB 的平分线上一点，ECOA，EDOB，垂足为 C，D。求证：（1）OC=OD，（2）DF=CF。14、如图：AB=AC，BD=CE。求证：OA 平分BAC。15、如图：在 ABC 中，B，C 相邻的外角的平分线交于点D。求证：点 D 在A 的平分线上。EFCBDCOABACFEODBADEOBCACBD
