全国一卷理科数学高考真题及答案.pdf

2 2 0 0 1 1 6 6年年 普普 通通 高高 等等 学学 校校 招招 生生 全全 国国 统统 一一 考考 试试（全全 国国 卷卷 ）理科数学理科数学一一.选择题：本大题共选择题：本大题共 1212 小题小题,每小题每小题 5 5 分分,在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中,只有一只有一项是符合题目要求的项是符合题目要求的.1.1.设集合设集合A x x24x3 0，x 2x3 0,则则AB（A A）3,（B B）3,（C C）1,（D D）,322222.2.设设(1i)x 1 yi，其中，其中x,y是实数，则是实数，则（A A）1（B B）2333 3x yi（C C）3（D D）23.3.已知等差数列已知等差数列an前前 9 9 项的和为项的和为 2727，a108，则，则a100（A A）100100（B B）9999（C C）9898（D D）97974.4.某公司的班车在某公司的班车在 7:007:00，8:008:00，8:308:30 发车，小明在发车，小明在 7:507:50 至至 8:308:30 之间到达发车站乘坐班车，且到达发之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过 1010 分钟的概率是分钟的概率是（A A）（）（B B）（）（C C）（）（D D）x2y221表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为 4,4,则则 n n 的取值范围是的取值范围是5.5.已知方程已知方程2m n3m n（A A）1,3（B B）1,3（C C）0,3（D D）0,36.6.如图如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径径.若该几何体的体积是若该几何体的体积是28,则它的表面积是则它的表面积是3（A A）17（B B）18（C C）20（D D）287.7.函数函数y 2x e在在（A）（C）8.8.若若a b10，c1,则则（A A）a b（B B）ab ba（C C）alogbc blogac（D D）cccc2x2,2的图像大致为的图像大致为（B）（D）开始输入x,y,nn-1x=x+，y=ny2x2+y2 36？输出x,y结束logac logbc9.9.执行右面的程序框图执行右面的程序框图,如果输入的如果输入的x 0，y 1，n 1,则输出则输出 x x,y y的值满足的值满足（A A）y 2x（B B）y 3x（C C）y 4x（D D）y 5xn=n+110.10.以抛物线以抛物线C C的顶点为圆心的圆交的顶点为圆心的圆交 C C于于A A、B B两点，两点，交交C C的准线于的准线于D D、E E两点两点.已知已知|ABAB|=|=4 2,|,|DE|=DE|=2则则 C C 的焦点到准线的距离为的焦点到准线的距离为(A)2(B)4(C)6(D)8(A)2(B)4(C)6(D)811.11.平面平面过正方体过正方体 ABCDABCD-A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的顶点的顶点 A A,/平面平面 CBCB1 1D D1 1,否5,是(A)(A)平面平面 ABCDABCD=m m,平面平面 ABBABB1 1A A1 1=n n,则则 m m、n n 所成角的正弦值为所成角的正弦值为1323(B)(B)(C)(C)(D)(D)2233f(x)sin(x+)(0，12.12.已知函数已知函数2),x 4为为f(x)的零点的零点,x 4为为y f(x)图像图像的对称轴，且的对称轴，且f(x)在在5，单调，则单调，则的最大值为的最大值为18 36（A A）1111（B B）9 9（C C）7 7（D D）5 5二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 3 3 小题小题,每小题每小题 5 5 分分13.13.设向量设向量 a a=(=(m m,1),1)，b b=(1,2)=(1,2)，且，且|a a+b b|2 2=|=|a a|2 2+|+|b b|2 2，则，则 m m=14.14.(2x x)5的展开式中，的展开式中，x x3 3的系数是（用数字填写答案）的系数是（用数字填写答案）15.15.设等比数列设等比数列an满足满足 a a1 1+a a3 3=10=10，a a2 2+a a4 4=5=5，则，则 a a1 1a a2 2aan n的最大值为的最大值为16.16.某高科技企业生产产品某高科技企业生产产品 A A 和产品和产品 B B 需要甲、乙两种新型材料生产一件产品需要甲、乙两种新型材料生产一件产品 A A 需要甲材料需要甲材料 1.5kg1.5kg，乙材料乙材料 1kg1kg，用，用 5 5 个工时；生产一件产品个工时；生产一件产品 B B 需要甲材料需要甲材料 0.5kg0.5kg，乙材料，乙材料 0.3kg0.3kg，用，用 3 3 个工时生产一件个工时生产一件产品产品 A A 的利润为的利润为 21002100 元，元，生产一件产品生产一件产品 B B 的利润为的利润为 900900 元元 该企业现有甲材料该企业现有甲材料 150kg150kg，乙材料乙材料 90kg90kg，则在不超过则在不超过 600600 个工时的条件下，生产产品个工时的条件下，生产产品 A A、产品、产品 B B 的利润之和的最大值为元的利润之和的最大值为元三三.解答题：解答应写出文字说明解答题：解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤.17.17.（本小题满分为（本小题满分为 1212 分）分）ABC的内角的内角 A A，B B，C C 的对边分别为的对边分别为 a a，b b，c c，已知，已知2cos C(acosB+b cos A)c.（I I）求）求 C C；（II II）若）若c 7，ABC的面积为的面积为3 3，求，求ABC的周长的周长218.18.（本小题满分为（本小题满分为 1212 分）如图，在以分）如图，在以 A A，B B，C C，D D，E E，F F 为顶点的五面体中，面为顶点的五面体中，面 ABEFABEF 为正方形，为正方形，AFAF=2=2FDFD，AFD 90，且二面角，且二面角 D D-AFAF-E E 与二面角与二面角 C C-BEBE-F F 都是都是60（I I）证明：平面）证明：平面 ABEFABEF平面平面 EFDCEFDC；（II II）求二面角）求二面角 E E-BCBC-A A 的余弦值的余弦值19.19.（本小题满分（本小题满分 1212 分）某公司计划购买分）某公司计划购买 2 2 台机器台机器,该种机该种机DCF器使用三年后即被淘汰器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件机器有一易损零件,在购进机器时在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件可以额外购买这种零件作为备件,每个每个200200元元.在机器使用期间在机器使用期间,如果备件不足再购买如果备件不足再购买,则每个则每个500500元元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了为此搜集并整理了 100100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图：得下面柱状图：以这以这 100100 台机器更换的易损零件数的频率代替台机器更换的易损零件数的频率代替 1 1 台机器更台机器更换的易损零件数发生的概率换的易损零件数发生的概率,记记X表示表示 2 2 台机器三年内共台机器三年内共需更换的易损零件数需更换的易损零件数,n表示购买表示购买 2 2台机器的同时购买的易台机器的同时购买的易损零件数损零件数.（I I）求）求X的分布列；的分布列；（II II）若要求）若要求P(X20AB频数40DOC n)0.5,确定确定n的最小值；的最小值；08（IIIIII）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在在n 19与与n 20之中选其一之中选其一,应选用哪个？应选用哪个？20.20.（本小题满分（本小题满分 1212 分）设圆分）设圆x291011更换的易损零件数 y22x15 0的圆心为的圆心为 A A,直线直线 l l 过点过点 B B（1,01,0）且与且与 x x 轴不重合，轴不重合，l l 交圆交圆 A A 于于 C C,D D 两点，过两点，过 B B 作作 ACAC 的平行线交的平行线交 ADAD 于点于点 E E.（I I）证明）证明EA EB为定值，并写出点为定值，并写出点 E E 的轨迹方程；的轨迹方程；（II II）设点）设点 E E 的轨迹为曲线的轨迹为曲线 C C1 1，直线，直线 l l 交交 C C1 1于于 MM,N N 两点，过两点，过 B B 且与且与 l l 垂直的直线与圆垂直的直线与圆 A A 交于交于 P P,Q Q 两两点，求四边形点，求四边形 MPNQMPNQ 面积的取值范围面积的取值范围.21.21.（本小题满分（本小题满分 1212 分）已知函数分）已知函数(I)(I)求求 a a 的取值范围；的取值范围；(II)(II)设设 x x1 1,x x2 2是是fxx2exax1有两个零点有两个零点.2fx的两个零点的两个零点,证明：证明：x1 x2 2.请考生在请考生在 2222、2323、2424 题中任选一题作答题中任选一题作答,如果多做如果多做,则按所做的第一题计分则按所做的第一题计分.22.22.（本小题满分（本小题满分 1010 分）选修分）选修 4-14-1：几何证明选讲：几何证明选讲如图，如图，OABOAB 是等腰三角形，是等腰三角形，AOBAOB=120=120.以以 O O 为圆心，为圆心，(I)(I)证明：直线证明：直线 ABAB 与与O O 相切；相切；(II)(II)点点 C C，D D 在在O O 上，且上，且 A A，B B，C C，D D 四点共圆，证明：四点共圆，证明：ABABCDCD.23.23.（本小题满分（本小题满分 1010 分）选修分）选修 4 44 4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程在直角坐标系在直角坐标系 x xy y 中，曲线中，曲线 C C1 1的参数方程为的参数方程为1OAOA 为半径作圆为半径作圆.2x acost（t t 为参数，为参数，a a0 0）y 1asint在以坐标原点为极点，在以坐标原点为极点，x x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C C2 2：=4（I I）说明）说明 C C1 1是哪一种曲线，并将是哪一种曲线，并将 C C1 1的方程化为极坐标方程；的方程化为极坐标方程；cos.（II II）直线）直线 C C3 3的极坐标方程为的极坐标方程为0，其中，其中0满足满足 tantan0=2=2，若曲线，若曲线 C C1 1与与 C C2 2的公共点都在的公共点都在 C C3 3上，上，求求 a a24.24.（本小题满分（本小题满分 1010 分）选修分）选修 4 45 5：不等式选讲：不等式选讲已知函数已知函数fx x1 2x3.（I I）画出）画出y fx的图像；的图像；fx1的解集的解集（II II）求不等式）求不等式20162016 年高考全国年高考全国 1 1 卷理科数学参卷理科数学参考答案考答案题号题号答案答案1 1D D2 2B B3 3C C4 4B B5 5A A6 6A A7 7D D8 8C C9 9C C1010B B1111A A1212B B31.1.A x x24x 3 0 x1 x 3，B x 2x 3 0 x x 23故故AB x x 32故选故选 D Dx 1x 12.2.由由1ix 1 yi可知：可知：x xi 1 yi，故，故，解得：，解得：y 1x y22所以，所以，x yi x y 2故选故选 B B3.3.由等差数列性质可知：由等差数列性质可知：S99a1 a92a10a5而而a108，因此公差，因此公差d 1105a100 a1090d 98故选故选 C C92a5 9a5 27，故，故a5 3，24.4.如图所示，画出时间轴：如图所示，画出时间轴：小明到达的时间会随机的落在图中线段小明到达的时间会随机的落在图中线段AB中，而当他的到达时间落在线段中，而当他的到达时间落在线段AC或或DB时，才能时，才能保证他等车的时间不超过保证他等车的时间不超过 1010 分钟分钟根据几何概型，所求概率根据几何概型，所求概率P 故选故选 B B10101402x2y25.5.221表示双曲线，则表示双曲线，则m2n3m2n 0m n3m nm2 n 3m2由双曲线性质知：由双曲线性质知：c2 m2n 3m2n 4m2，其中，其中c是半焦距是半焦距焦距焦距2c 22 m 4，解得，解得m 11n3 故选故选 A A6.6.原立体图如图所示：原立体图如图所示：是一个球被切掉左上角的是一个球被切掉左上角的后的三视图后的三视图表面积是表面积是故选故选 A A7.7.f2 8 e2 8 2.82 0，排除，排除 A A7的球面面积和三个扇形面积之和的球面面积和三个扇形面积之和818f28e28 2.721，排除，排除 B B11x0时，时，fx 2x2exf x 4x ex，当，当x0,时，时，f x4e00441因此因此fx在在0,单调递减，排除单调递减，排除 C C4故选故选 D D8.8.对对 A A：由于：由于0c1，函数，函数y xc在在R R上单调递增，因此上单调递增，因此a b 1 ac bc，A A 错误错误对对 B B：由于：由于1c10，函数，函数y xc1在在1,上单调递减，上单调递减，a b 1 ac1 bc1 bac abc，B B 错误错误对对 C C：要比较要比较alogbc和和blogac，只需比较只需比较alncblnclnclnc和和，只需比较只需比较和和，只需只需blnb和和lnblnablnbalnaalna构造函数构造函数fx xlnxx 1，则，则f x lnx11 0，fx在在1,上单调递增，上单调递增，11alnablnblnclnc又由又由0c1得得lnc0，blogac alogbc，C C 正确正确alnablnblnclnc对对 D D：要比较要比较logac和和logbc，只需比较，只需比较和和lnalnb11而函数而函数y lnx在在1,上单调递增，故上单调递增，故a b 1 lna lnb 0lnalnblnclnc又由又由0c1得得lnc0，logac logbc，D D 错误错误lnalnb因此因此fa fb 0 alna blnb 0故选故选 C C9.9.如下表：如下表：循环节运循环节运行次数行次数运行前运行前第一次第一次第二次第二次第三次第三次输出输出x 0 01 1/否否否否是是是否是否判断判断输出输出/否否否否是是1 13，y 6，满足，满足y 4x2故选故选 C C10.10.以开口向右的抛物线为例来解答，其他开口同理以开口向右的抛物线为例来解答，其他开口同理设抛物线为设抛物线为y2 2pxp 0，设圆的方程为，设圆的方程为x2 y2 r2，题目条件翻译如图：题目条件翻译如图：p,2点点Ax,22在抛物线在抛物线y设设A x0,22，D0p,2点点A x0,2点点D5，2 2px上，上，8 2px02 p 2225在圆在圆x y r上，上，5 r2222222在圆在圆x y r上，上，x08 r2联立解得：联立解得：p 4，焦点到准线的距离为，焦点到准线的距离为p 4故选故选 B B11.11.如图所示：如图所示：平面CB1D1，若设平面，若设平面CB1D1则则m1m又平面又平面ABCD平面平面A1B1C1D1，结合平面，结合平面B1D1C平面平面A A1 1A AD DB BC C平面平面ABCD m1，D D1 1B B1 1C C1 1A1B1C1D1 B1D1B1D1m1，故，故B1D1m同理可得：同理可得：CD1n故故m、n的所成角的大小与的所成角的大小与B1D1、CD1所成角的大小相等，即所成角的大小相等，即CD1B1的大小的大小而而B1C B1D1CD1（均为面对交线），因此（均为面对交线），因此CD1B1故选故选 A A12.12.由题意知：由题意知：则则 2k 1，其中，其中kZ Z3，即，即sinCD1B1325T 5f(x)在在,单调，单调，,12361812218 36接下来用排除法接下来用排除法 33 5，此时，此时f(x)sin11x，f(x)在在,递增，在递增，在,递减，不满递减，不满4418 4444 36 5足足f(x)在在,单调单调18 36 5若若9,，此时，此时f(x)sin9x，满足，满足f(x)在在,单调递减单调递减4418 36若若11,故选故选 B B13.-214.101513.-214.10156416641621600021600013.13.由已知得：由已知得：a b m 1,322222ab a bm13 m 1 1 2，解得，解得m222221414设设展开式的第展开式的第k 1项为项为Tk1，k0,1,2,3,4,5Tk1 Ck52x5kxk C 2k55kx5k245k4543当当53时，时，k 4，即，即T5 C52x210 x2故答案为故答案为 101015.15.由于由于an是等比数列，设是等比数列，设an a1qn1，其中，其中a1是首项，是首项，q是公比是公比a182a1 a310a1 a1q 10，解得：，解得：21117493a a 53 2.n4n n7nq n4a q a q 52 141124112122故故an，a1a2.an21749222n2241749122当当n 3或或4时，时，n 取到最小值取到最小值6，此时，此时取到最大值取到最大值262242所以所以a1a2.an的最大值为的最大值为 64641616设设生产生产 A A 产品产品x件，件，B B 产品产品y件，根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件，构造线性件，根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件，构造线性规则约束为规则约束为目标函数目标函数z 2100 x 900y作出可行域为图中的四边形，包括边界，顶点为作出可行域为图中的四边形，包括边界，顶点为(60,100)(0,200)(0,0)(90,0)在在(60,100)处取得最大值，处取得最大值，z 210060900100 21600017.17.解：解：2cosCacosB bcosA c由正弦定理得：由正弦定理得：2cosCsin AcosB sinBcosAsinCA BC ，A、B、C0，sinA BsinC 02cosC 1，cosC C0，3 由余弦定理得：由余弦定理得：c2 a2b2 2abcosCC ab6a b18 7ABC周长为周长为abc 571818解：解：(1)(1)ABEF为正方形为正方形AF EFAFD90AF DFDF212EF=FAF 面面EFDCAF 面面ABEF平面平面ABEF平面平面EFDC 由知由知ABEFAB平面平面EFDCEF 平面平面EFDCAB平面平面ABCDAB 平面平面ABCD面面ABCDABCDCDEF四边形四边形EFDC为等腰梯形为等腰梯形以以E为原点，如图建立坐标系，设为原点，如图建立坐标系，设FDa面面EFDCCDa3，2a，aEB 0，2a，0，BC 2，AB 2a，0，02设面设面BEC法向量为法向量为m x，y，z.2a y1 0mEB 0 x13，y1 0，z1 1，即，即a3a z1 0 x1 2ay1mBC 022设面设面ABC法向量为法向量为n x2，y2，z2a3az2 0nBC=0 x2 2ay2x2 0，y23，z2 4.即即222ax 0n AB 0 A2设二面角设二面角EBC的大小为的大小为.二面角二面角EBC A的余弦值为的余弦值为1919 解：解：2 1919每台机器更换的易损零件数为每台机器更换的易损零件数为 8 8，9 9，1010，1111记事件记事件Ai为第一台机器为第一台机器 3 3 年内换掉年内换掉i7个零件个零件i 1,2,3,4记事件记事件Bi为第二台机器为第二台机器 3 3 年内换掉年内换掉i7个零件个零件i 1,2,3,4由题知由题知PA1 PA3 PA4 PB1 PB3 PB4 0.2，PA2 PB2 0.4设设 2 2 台机器共需更换的易损零件数的随机变量为台机器共需更换的易损零件数的随机变量为X，则，则X的可能的取值为的可能的取值为 1616，1717，1818，1919，2020，2121，22221616171718181919202021212222 要令要令Pxn0.5，则则n的最小值为的最小值为 19190.040.160.240.5，0.040.160.240.240.5 购买零件所需费用含两部分，一部分为购买机器时购买零件的费用，另一部分为备件不足时购买零件所需费用含两部分，一部分为购买机器时购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用额外购买的费用当当n19时，费用的期望为时，费用的期望为192005000.210000.0815000.044040当当n20时，费用的期望为时，费用的期望为202005000.0810000.044080所以应选用所以应选用n1920.20.(1)(1)圆圆 A A 整理为整理为x 1 y216，A A 坐标坐标1,0，如图，如图，2BEAC，则，则C EBD，由，由AC AD,则D C，则则EB EDEBDD，C Cx2y2所以所以 E E 的轨迹为一个椭圆，方程为的轨迹为一个椭圆，方程为1，(y 0)；43x2y2C1:1；设；设l:x my 1，43因为因为PQl，设，设PQ:y mx 1，联立，联立l与椭圆C1x my 12得得3m24 y26my9 0；xy2143则则2236m 36 3m 412 m2122|MN|1 m|yM yN|1 m3m2 43m2 4；|m11|2m|圆心圆心A到到PQ距离距离d，222 m1 m4m14 3m2 422所以所以|PQ|2|AQ|d 2 16，21 m21 mxx21.21.（）（）f(x)(x1)e 2a(x1)(x1)(e 2a)A AB BE EP PD DN NA AB BMMQ Q（i i）设）设a 0，则，则f(x)(x2)e，（ii ii）设设a 0，则当则当x(,1)时，时，f上单调递减，在上单调递减，在(1,)上单调递增上单调递增xf(x)只有一个零点只有一个零点(x)0；当当x(1,)时，时，f(x)0 所以所以f(x)在在(,1)af(1)e，f(2)a，取，取b满足满足b 0且且b ln，则，则2a322f(b)(b2)a(b1)a(b b)0，22故故f(x)存在两个零点存在两个零点又又（iiiiii）设）设a 0，由，由若若a f(x)0得得x 1或或x ln(2a)e，则则ln(2a)1，故当故当x(1,)时，时，f(x)0，因此因此f(x)在在(1,)上单调递增上单调递增又又2当当x 1时，时，f(x)0，所以，所以f(x)不存在两个零点不存在两个零点e若若a ，则则ln(2a)1，故故当当x(1,ln(2a)时时，f(x)0；当当x(ln(2a),)时时，2f(x)0因因此此f(x)在在(1,ln(2a)单单调调递递减减，在在(ln(2a),)单单调调递递增增又又当当x 1时时，f(x)0，所以，所以f(x)不存在两个零点不存在两个零点综上，综上，a的取值范围为的取值范围为(0,)不妨设x1 x2，由（）知（）知x1(,1)，x2(1,)，2 x2(,1)，f(x)在(,1)上（）单调递减，所以x1 x2 2等价于f(x1)f(2 x2)，即f(2 x2)0.由于f(2 x2)x2e2x2 a(x21)2，而f(x2)(x22)ex2 a(x21)2 0，所以f(2 x2)x2e2x2(x22)ex2.设g(x)xe2x(x2)ex，则g(x)(x1)(e2xex).所以当x 1时，g(x)0，而g(1)0，故当x 1时，g(x)0.从而g(x2)f(2 x2)0，故x1 x2 2.2222 设圆的半径为设圆的半径为r，作，作OK AB于于KOA OB，AOB 120OK AB，A30，OK OAsin30AB与与O相切相切 方法一：方法一：假设假设CD与与AB不平行不平行OA r2CD与与AB交于交于FA、B、C、D四点共圆四点共圆FCFD FAFB FK AKFK BKAK BKFC FD FK AKFK AK FK2 AK2由可知矛盾由可知矛盾ABCD方法二：方法二：因为因为A,B,C,D四点共圆，不妨设圆心为T，因为，因为所以所以O,T为为AB的中垂线上，的中垂线上，同同OA OB,TA TB，理理OC OD,TC TD，所以所以OT为CD的中垂线，所以的中垂线，所以ABCDx acost2323（t均为参数）均为参数）y 1 asint2x2y 1 a21为圆心，为圆心，a为半径的圆方程为为半径的圆方程为x2 y22y 1a2 0C1为以为以0，x2 y22，y sin2 2sin1 a2 0即即为为C1的极坐标方程的极坐标方程C2：4cos两边同乘两边同乘得得2 4cos22 x2 y2，cos xx2 y2 4x即即x 2 y2 4C3：化为普通方程为：化为普通方程为y 2x由题意：由题意：C1和和C2的公共方程所在直线即为的公共方程所在直线即为C3得：得：4x 2y 1 a2 0，即为，即为C31 a2 0a 12424 如图所示：如图所示：x 4，x13fx3x 2，1 x 23，解得，解得x5或或x 3当当x1，x 4 14 x，x321当当1 x，3x 2 1，解得，解得x 1或或x23131 x 或或1 x 323当当x，4 x 1，解得，解得x5或或x 323x 3或或x521综上，综上，x或或1 x3或或x5313 5，fx1，解集为，解集为，1，3