北京科技大学2007-2008学年度第1学期高等数学A试题及答案.pdf
北京科技大学 20072008 学年 第 一 学期高等数学试卷（A）院(系)班级学号姓名试卷卷面成绩五四小计占课程考核成绩 70%平时 成课程考绩占 30%核成绩一二得分阅卷校对题号三得 分一、填空题（每小题 3 分，共 15 分）1计算lim自觉遵 装2设1 2x 3x 2x4=f(x0)存在，求limx守考订试线规则 内，诚不信考 得试，答绝不 题作弊x0f(x0 x)f(x0 2x)=2x3设e是函数f(x)的一个原函数，则x2f(ln x)dx C 4设f(x)连续，且f(x)x 2f(x)dx，则f(x)105设向量（2a 5b)得 分(a b),(2a 3b)(a 5b)，则a及b之间的夹角为二、单项选择题（每小题 3 分，共 15 分）6设12x 0 x sin在x 0处可导,则【】f(x)xx 0ax b（A）1,0;(B)0 为任意常数；(C)0,0;(D)1,b 为任意常数7设设f(x)3x3 x2|x|，则使f(n)(0)存在的最高阶导数n为【】（A）0;(B)1;(C)2;(D)38积分(x224 sin x)sin2xdx【】(A)3/4 (B)0 (C)4/3 (D)1129下列不等式正确的有【】（A）sin xdx sin x00112dx，（B）cos xdx 01cos x0dx，第 1 页（C）10设z2esin xdx exdx，（D）sin2xdx sin23xdx2200 xy，则dz【】AC得 分三、计算题（每小题 9 分，共 63 分）2ydy)xyxy(lnxdx dy)xxy(lnxdx BDxxy(lnxdy(ydx)xyln xdy ydx)x2a xx11lim()exdx，求a的值。x0a x12(1 x)2x x dx012、求111113计算lim2n9n2 229n2329n2 n29n 114求直线L:。x y z1 0在平面:x y z 0上的投影直线Lx y z1 015 求不定积分arcsin1 xxdx2x ln(1t)116设2y 2arctgt(1t)dy d2y,2.求dx dxx21 ax b)0，求a，b的值。17lim(xx 1得 分四、证明题（7 分）19设y f(x)是在区间0,1上任一非负连续函数。(0,1)，使得在区间0,x0上以f(x0)为高的矩形面积，等于在区间x0,1上（1）试证存在点x0以y f(x)为曲边的曲边梯形的面积。y f(x)在(0,1)内可导，并且f(x)（2）又设2 f(x)，证明（1）中的x0(0,1)是唯一的。x第 2 页北京科技大学 20072008 年 第 一 学期答案：23x243一、（1）分子分母有理化得，（2）f(x0)（3）232二、（6）C（7）C（8）C（9）B（10）B三、计算题（4）x1（5）a xx11 解：l im()ea e1exdx，则a 4x0a x112解：2(1 x)2x x dx(1 x)1(x 1)dx，令x 1 sint20022242原式2(11sint3)cos2tdt 22413解lim11112n9n2 229n2329n2 n29n 114解：过直线L做平面，交线为L，ijkijk1 0,2,2，取0,1,1，n 011 0,1,1，直线L的方向向量s 11111111取L上一点0,1,0，:(y 1)z 0,即 y z 1 0，投影直线L:x,则x (sint)2,dx 2(sint)costdtx y z 0y z 1 015解法 1：；令t arcsin解法 2：原式=2arcsinxd 1 x 2 1 x arcsinx 1 xd arcsinx d2y(1 2t)(1t2)dy2(1t t)，2 16.2tdxdxx21(1 a)x2(a b)x b ax b)lim 0，a 1，b 117解：lim(xx 1xx 118.解：18四、证明题19（10 分）证明：（1）令g(x)xf(t)dt0,1，并且g(x)在(0,1)可导，g(0)g(1)0。由罗尔定理知，存在x1第 3 页x0(0,1)，使得g(x0)0。g(x)xf(x)f(t)dt，代入x0得到x0f(t)dt，命题成立。x11x0（2）对于g(x)xf(x)f(t)dt继续求导数得到x1g(x)f(x)xf(x)f(x)2 f(x)xf(x)0（由已知f(x)2 f(x)），即g(x)是x的单调函数，故零点是唯一的。自觉遵 装守考订试线规则 内，诚不信考 得试，答绝不 题作弊x第 4 页
