北师大版初中数学八年级下册全册教案.pdf
第三章第三章 分式分式3.13.1分式分式一、教学目标1.在现实情境中进一步理解用字母表示数的意义，发展符号感.2.了解分式产生的背景和分式的概念，了解分式与整式概念的区别与联系.3.掌握分式有意义的条件，认识事物间的联系与制约关系.二、教学过程.创设问题情境，引入新课面对日益严重的土地沙化问题，某县决定分期分批固沙造林，一期工程计划在一定期限固沙造林 2400 公顷，实际每月固沙造林的面积比原计划多30 公顷，结果提前 4 个月完成任务.原计划每月固沙造林多少公顷？这一问题中有哪些等量关系？如果原计划每月固沙造林x 公顷，那么原计划完成一期工程需要_个月，实际完成一期工程用了_个月.根据题意，可得方程_.根据题意，我认为这个问题的等量关系是：实际固沙造林所用的时间+4=原计划固沙造林所用的时间.（1）这个问题的等量关系也可以是：原计划每月固沙造林的公顷数+30=实际每月固沙造林的公顷数.（2）在这个问题中，涉及到了三个基本量：工作量、工作效率、工作时间.工作量=工作效率工作时间.如果用第（1）个等量关系列方程，应如何设出未知数呢？因为第（1）个等量关系是工作时间的关系，因此需用已知条件和未知数表示出工作时间.题中的工作量是已知的.因此需设出工作效率即原计划每月固沙造林x 公顷.原计划完成一期工程需实际完成一期工程需 c2400个月，x2400个月，x 30根据等量关系（1）可列出方程：24002400+4=.xx 30用等量关系（2）设未知数，列方程呢？因为等量关系（2）是工作效率之间的关系，根据题意，应设出工作时间.不妨设原计划x 个月完成一期工程，实际上完成一期工程用了（x4）个月，那么原计划每月固沙造林的公顷数为2400240024002400公顷，实际每月固沙造林公顷，根据题意可得方程.30 xx4xx 4同学们观察我们列出的两个方程，有什么新的发现？我们设出未知数后，用字母表示数的方法，列出几个代数式，表示出我们需要的基本量.如240024002400，,.这些代数式和整式不同.我们虽然列出了方程，但分母中含有字母，xx 4x30要求出它的解，好像很不容易.像2400 2400 2400这样的代数式同整式有很大的不同，而且它是以分数的形式出,xx 4 x 30现的，它们是不同于整式的一个很大的家族，我们把它们叫做分式分式.2.例题讲解（1）下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？22x xy yb3m(n p)245x7,3x21,5,.2x 12a 177 5bc（2）当 a=1，2 时，分别求分式当 a 为何值时，分式a 1的值.2aa 1有意义？2aa 1当 a 为何值时，分式的值为零？2a22x xy ym(n p)2b34（1）中 5x7,3x21,5,是整式；,是分2x 1772a 15bc式.a 111=1;2a21a 1213当 a=2 时，=.2a224（2）解：当 a=1 时，当分母的值等于零时，分式没有意义，除此以外，分式都有意义.由分母 2a=0，得 a=0.所以，当 a 取零以外的任何实数时，分式a 1有意义.2a分式的值为零，包含两层意思：首先分式有意义，其次，它的值为零.因此 a 的取值有两个要求：2a 0a 1 0a 1为零.2a所以，当 a=1 时，分母不为零，分子为零，分式三、随堂练习1.当 x 取什么值时，下列分式有意义？（1）812；（2）2;（3）2x 1x 9x 1分析：当分母的值为零时，分式没有意义，除此以外，分式都有意义.解：（1）由分母 x1=0，得 x=1.所以，当 x 取除 1 以外的任何实数时，分式（2）由分母 x29=0，得 x=3.所以，当 x 取除 3 和3 以外的任何实数时，分式8都有意义.x 11都有意义.2x 9（3）由分母x2+1 可知，x 取任何实数时，x2是一个非负数，所以x2+1 不管 x 取何实数时，x2+1 都不会为零.即 x 取任何实数，2都有意义.2x 12.把甲、乙两种饮料按质量比 xy 混合在一起，可以调制成一种混合饮料，调制1 kg这种混合饮料需多少甲种饮料？解：根据题意，调制 1 kg 这种混合饮料需xkg 甲种饮料.x y3.23.2分式的乘除法分式的乘除法一、教学目标1.分式乘除法的运算法则，2.会进行分式的乘除法的运算.二、教学过程探索、交流观察下列算式：2424 5252=,=,3535 7979242525 525959=,=.353434 797272bdbd猜一猜=acac观察上面运算，可知：两个分数相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母；两个分数相除，把除数的分子和分母颠倒位置后，再与被除数相乘.即bdbd=;acacbdbcbc=.acadad这里字母 a,b,c,d 都是整数，但 a,c,d 不为零.1.分式的乘除法法则两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母；两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.2.例题讲解例 1计算：（1）4xya 213;（2）2.3y2xa 2a 2a分析：（1）将算式对照乘除法运算法则，进行运算；（2）强调运算结果如不是最简分式时，一定要进行约分，使运算结果化为最简分式.解：（1）4x4x yy3=3y2x3y2x3=2xy22=;222xy3x3x（2）a 212a 2a 2a=a 21=2.(a 2)a(a 2)a 2a例 2计算：22a 16ya 1（1）3xy2;（2）22xa 4a 4a 4分析：（1）将算式对照分式的除法运算法则，进行运算；（2）当分子、分母是多项式时，一般应先分解因式，并在运算过程中约分，可以使运算简化，避免走弯路.26yx解：（1）3xy2=3xy26y2x3xy2 x12=x;26y2a21a 1（2）22a 4a 4a 4a24a 1=4a 4a 4a21(a 1)(a2 4)=2(a 4a 4)(a21)=(a 1)(a 2)(a 2)2(a 2)(a 1)(a 1)=a 2(a 2)(a 1)3.做一做通常购买同一品种的西瓜时，西瓜的质量越大，花费的钱越多.因此人们希望西瓜瓤占整个西瓜的比例越大越好.假如我们把西瓜都看成球形，并把西瓜瓤的密度看成是均匀的，西瓜的皮厚都是 d，已知球的体积公式为V=4R3（其中 R 为球的半径），那么3（1）西瓜瓤与整个西瓜的体积各是多少？（2）西瓜瓤与整个西瓜的体积比是多少？（3）买大西瓜合算还是买小西瓜合算？我们不妨设西瓜的半径为R,根据题意，可得：（1）整个西瓜的体积为V1=西瓜瓤的体积为 V2=4R3;34（Rd）3.3（2）西瓜瓤与整个西瓜的体积比为：4(R d)3(R d)3V23=34V1RR33R d3d=（）=（1）3.RR（3）我认为买大西瓜合算.由V2ddd=（1）3可知，R 越大，即西瓜越大，的值越小，（1）的值越大，（1V1RRRVd3）也越大，则2的值也越大，即西瓜瓤占整个西瓜的体积比也越大，因此，买大西V1R瓜更合算.三、随堂练习2x 1x 1aba1.计算：（1）2;（2）（a2a）;（3）2yybaa 12.化简：x2 x 6x 3（1）2;x 3x 6 x（2）（abb2）a2b2a bababab12=2=;babaabaaaa 1（2）（a2a）=（a2a）a 1aa(a 1)(a 1)=（a1）2a解：1.（1）=a22a+1x21x 1x21y2（3）2=yyx 1y(x 1)(x 1)y2=（x1）y=xyy.y(x 1)x2 x 6x 32.（1）2x 3x 6 x(x 3)(x 2)x2 x 6=x 3x 3=(x 3)(x 2)(x 3)(x 2)(x 3)(x 3)=（x2）（x+2）=x24.（2）（abb2）a2b2a b=（abb2）=b.a bb(a b)(a b)=22(a b)(a b)a b3.33.3分式的加减法分式的加减法一、教学目标1.同分母的分式的加减法的运算法则及其应用.2.简单的异分母的分式相加减的运算.二、教学过程问题一：从甲地到乙地有两条路，每条路都是 3 km，其中第一条是平路，第二条有 1 km的上坡路、2 km 的下坡路.小丽在上坡路上的骑车速度为v km/h,在平路上的骑车速度为 2 vkm/h,在下坡路上的骑车速度为 3v km/h,那么（1）当走第二条路时，她从甲地到乙地需多长时间（2）她走哪条路花费的时间少？少用多长时间？问题二：某人用电脑录入汉字文稿的效率相当于手抄的3 倍，设他手抄的速度为 a 字/时，那么他录入 3000 字文稿比手抄少用多少时间？答案：问题一，根据题意可得下列线段图：（1）当走第二条路时，她从甲地到乙地需要的时间为（2）走第一条路，小丽从甲地到乙地需要的时间为时间少.就需要比较（去较小者，便可求出.如果要比较（12+）h.v3v3h.但要求出小丽走哪条路花费的2v123+）与的大小，少用多少时间，就需要用它们中的较大者减v3v2v123+）与的大小，就比较难了，因为它们的分母中都含有字母.v3v2v比较两个数的大小，我们可以用作差法.例如有两个数 a,b.如果 ab0，则 ab;如果 ab=0,则 a=b；如果 ab0,则 ab.显然（123+）和中含有字母，但它们也是用来表示数的，所以我认为可以用实数v3v2v123+），如何判断它大于零，等于零，小于零呢？v3v2v比较大小的方法来做.如果用作差的方法，例如（做一做（1）12+=_.aax24（2）=_.x 2x 2（3）x 2x 1x 3+=_.x 1x 1x 143174317+=13131313同分母的分数的加减是分母不变，把分子相加减，例如10.13我认为分母相同的分式相加减与同分母的分数相加减一样，应该是分母不变，把分子相加减.解：（1）121 23+=;aaaax2x244解：（2）=;x 2x 2x 2x 2x 1x 3+x 1x 1x 1(x 2)(x 1)(x 3)=x 1x 2 x 1 x 3=x 1x=x 1解：（3）异分母的分数加减时，可利用分数的基本性质通分，把异分母的分数加减法化成同分母的分数加减法例 1计算：（1）3a 152x 1+;（2）+a5ax 11 x例 1中的第（1）题，一个分母是 a,另一个分母是 5a，利用分式的基本性质，只需将第一个分式33515化成=即可.a5a5a3a 1515a 15解：（1）+=+a5a5a5a15(a 15)a1=;5a5a52x 121 x（2）+=+x 11 xx 1x 12(1 x)3 x=x 1x 13bb;xx11（2）+;a2aaa（3）a bb a3bb3bb2b解：（1）=;xxxx1121213（2）+=+=;a2a2a2a2a2aaaa a（3）=a bb aa ba ba(a)2a=.a ba b（1）三、计算：3.43.4分式方程分式方程一、教学目标1.了解分式方程的一般步骤.2.了解解分式方程验根的必要性.二、教学过程解方程3x 15x 24x 2+=2236（1）去分母，方程两边同乘以分母的最小公倍数6，得3（3x1）+2（5x+2）=62（4x2）.（2）去括号，得 9x3+10 x+4=124x+2,（3）移项，得 9x+10 x+4x=12+2+34,（4）合并同类项，得 23x=13,（5）使 x 的系数化为 1，两边同除以 23，x=例 1解方程：13.23300480=4x2x解：方程两边同乘以 2x，得600480=8x解这个方程，得 x=15检验：将 x=15 代入原方程，得左边=4，右边=4，左边=右边,所以 x=15 是原方程的根.例 2.解方程：（1）34105=;（2）+=2.x 1x2x 1 12x分析先总结解分式方程的几个步骤，然后解题.解：（1）34=x 1x去分母，方程两边同乘以x（x1），得3x=4（x1）解这个方程，得 x=4检验：把 x=4 代入 x（x1）=43=120，所以原方程的根为 x=4.（2）105+=22x 1 12x去分母，方程两边同乘以（2x1），得105=2（2x1）解这个方程，得 x=检验：把 x=74775代入原方程分母 2x1=21=0.4427所以原方程的根为 x=.4
