高中数学基本不等式精选讲解及归纳.pdf
高中数学基本不等式精选讲解及归纳高中数学基本不等式精选讲解及归纳典题精讲典题精讲例 1（1）已知 0 x（2）求函数 y=x+1，求函数 y=x(1-3x)的最大值;31的值域.x思路分析：思路分析：（1）由极值定理,可知需构造某个和为定值，可考虑把括号内外x 的系数变成互为相反数；（2）中，未指出 x0，因而不能直接使用基本不等式，需分x0 与 x0 讨论.1,1-3x0.3113x (13x)2111y=x(1-3x)=3x(1-3x)=，当且仅当 3x=1-3x，即 x=时，等号成立.x=时，33212661函数取得最大值.1211解法二：0 x,-x0.331x x11113y=x(1-3x)=3x(-x)32=，当且仅当 x=-x,即 x=时，等号成立.33126211x=时，函数取得最大值.612（1）解法一：0 x（2）解：当 x0 时，由基本不等式，得y=x+112x=2，当且仅当 x=1 时，等号成立.xx当 x0 时，y=x+11=-(-x)+.(x)x-x0,(-x)+112,当且仅当-x=,即 x=-1 时，等号成立.(x)xy=x+1-2.x1的值域为(-,-22,+).x综上,可知函数 y=x+绿色通道：绿色通道：利用基本不等式求积的最大值，关键是构造和为定值，为使基本不等式成立创造条件，同时要注意等号成立的条件是否具备.1的最小值.x 11思路分析：思路分析：x-1x+10,变 x=x+1-1 时 x+1 与的积为常数.x 1变式训练变式训练 1 当 x-1 时，求 f(x)=x+解：x-1,x+10.f(x)=x+111=x+1+-12(x 1)-1=1.x 1x 1(x 1)当且仅当 x+1=f(x)min=1.1,即 x=0 时,取得等号.x 1x43x23变式训练变式训练 2 求函数 y=的最小值.2x 1思路分析：思路分析：从函数解析式的结构来看，它与基本不等式结构相差太大，而且利用前面求最值的方法不易求解，事实上，我们可以把分母视作一个整体，用它来表示分子，原式即可展开.解：令 t=x2+1，则 t1 且 x2=t-1.1x43x23(t 1)23(t 1)3t2t 1 t 1.y=2tttx 1t1,t+2t 1t11=2,当且仅当 t=,即 t=1 时，等号成立.tt当 x=0 时，函数取得最小值 3.例 2 已知 x0,y0，且19+=1，求 x+y 的最小值.xy思路分析：思路分析：要求 x+y 的最小值，根据极值定理，应构建某个积为定值，这需要对条件进行必要的变形，下面给出三种解法，请仔细体会.解法一：利用“1 的代换”,19+=1,xyy9x19+)=10+.xyxyy9x2xyx+y=(x+y)(x0,y0,y9x=6.xy当且仅当y9x，即 y=3x 时，取等号.xy又19+=1,x=4,y=12.xy当 x=4,y=12 时，x+y 取得最小值 16.解法二：由y19+=1，得 x=.y 9yxx0,y0,y9.x+y=yy 9999+y=y+=y+1=(y-9)+10.y 9y 9y 9y 9y9,y-90.y 9992(y 9)=6.y 9y 9当且仅当 y-9=9，即y=12 时，取得等号，此时x=4.当 x=4,y=12 时，x+y 取得最小值 16.解法三：由y 919+=1，得 y+9x=xy,xy(x-1)(y-9)=9.x+y=10+(x-1)+(y-9)10+2(x1)(y 9)=16,当且仅当 x-1=y-9 时取得等号.又19+=1,xyx=4,y=12.当 x=4,y=12 时，x+y 取得最小值 16.绿色通道：绿色通道：本题给出了三种解法，都用到了基本不等式，且都对式子进行了变形，配凑出基本不等式满足的条件，这是经常需要使用的方法，要学会观察,学会变形，另外解法二，通过消元,化二元问题为一元问题，要注意根据被代换的变量的范围对另外一个变量的范围的影响.黑色陷阱：黑色陷阱：本题容易犯这样的错误：1996+2,即1,xy6.xyxyxyx+y2xy26=12.x+y 的最小值是 12.产生不同结果的原因是不等式等号成立的条件是19=，不等式等号成立的条件是x=y.在同一个题目xy中连续运用了两次基本不等式,但是两个基本不等式等号成立的条件不同，会导致错误结论.变式训练变式训练已知正数 a,b,x,y 满足 a+b=10,思路分析：思路分析：本题属于“1”的代换问题.解：解：x+y=(x+y)(ab=1，x+y 的最小值为 18，求 a,b 的值.xyabbxaybxay)=a+b=10+.xyyxyxx,y0,a,b0，x+y10+2ab=18，即ab=4.又 a+b=10，a 2,a 8,或b 2.b 8例 3 求 f(x)=3+lgx+4的最小值（0 x1）.lgx思路分析：思路分析：0 x1,lgx0,40 不满足各项必须是正数这一条件，不能直接应用基本不等式，正确的处理方法是加上负lgx号变正数.解：0 x1,lgx0,440.-0.lgxlgx(-lgx)+(-44)2(lgx)()=4.lgxlgxlgx+44-4.f(x)=3+lgx+3-4=-1.lgxlgx41,即 x=时取得等号.lgx1004(0 x1)的最小值为-1.lgx当且仅当 lgx=则有 f(x)=3+lgx+黑色陷阱：黑色陷阱：本题容易忽略 0 x1 这一个条件.15，求函数 y=4x-2+的最大值.4x 545思路分析：思路分析：求和的最值，应凑积为定值.要注意条件 x，则 4x-50.45解：解：x,4x-50.411y=4x-5+3=-(5-4x)+34x 554x变式训练变式训练 1 已知 x-2(5 4x)1+3=-2+3=1.5 4x当且仅当 5-4x=1,即 x=1 时等号成立.54x所以当 x=1 时，函数的最大值是1.83时，求函数 y=x+的最大值.2x 328思路分析：思路分析：本题是求两个式子和的最大值,但是 x并不是定值,也不能保证是正值,所以,必须使用一2x 383 2x8133些技巧对原式变形.可以变为 y=（2x-3）+=-（）+,再求最值.2x 3223 2x2283 2x8133解：y=（2x-3）+=-（）+，2x 3223 2x22变式训练变式训练 2 当 x当 x3时，3-2x0，23 2x83 2x83 2x812=4，当且仅当，即 x=-时取等号.23 2x23 2x23 2x2于是 y-4+355=，故函数有最大值.222例 4 如图 3-4-1，动物园要围成相同的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成.图 3-4-1（1）现有可围 36 m 长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？（2）若使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋总长度最小？思路分析：思路分析：设每间虎笼长为 x m，宽为y m，则（1）是在4x+6y=36 的前提下求 xy 的最大值；而(2)则是在xy=24 的前提下来求 4x+6y 的最小值.解：解：（1）设每间虎笼长为x m，宽为 y m，则由条件,知 4x+6y=36，即 2x+3y=18.设每间虎笼的面积为 S，则 S=xy.方法一：由于 2x+3y22x3y=26xy,26xy18,得 xy2727，即 S.22当且仅当 2x=3y 时等号成立.由2x 2y,x 4.5,解得2x 3y 18,y 3.3y.2故每间虎笼长为 4.5 m，宽为 3 m 时，可使面积最大.方法二:由 2x+3y=18，得 x=9-x0,0y6.S=xy=(9-33y)y=(6-y)y.220y6,6-y0.S3(6 y)y227=.222当且仅当 6-y=y,即 y=3 时，等号成立，此时 x=4.5.故每间虎笼长 4.5 m,宽 3 m 时，可使面积最大.(2)由条件知 S=xy=24.设钢筋网总长为 l,则 l=4x+6y.方法一:2x+3y22x3y=26xy=24,l=4x+6y=2(2x+3y)48,当且仅当 2x=3y 时,等号成立.x 6,2x 3y,由解得y 4.xy 24,故每间虎笼长 6 m，宽 4 m 时，可使钢筋网总长最小.方法二:由 xy=24，得 x=24.yl=4x+6y=16169616+6y=6(+y)62 y=48,当且仅当=y，即 y=4 时，等号成立，此时 x=6.yyyy故每间虎笼长 6 m,宽 4 m 时，可使钢筋总长最小.绿色通道：绿色通道：在使用基本不等式求函数的最大值或最小值时，要注意：（1）x,y 都是正数；（2）积 xy（或 x+y）为定值；（3）x 与 y 必须能够相等，特别情况下，还要根据条件构造满足上述三个条件的结论.变式训练变式训练某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200 平方米的三级污水处理池(平面图如图 3-4-2 所示),由于地形限制,长、宽都不能超过 16 米,如果池外周壁建造单价为每米 400 元,中间两道隔墙建造单价为每米248 元,池底建造单价为每平方米 80 元,池壁的厚度忽略不计,试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低造价.图 3-4-2思路分析：思路分析：在利用均值不等式求最值时,必须考虑等号成立的条件,若等号不能成立,通常要用函数的单调性进行求解.200200米(0 x16,016),12.5x16.xx200200于是总造价 Q(x)=400(2x+2)+2482+80200.xx解：设污水处理池的长为x 米,则宽为=800(x+324324)+16 0008002x+16 000=44 800,xx当且仅当 x=324(x0),即 x=18 时等号成立,而 1812.5,16,Q(x)44 800.x下面研究 Q(x)在12.5,16上的单调性.对任意 12.5x1x216,则 x2-x10,x1x2162324.Q(x2)-Q(x1)=800(x2-x1)+324(11)x2x1=800(x2 x1)(x1x2324)0,x1x2Q(x2)Q(x1).Q(x)在12.5,16上是减函数.Q(x)Q(16)=45 000.答:当污水处理池的长为 16 米,宽为 12.5 米时,总造价最低,最低造价为 45 000 元.问题探究问题探究问题某人要买房,随着楼层的升高,上下楼耗费的精力增多,因此不满意度升高.当住第 n 层楼时,上下楼造成的不满意度为 n.但高处空气清新,嘈杂音较小,环境较为安静,因此随着楼层的升高,环境不满意度降低.设住第 n 层楼时,环境不满意程度为8.则此人应选第几楼,会有一个最佳满意度.n导思：导思：本问题实际是求 n 为何值时,不满意度最小的问题,先要根据问题列出一个关于楼层的函数式,再根据基本不等式求解即可.探究：探究：设此人应选第 n 层楼,此时的不满意程度为 y.由题意知 y=n+8.nn+882n 4 2,nn当且仅当 n=8,即 n=2 2时取等号.n但考虑到 nN N*,n21.414=2.8283,即此人应选 3 楼,不满意度最低.
