高中数学综合测试题 - 参考答案.pdf
高中数学综合检测题一(必修 3、选修 2-1)参考答案BBACBBDACCCC4813x2y2 1168600三、解答题17解(1)甲校两男教师分别用 A、B 表示，女教师用 C 表示；乙校男教师用D 表示，两女教师分别用 E、F 表示从甲校和乙校报名的教师中各任选1 名的所有可能的结果为：(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)共 9 种，从中选出两名教师性别相同的结果有：4(A，D)，(B，D)，(C，E)，(C，F)共 4 种，选出的两名教师性别相同的概率为P.9(2)从甲校和乙校报名的教师中任选2 名的所有可能的结果为：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)共 15 种从中选出两名教师来自同一学校的结果有：(A，B)，(A，C)，(B，C)，(D，E)，(D，F)，(E，F)共 6 种，62选出的两名教师来自同一学校的概率为P.15518解(1)频率分布表：分组41,51)51,61)61,71)71,81)81,91)91,101)101,111)(2)频率分布直方图：频数21461052频率2301304306301030530230(3)答对下述两条中的一条即可：1(i)该市一个月中空气污染指数有2 天处于优的水平，占当月天数的；有26 天处于良的水151314平，占当月天数的；处于优或良的天数共有28 天，占当月天数的.说明该市空气质量基1515本良好1(ii)轻微污染有 2 天，占当月天数的.污染指数在 80 以上的接近轻微污染的天数有 15 天，1517加上处于轻微污染的天数，共有 17 天，占当月天数的，超过 50%.说明该市空气质量有30待进一步改善19证明(1)因为DAB60，AB2AD，由余弦定理得 BD 3AD.从而 BD2AD2AB2，故 BDAD.又 PD底面 ABCD，可得 BDPD.所以 BD平面 PAD，故 PABD.(2)解如图，以 D 为坐标原点，AD 的长为单位长，射线 DA 为 x 轴的正半轴，建立空间直角坐标系Dxyz，则 A(1，0，0)，B(0，3，0)，C(1，3，0)，P(0，0，1)AB(1，3，0)，PB(0，3，1)，BC(1，0，0)设平面 PAB 的法向量为 n n(x，y，z)，n nAB0，x 3y0，则即3yz0.n nPB0.因此可取 n n(3，1，3)高中数学综合检测题一第1页共4页m mPB0，设平面 PBC 的法向量为 m m，则m mBC0.42 7可取 m m(0，1，3)cosm m，n n.72 72 7故二面角 A PB C 的余弦值为.720解(1)设 M 的坐标为(x，y)，P 的坐标为(xP，yP)，x x，P由已知得5y P4y.P 在圆上，x2(52x2y2y)25，即轨迹 C 的方程为1.42516PBAC66设 PB 与 AC 所成角为，则 cos|.4|PB|AC|2 22 3(3)解由(2)知BC(1，3，0)设 P(0，3，t)(t0)，则BP(1，3，t)设平面 PBC 的法向量 m m(x，y，z)，则BCm m0，BPm m0.x 3y0，66所以令 y 3，则 x3，z.所以 m m(3，3，)ttx 3ytz0.6同理，平面 PDC 的法向量 n n(3，3，)t36因为平面 PBC平面 PDC，所以 mnmn 0，即620，t解得 t 6.所以 PA 6.yxb22解(1)由2得 x24x4b0(*)，x 4y44(2)过点(3，0)且斜率为 的直线方程为 y(x3)，55设直线与 C 的交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，4将直线方程 y(x3)代入 C 的方程，得5x225（x3）2251，因为直线 l 与抛物线 C 相切，所以(4)24(4b)0，解得 b1.(2)由(1)可知 b1，故方程(*)为 x24x40，解得 x2，代入 x24y，得 y1，故点 A(2，1)因为圆 A 与抛物线 C 的准线相切，所以圆 A 的半径 r 就等于圆心 A 到抛物线的准线 y116（1）（x1x2）225414141.255的距离，即 r|1(1)|2，所以圆 A 的方程为(x2)2(y1)24.3 413 41即 x23x80.x1，x2.22线段 AB 的长度为|AB|（x1x2）2（y1y2）221(1)证明因为四边形 ABCD 是菱形，所以 ACBD.又因为 PA平面 ABCD，所以 PABD，所以 BD平面 PAC.(2)解设 ACBDO，因为BAD60，PAAB2，所以 BO1，AOCO 3.如图，以 O 为坐标原点，建立空间直角坐标系O xyz，则 P(0，3，2)，A(0，3，0)，B(1，0，0)，C(0，3，0)所以PB(1，3，2)，AC(0，2 3，0)高中数学综合检测题一第2页共4页高中数学综合检测题二(必修 3、选修 2-1)参考答案DBDAAADCAD DA4故所求的概率 P(A)0.4.1019(1)证明因为 EFAB，FGBC，EGAC，ACB90.1013125三、解答题17解本题考查概率统计的基础知识和方法，考查运算能力，分析问题、解决问题的能力(1)当 X8 时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8,8,9,10，所以平均数为：x 889104354；方差为：s2148354283542935421035421116.(2)记甲组四名同学为 A1，A2，A3，A4，他们植树的棵数依次为 9,9,11,11；乙组四名同学为 B1，B2，B3，B4，他们植树的棵数依次为9,8,9,10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，所有可能的结果有 16 个：(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，B4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，B4)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(A3，B4)，(A4，B1)，(A4，B2)，(A4，B3)，(A4，B4)，用 C 表示“选出的两名同学的植树总棵数为19”这一事件，则 C 中的结果有 4 个，它们是：(A，B4114)，(A2，B4)，(A3，B2)，(A4，B2)故所求概率为 P(C)164.18解(1)由频率分布表得 a0.20.45bc1，即 abc0.35.因为抽取的 20 件日用品中，等级系数为4 的恰有 3 件，所以 b3200.15，等级系数为 5 的恰有 2 件，所以 c2200.1，从而 a0.35bc0.1.所以 a0.1，b0.15，c0.1.(2)从日用品 x1，x2，x3，y1，y2中任取两件，所有可能的结果为：x1，x2，x1，x3，x1，y1，x1，y2，x2，x3，x2，y1，x2，y2，x3，y1，x3，y2，y1，y2记事件 A 表示“从日用品 x1，x2，x3，y1，y2中任取两件，其等级系数相等”，则A 包含的基本事件为：x1，x2，x1，x3，x2，x3，y1，y2，共 4 个又基本事件的总数为 10，高中数学综合检测题二所以EGF90，ABCEFG.由于 AB2EF，因此 BC2FG.连接 AF，由于 FGBC，FG12BC，在ABCD 中，M 是线段 AD 的中点，则 AMBC，且 AM12BC，因此 FGAM 且 FGAM，所以四边形 AFGM 为平行四边形，因此 GMFA.又 FA 平面 ABFE，GM平面 ABFE，所以 GM平面 ABFE.(2)解因为ACB90，所以CAD90.又 EA平面 ABCD，所以 AC，AD，AE 两两垂直分别以 AC，AD，AE 所在直线为 x 轴，y 轴和 z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设 ACBC2AE2，则由题意得A(0，0，0)，B(2，2，0)，C(2，0，0)，E(0，0，1)，所以AB(2，2，0)，BC(0，2，0)又 EF12AB，所以 F(1，1，1)，BF(1，1，1)设平面 BFC 的法向量为 m m(x1，y1，z1)，则 m mBC0，m mBF0，所以y10，取 zx z11，得 x11，所以 m m(1，0，1)11，设平面向量 ABF 的法向量为 n n(x2，y2，z2)，则 n nAB0，n nBF0，所以x2y2，取 yz21，得 x21，则 n n(1，1，0)20，第1页共4页m mn n1所以 cosm m，n n.|m|m|n|n|2因此二面角 ABFC 的大小为 60.x2y2x02y0220解(1)点 P(x0，y0)(x0a)在双曲线221(a0，b0)上，有221.ababy0y01由题意又有，x0ax0a5c30即 x025y02a2，可得 a25b2，c2a2b26b2，则 e.a5222x 5y 5b，(2)联立得 4x210cx35b20，yxc，P(0，2，0)，则DQ(1，1，0)，DC(0，0，1)，PQ(1，1，0)所以PQDQ0，PQDC0.即 PQDQ，PQDC，又DQDCD，故 PQ平面 DCQ.又 PQ 平面 PQC，所以平面 PQC平面 DCQ.(2)依题意有 B(1，0，1)，CB(1，0，0)，BP(1，2，1)设 n n(x，y，z)是平面 PBC 的法向量，则n nCB0，x0，即因此可取 n n(0，1，2)x2yz0.n nBP0，m mBP0，设 m m 是平面 PBQ 的法向量，则可取 m m(1，1，1)，m mPQ0.所以 cosm m，n n1515.故二面角 Q BPC 的余弦值为.55设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则35bx x.421 25cx1x2，222.解解（1）设OC(x3，y3)，OCOAOB，x3x1x2，即y3y1y2，MF13b213由题知，=,且a2=b2+c2.联立整理得：2e2+3e-2=0，F1F24a2c411解得e=.C的离心率为.22（2）又 C 为双曲线上一点，即x325y325b2，有(x1x2)25(y1y2)25b2，化简得 2(x125y12)(x225y22)2(x1x25y1y2)5b2，b2由三角形中位线知识可知，MF2 22，即 4.a设F1N m,由题可知MF1 4m.由两直角三角形相似，可得3M,N两点横坐标分别为c,-c.由焦半径公式可得:23cMF1 a ec,NF1 a e(-c)，且MF1:NF1 4:1,e,2aa2 b2 c2.联立解得a 7,b 2 7.所以，a 7,b 2 7又 A(x1，y1)，B(x2，y2)在双曲线上，所以 x125y125b2，x225y225b2.由式又有 x1x25y1y2x1x25(x1c)(x2c)4x1x25c(x1x2)5c210b2，由式得 240，解出 0，或 4.21解如图，以 D 为坐标原点，线段DA 的长为单位长，射线 DA 为 x 轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz.(1)证明依题意有 Q(1，1，0)，C(0，0，1)，高中数学综合检测题二第2页共4页
