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高二数学集体备课材料（二）高二数学集体备课材料（二）2014 年 2 月 27 日数y f(x)在区间（a,b）上单调递减，则f(x)0，反之等号不成立。（2）若在某区间上有有限个点使，在其余点恒有，则仍为增函数（减函1.31.3 导数在研究函数中的应用导数在研究函数中的应用教学目标：教学目标：1了解可导函数的单调性与其导数的关系；理解极大值、极小值的概念；数的情形完全类似）。例如：（3）只有在某区间内恒有，这个函数而 f(x)在 R 上递增.在这个区间上才为常数函数.2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间；（4）注意导函数图象与原函数图象间关系.3.掌握求可导函数的极值的步骤，使学生理解函数的最大值和最小值的概念（二）导数与函数的极值（二）导数与函数的极值教学重点：教学重点：利用导数研究函数的单调性，极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤.利用导数求函数的最大值和最小值的方法教学难点：教学难点：利用导数研究函数的单调性，求可导函数的极值的步骤，函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系知识要点梳理：知识要点梳理：统称为极值。（一）导数与函数的单调性（一）导数与函数的单调性1.一般地，设函数 y=f(x)在某个区间内有导数，若若若恒有恒有，则，则，则在这个区间上为增函数；(2)解方程f在这个区间上为减函数；如果在 x0附近的左边f在这一区间上为常函数.如果在 x0附近的左边f特别提醒：特别提醒：（1）x0是极值点的充要条件是x0点两侧导数异号，而不仅是f x00；f x00 是x0为极值点的必要而不充分条件。（2）给出函数极大(小)值的条件，一定要既考虑f(x0)0，又要考虑检验“左正右负”(“左负右正”)的转化，否则条件没有用完，这一点一定要切记！（3）在函数的极值定义中，一定要明确函数y=f(x)在 x=x0及其附近有定义，否则无从比较3.3.注意：注意：（1 1）若函数y f(x)在区间（a,b）上单调递增，则f(x)0，反之等号不成立；若函（4）函数的极值是就函数在某一点附近的区间而言的，是一个局部概念；在函数的整个定义域内-1-（1 1）定义：）定义：设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近所有的点，都有f(x)f(x0)，就说是f(x0)函数f(x)的一个极大值。记作y极大值f(x0)，如果对x0附近所有的点，都有f(x)f(x0)，就说是f(x0)函数f(x)的一个极小值。记作y极小值f(x0)。极大值和极小值（2）求可导函数求可导函数f f(x x)的极值的方法与步骤的极值的方法与步骤:(1)确定函数的定义区间，求导数f(x)/x=0,当fx=0 时:x0,右边fx0,那么 f(x)是极大值；02.2.利用导数求函数单调性的基本步骤：利用导数求函数单调性的基本步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f(x)；(3)在定义域内解不等式f(x)0 或 f(x)0，解出相应的 x 的范围；当f(x)0 时，f(x)在相应区间上为增函数；当f(x)0 时，f(x)在相应区间上为减函数.（4)写出f(x)的单调区间.x0,右边fx0,那么 f(x)是极小值。0可能有多个极值，也可能无极值.由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.（5）极大值与极小值之间无确定的大小关系.即一个函数的极大值未必大于极小值.极小值不一定是整个定义区间上的最小值.（6）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点.（三）导数与函数的最值（三）导数与函数的最值1.1.定义：定义：函数f(x)在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极大值与其端点值中的“最大值”；函数f(x)在一闭区间上的最小值是此函数在此区间上的极小值与其端点值中的“最小值”。2.2.求函数求函数y f(x)在在 a,b 上的最大值与最小值的步骤：上的最大值与最小值的步骤：（i）求函数y f(x)在（a,b）内的极值（极大值或极小值）；（ii）将y f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。3 3 注意：注意：（1）最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性从个数上看，一个函数在其定义域上的最值如果有，则是唯一的；而极值可以不唯一；（3）若函数 y=f(x)在闭区间a,b上连续，则 y=f(x)在a,b上必有最大值和最小值；在开区间2函数f(x)x 3x 1是减函数的区间为：D.(2,).(,2).(,0).(0,2)3.函数f(x)x ax在1,)上单调函数，则实数a的取值范围_（答：0 a 3）；4在a,b上，f(x)0恒成立是函数y f(x)单调递增的_条件。(必要不充分)5.函数f(x)x ax 3x 9，已知f(x)在x 3时取得 极值，则a=DA.2232332B.33C.4D.56.函数y (x 1)1的极值点是（答：C）；A、极大值点x 1 B、极大值点x 0 C、极小值点x 0 D、极小值点x 17函数f(x)x ax (a 6)x 1有极大值和极小值，则a的取值范围是a 6或a 38.函数y 2x 3x 12x 5在0，3上的最大值、最小值分别是_（答：5；-15）9.方程x 6x 9x 10 0的实根的个数为_（答：1）；32323210.f(x)的导函数y f(x)的图象如右图所示，则y f(x)的图象最有可能的是（C）11 已知函数y xf(x)的图象如右下图所示(其中f(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中y f(x)的图象 大致 是：C12.若f(x)(a,b)内连续的函数 y=f(x)不一定有最大值与最小值.如(4)函数的最值点必在函数的极值点或者区间的端点处取得。(5)函数的极值可以有多个，但最值只有一个。典型例题典型例题.12x bln(x2)在(-1,+)上是减函数，则b的取值范围是 C221函数f(x)x ax bx c，当a 3b 0时，f(x)的单调性是递增32A-1,+)B(-1,+)C(-,-1 D(-,-1)-2-13.13.函数函数fx x3ax2bxa2在在x 1处有极小值处有极小值 1010，求，求ab的值的值（答：（答：7 7）A=4,b=-11;A=4,b=-11;或或 a=-3,b=3a=-3,b=3（舍去）（舍去）14.设x 1和x 2是函数f(x)ax3bx26x1的两个极值点.(1)求a、b的值；(2)求f(x)的单调区间解：（1）f(x)3ax22bx 6，由已知可得f(1)3a2b6 0，f(2)3a222b26 0解得a 1,b 92.(2)由（1）知f(x)3x29x6 3(x23x2)3(x1)(x2).当x(,1)(2,)时，f(x)0；当x(1,2)时，f(x)0因此f(x)的单调增区间是(,1),(2,),f(x)的单调减区间是(1,2)15.已知函数f(x)a3x3322x(a1)x1，其中a为实数.（1）已知函数f(x)在x 1处取得极值，求a的值；（2）已知不等式f(x)x2 xa 1对任意a(0,)都成立，求实数x的取值范围.解：(1)f(x)ax23x(a 1).由于函数f(x)在x 1处取得极值，所以有f(1)0，即：a3a1 0 a 1.（2）由题设知：ax23x(a1)x2 xa1对任意a(0,)都成立，即a(x22)x22x 0对任意a(0,)都成立。于是a x22xx22xx22对任意a(0,)都成立，即x22 0.2 x 0.从而实数x的取值范围为：2 x 0.16.已知函数f(x)x3(1a)x2a(a2)xb(a,bR R)（1）若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率是3，求a,b的值；（2）若函数f(x)在区间(1,1)上不单调，求a的取值范围解析：，解得b 0，a 3或a 1（2）函数f(x)在区间(1,1)不单调，等价于导函数f(x)在(1,1)既能取到大于 0 的实数，又能取到小于 0 的实数即函数f(x)在(1,1)上存在零点，根据零点存在定理，有f(1)f(1)0，即：3 2(1 a)a(a 2)3 2(1 a)a(a 2)0整理得：(a 5)(a 1)(a 1)2 0，解得5 a 117设函数f(x)x392x26xa（1）对于任意实数x，f(x)m恒成立，求m的最大值；34（2）若方程f(x)0有且仅有一个实根，求a的取值范围a 2或a 52.高考链接高考链接一、选择题1 （2013 年高考湖北卷（理）已知a为常数,函数f(x)xln x ax有两个极值点x1,x2(x1 x2),则（）Af(x1)0,f(x2)12Bf(x11)0,f(x2)2Cf(x1)0,f(x12)2Df(x1)0,f(x12)2【答案】D2（2013 年普通高等学校招生统一考试新课标卷数学（理）已知函数f(x)x3ax2bxc,下列结论中错误（）Ax0R,f(x0)0B函数y f(x)的图像是中心对称图形C若x0是f(x)的极小值点,则f(x)在区间(,x0)上单调递减D若x0是f(x)的极值点,则f(x0)0【答案】C-3-3（2013年 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试 辽 宁 数 学（理）试 题）设 函 数（A）函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)（B）函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)（C）函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)（D）函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)2.【2012 高考新课标理 12】设点P在曲线y exe2fx满足x f x2xfx,f2,则x 0,时，fxx82（）A有极大值,无极小值C既有极大值又有极小值【答案】DB有极小值,无极大值D既无极大值也无极小值4（2013 年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题）设函数f(x)的定义域为 R,x0(x0 0)是f(x)的极大值点,以下结论一定正确的是AxR,f(x)f(x0)Cx0是 f(x)的极小值点Bx0是f(x)的极小值点Dx0是 f(x)的极小值点（）为（）1xe上，点Q在曲线y ln(2x)上，则PQ最小值2(A)1ln2(B)2(1ln 2)(C)1ln2(D)2(1 ln 2)x3.【2012 高考陕西理 7】设函数f(x)xe，则（）A.x 1为f(x)的极大值点 B.x 1为f(x)的极小值点C.x 1为f(x)的极大值点 D.x 1为f(x)的极小值点学4.【2012 高考辽宁理 12】若x0,)，则下列不等式恒成立的是(A)ex【答案】D5 （2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题已知e为自然对数的底数,设函数f(x)(ex1)(x1)k(k 1,2),则（）A当k 1时,f(x)在x 1处取得极小值 B当k 1时,f(x)在x 1处取得极大值C当k 2时,f(x)在x 1处取得极小值【答案】C二、填空题6（2013 年高考江西卷（理）设函数f(x)在(0,)内可导,且f(e)xe,则xxD当k 2时,f(x)在x 1处取得极大值1 x x2 (B)1111xx2241 x(C)cosx 1121x (D)ln(1 x)xx22835.【2012 高考全国卷理 10】已知函数y x 3x c的图像与 x 恰有两个公共点，则 cfx(1)_【答案】27（2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷若曲线y kxln x在点线平行于x轴,则k _.【答案】11.1.【20122012 高考重庆理高考重庆理 8 8】设函数f(x)在 R 上可导，其导函数为f(x)，且函数y (1 x)f(x)的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是,1,k处的切（A）-2 或 2（B）-9 或 3（C）-1 或 1（D）-3 或 1二、填空题6.【2012高考浙江理16】定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离，已222知曲线C1：y=x+a到直线l:y=x的距离等于曲线C2：x+(y+4)=2到直线l:y=x的距离，则实数a=_。37.【2012 高考广东理 12】曲线 y=x-x+3 在点（1，3）处的切线方程为-4-