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中学数学中概念教学研究摘要 数学教育是一项十分伟大并且庄严的事情，学生学习数学概念则是数学教育的重点。而今许多教师对数学概念的教学方法和教学流程选择不当，所以在以往学者研究的基础上，本论文采用案例分析法和访谈法就数学概念的教学方法和流程的选择进行研究，旨在找到最为合适的教学策略使得学生学习概念的效率有所提高。通过对九年级的两个案例的教学分析，与不同年级、职称的教师和不同年级、等级的学生进行访谈交流分析得到的结论，初步提出就本文研究对象而言最为有效的教学策略是运用趣味情境引入数学概念，在课堂的中期将完整规范的数学概念教授完成。关键词 数学概念教学 教学方法 教学流程Research on concept teaching in middle school mathematicsAbstract Mathematics education is a great and solemn thing, and students' learning of mathematical concepts is the focus of mathematics education. Now many teachers of mathematics teaching methods and teaching process of the concept of improper selection and so on the basis of previous studies, this paper uses the case analysis method and interview method of math teaching methods and process of the concept of the choice of study, aims to find the most suitable teaching strategies to make students to learn the concept of efficiency improved.Through analyzing two case teaching in grade nine, with different grade, the title of the teachers and students of different grades, grade interview communication analysis conclusion, put forward in terms of this article research object is the most effective teaching strategy is to use interesting situation introduces mathematical concepts, in the middle of the classroom to complete specifications, a professor of mathematics concept. Key words mathematical concept teaching, the teaching method, the teaching process目 录引言11 数学概念概述11.1 数学概念的产生与确定11.2 数学概念的发展简述21.3 数学概念的特性31.3.1 抽象性与具体性31.3.2 既定性与灵活性31.3.3 独立性与系统性31.4 数学概念的学习32 中学数学概念教学42.1 中学数学概念教学的现状42.2 中学数学概念教学方法42.2.1 复习旧知引入42.2.2 趣味情境引入52.2.3 新知问题引入62.3 中学数学概念教学流程62.3.1 课堂前期教学62.3.2 课堂中期教学72.3.3 课堂后期教学73 影响概念学习的因素83.1 学生方面的因素83.1.1 自身经验83.1.2 学习能力93.2 概念方面的因素93.2.1 概念本身因素93.2.2 概念教学因素104 中学数学概念教学的案例研究104.1 “二次函数的图像和性质”的概念教学114.1.1 课堂教学设计及意图114.1.2 课后教学反思114.2 “一元二次方程的解法”的概念教学124.2.1 课堂教学设计及意图124.2.2 课后教学反思134.3 关于数学概念教学的访谈分析134.3.1 与教师访谈的结论分析134.3.2 与学生访谈的结论分析155 结论与思考16参考文献18致谢19附录20引 言数学概念是构成数学理论体系的重要基础。在长期的数学教育历程中，教师机械地传授给学生新的概念，会使教学效率低下，学生也无法真正理解。对于一名教师而言，最重要的工作就是思考如何让学生牢固掌握这些概念并得以运用。本论文就数学概念的引入方法及合适的教学流程进行研究。据了解，无论是国内还是国外，无论是方法还是内容，研究者们都在强调概念教学的重要性。对于概念教学的方法已经有很多学者进行了探析，然而对于教学流程的研究还待开发，需要二者有机结合，合理运用才能够让数学概念的教学达到预期效果，使学生充分掌握概念表达的含义并会对其进行应用。数学概念的教授是一节课的重点，一节课的大部分时间和精力都应该用于概念的引入、理解，但怎样能让这部分时间使用的效率最高，取决于教师良好的教学策略的选择。一名合格且优秀的教师应尽可能选择最为合适并且易于学生接受和理解的方法教授新概念，还应在课堂中给予学生充分理解概念的时间，让学生消化掌握新知。中学的学生思维处于形象思维向抽象思维过渡的阶段，故对于中学数学教师而言，数学概念的教授方法及流程颇为重要。而今有部分教师对概念的教授方法、流程的使用不当，使得学生并不能应用其到习题的解决或实际生活中。本论文结合理论与实践对中学数学课堂中概念的教授进行系统的研究，从国内外研究现状出发，把引入方法初步分为复习旧知引入、趣味情境引入、新知问题引入三种；把教学流程初步分为课堂前期、课堂中期、课堂后期三种，并结合实际情况，列举一些在数学概念教学中较为合适的教学方法。在研究过程中主要采用案例分析与访谈问话法。打算通过本次研究能够提出优良的关于概念教学的有效方法，有助于深化改革，也更易于学生接受与理解。1 数学概念概述1.1数学概念的产生与确定数学概念（mathematical concepts）是人脑对现实对象的数量关系和空间形式的本质特征的一种反映形式，即一种数学的思维形式。在数学中，数学概念的构成是以定理、公式、法令作为表现方式并且是一般的思维形式的推理和判断的基础。数学概念的产生源于人们生活实践的迫切需要，原始人在进行农作时，需要巧妙地测量计算一些土地种植面积之类的实际问题。况且在我们的生活中有太多杂乱无章的事物，所以需要人们抽象概括出事物的部分特点，以至于描述一件事物之时不必叙述冗长的文字。于是，“概念”这两个字慢慢地进入了人类的生活。数学概念的产生还和人类的社会实践密切相关，但从根本上讲，数学概念的产生是满足了数学概念自身发展规律的要求，是自由想象和创造出来的理性本身的产物。因此，掌握数学基础知识和运算技能、发展逻辑论证和空间想象能力的前提就是要正确理解并能够灵活地运用数学概念。我们已经知道，概念是在人脑中对客观事物的一种笼统的归纳，是我们看不见并且摸不着的，所以要想用词语、语句表达出来就要给概念下定义。概念定义就是要展示出一个概念的内涵和外延，所以明确概念就是要理解概念的内涵和外延。在中学里，大部分概念的定义形式都是内涵定义，它们基本都是由定义联项、被定义项和定义项三部分构成。例如，在“用不等号表示不等关系的式子叫做不等式”这一定义中，“不等式”就是需要明确的概念也就是被定义项，“用不等号表示不等关系的式子”是用来明确被定义项的概念，称为定义项，那么“叫做”则是用来连接被定义项和定义项的定义联项。1.2数学概念的发展简述数学概念是人类智慧的结晶，首先就表现在概念的形成上。现在我们所认识的自然数1，2，3，4等等都会觉得很自然，好像一开始就应该有。但在人类发展的历史长河中能认识到“1”这个数字是件非常难的事情，而“0”的发现更是令人觉得了不得。“0”在我国古代被称为“金元数字”意思就是非常珍奇的数字，据说起源是由印度人在公元大约5世纪的时候创造的。但在刚把0这个概念引入到西方时，曾一度引起西方人的困惑， 因为当时的西方有很多理论加入了0这个符号之后都会称为悖论，所以西方人认为它是魔鬼数字而且被禁用。这种现象一直到大约公元15，16世纪才逐渐被西方人认可，并且推动了西方数学的快速发展。后来随着负数、无理数的发现，实数的理论才得以完备。看来，数的发展为数学概念的发展打下了夯实的基础，作了一个良好的铺垫。数学的发展实际上是围绕着数和形两个基本概念的提取、演化而发展的。关于“数”这一条路线主要研究的是计算和代数方面，有两个发展的源泉，一个是中国的数学，另一个则是古巴比伦的数学。但这条路线进一步得到发展是在古希腊亚里山大时期，然后才逐渐在中国、印度和阿拉伯等国家宣传施展阐发，直到17世纪的欧洲才形成了完整的初等代数学。还有一条是发展“形”的以几何方面为主要研究对象的路线。这条路线以埃及数学为源头，而最辉煌的初等几何学是在古希腊时期初步研究完成的。这两种数学共同发展不会相悖，所以在17世纪的欧洲得以汇合，随后又经过进一步的发展，产生了解析几何，还导致了变量数学的产生。再后来微积分的诞生，数学的巨大变革开始了，产生了新的一大研究领域“数学分析”，并且分析、代数、几何三大领域形成了“三足鼎立”的局面。后来18、19世纪的数学不断地分化，三大领域又形成了各自并不相同的研究领域，数学的概念就越来越复杂了。数学家们不断在挖更深的知识，创造出更伟大的概念。1.3数学概念的特性1.3.1抽象性与具体性数学概念是从物体的本质属性中抽象出来的，有的甚至脱离了实际的生活。伴随着数学研究领域的广泛性及深入性，数学概念抽象性的特点也越来越明显，况且本来有的概念就是人类自由想象、创造出的产物。不过，数学概念的提出也是为了实际问题的解决，所以还是要落实到具体的问题之中，这也就体现了它的具体性。有的时候，光凭概念我们还不能解决，还需要构造出具体的数学模型，借助数学建模的知识。归根结底，数学概念就是从具体的事物中不断地抽象出来的产物。1.3.2既定性与灵活性数学概念反映的内容既是确定的又是会随着客观世界的发展而灵活变化的，二者呈现一种辩证统一的关系。对于数学概念的定义，不断有人会研究出更详细、更有代表性的语句来描述，所以它并不是一成不变的，它也会因为反映的对象的深入研究而被重新定义。1.3.3独立性与系统性每个概念之间都是不同的，都是独立的，但是概念之间又有着一定的联系。例如对于绝对值和相反数的定义中，绝对值和相反数是两个并不相同的概念，然而“符号不同、绝对值相同的两个数互为相反数”。显然，这两个概念是一种系统的发展。正是因为概念的系统性，才形成了现在庞大的数学体系。1.4数学概念的学习中小学的数学概念还较易于大部分学生接受和理解，对于概念的应用也掌握得还不错。但到了大学之后，大部分概念变得晦涩难懂，需要学生去细细琢磨概念中的每一个字、每一个词。也许，一句话中抽离出小短句或者词汇还能够理解，但是连成完整的一句数学概念之后就理解不了了，更别提概念的外延了。例如：代数中对理想的定义，“环R的一个非空子集I叫做一个理想子环，简称理想”对于这一句话看似简单，实则用式子表示的时候还隐藏了一个“强闭合性”的概念，这就要求我们理解概念时不能只理解一半。随着在数学领域研究的深入性，数学概念变得越来越抽象已然成为了不可更改的事实，学生只能够加强自身对概念的理解能力，从找到理解概念的小技巧入手，攻破概念中的重点难点。不过重要的数学概念对于数学发展作出的贡献是不可估量的。比如函数概念的发展和完善，能够帮助我们解决很多生活中的实际问题，而且在物理学中的应用也极为广泛，如电流、电阻和电压三者之间的关系就能构成反比例函数等等。如果能够将函数的概念理解透彻，不仅加强了各个理科学科之间的联系，对培养我们解决问题的能力也是有百利而无一害。学习数学概念可以提高我们自身的数学素养，也有助于其他学科的学习。2 中学数学概念教学2.1中学数学概念教学的现状对于学生的数学概念的意识培养就应该从小抓起，在刚接触数学概念时就要反复强调数学概念的重要性，必须让学生理解了其中的内涵再进行习题的训练。然而现在的中学还有教师在运用陈旧的教学方法，不停地给学生灌输知识，学生做不到“融会贯通”。甚至有的教材对于概念的定义都是错误的，有争议的，所以这也就是为什么教材不断地在改正、纠错的原因，只为让学生接受最为正确的教育，体现了教育的严谨性。大部分教师都已经能够运用合适的教学方法来教授数学概念了，比如创造一个相关的有趣的背景或者活动，意在较为自然地引入新课的知识，并且吸引学生的兴趣对所学内容产生一个渴求新知的欲望。但是到目前为止，很多教师对于教学流程并没有特别的注意过。心理学研究表明，中学生一节课并不可能注意力都集中在教师上课的节奏中，所以对于概念的教授，应该还要根据班级学生的状况选择合适的时间讲授，还要留给学生一定的消化理解概念的时间。只有教学方法和教学流程二者相辅相成，形成绝佳的教学策略才能够保证一个新的数学概念的教学。2.2中学数学概念教学方法概念的引入是一节课的重点，也是形成概念的基础。经过人们的研究已经提出了很多形式的概念引入的方法，但中学里还是以这三种教学引入的方式最为常见：复习旧知引入、趣味情境引入、新知问题引入。这三种方式各有各的特点，但都能很好地让学生接受和理解。2.2.1复习旧知引入一个新的数学概念的产生往往会建立在无数个旧概念上，新旧知识之间有着密切的联系，并且能构成一种体系。在授课时，用已经学过的概念引入新课，一方面复习了学过的内容，一方面让学生形成一种认知冲突。这个新的问题我们不能用已经学过的知识来解决，从而会引起学生们对新知识的好奇心，有利于学生在听课时集中注意力，扩充和完善自己的知识体系。一个新的概念没有旧知识作为支撑，就好像散了架的房子，轻轻一碰就容易被推翻了。联系以前学习过的知识能够让学生们体会到数学与数学之间、概念与概念之间存在着一定的关联，这样理解消化了概念之后就会演变成自己的一套数学理论体系，有助于期中、期末、毕业这种混合所有概念综合出题的考试。学生如果只是对每个小的概念理解了，但不能将它总结成完整的数学概念框架，就无法解答综合题型，对生活中的一些复杂的需要运用很多知识解决的问题也就无从下手了。举个例子来说，对于“有理数与无理数”这节课的教学，教师必须联系旧知引入，这样在教学“有理数的分类”时，学生自然而然就能想到，有理数可以分成已经学过的整数和分数。而因为上一节课时学了正数和负数，也可以很巧妙地引出有理数还可以分成正有理数和负有理数，加上教学完了无理数之后，实数的分类就得以完善了。像这样，一环扣一环的教学能够帮助学生整理概念的形成框架，加快了教学的速度，提高了教学的效率。2.2.2趣味情境引入我们都知道，数学来源于生活又应用于生活，我们学习数学也是为了解决生活中的实际问题。那么，我们就可以创设一个贴近生活的实例或者是一个趣味的活动来作为概念的导入环节。学生可以先通过生活中积累的经验尝试着解决新的问题或者在活动时遇到的困难，当学生发现自己想解决却又解决不了的时候，教授新的概念。如此，学生也能清楚地掌握这个概念的外延，也就是它用于解决哪一类问题。创设情境引入不仅吸引了学生的眼球，集中了学生的注意力，还锤炼了学生动手操作的能力。此外，又能够让学生感受到数学贴近日常的实际生活。好的一堂课应该具备生动、活灵活现的特点，教师应做到“课由心生”，整堂课的氛围也应该是积极活跃的，趣味的活动和情境就有助于调节课堂的气氛。设计了情境活动的和没有设计的完全是两堂效果天差地别的课。就拿“有理数的乘方”这一节课来说，一位教师直接以学过的“6个2的连乘的计算结果记做26，读作2的6次方”引入乘方和幂的概念，但是学生对直白的概念的出示提不起兴趣，所以造成了很多同学出现了注意力不集中，开小差的情况，作业也就完成的并不理想。而另一位教师则是花费了课堂开始十分钟的时间，以“舌尖上的中国”中介绍拉面的视频引入，一下子提起了同学们的兴致，发问的时候很多学生都积极举手。不仅如此，这位教师还设计了一个动手操作的环节“将一张白纸对折再对折”，让学生们更加深刻地感受乘方和幂的概念的来源。整节课达到了预期的教学效果，学生们的课堂反馈也十分理想。2.2.3新知问题引入如果一堂课的概念比较容易理解，教师也可以采用直接引入的方式，直截了当地提出问题，让学生交流讨论思考如何解答。必要时，也可以借助数学模型和动画演示，使学生从丰富的感知材料中，逐步抽象出数学的概念。这一种方法多用于对一类概念的总结或者计算的法则的教学。就好比一上课就告诉了同学们这节课很重要，是归纳性的课程，一定要认真听讲。中学生的注意力基本都是在后半堂课才开始分散，所以直接向学生提问，一下子就让学生进入思考学习的状态。在课堂的初始就教学完新的概念，那后半节课的应用学生就会主动参与练习，这样对于概念的巩固也起到了一定的效果。比如，“整式的加减”的运算规律“如果有括号先去括号，再合并同类项”，就可以直接提出问题，用两个三角形和一个长方形拼成的形状不同的四边形的周长是多少。让学生直接通过计算周长，感受带有字母的整式的加减，有括号要先去括号，再合并同类项。这是学生自己通过解题就能发现的规律，所以可以直接引入。这样既不会占用课堂教学练习的过多时间，也完成了这一知识点的教学，大大提高了课堂教学的效率。反之，如果花大部分时间创设情境，学生可能在情境的教学之中就失去了对本节课学习的兴致，觉得计算周长之类的列式都是已经会的知识，没有必要多听了，本节课的教学重点也就此偏离了方向。看来，这三种方法适用的课题还有很大的区别。这就要求我们教师能够根据课程标准的要求，确定正确的教学目标，搞清楚一节课的教学重难点，再结合学生的具体情况，选择最为合适的教学方法。2.3中学数学概念教学流程数学概念的教学有了合适的引入方法其实还不够，前人对教学流程的研究并不多，教学流程即为数学概念在一堂课中出示的时间。在实习的过程当中，会发现中学常用的教学流程有这样的三种时候：课堂前期、课堂中期还有课堂后期。教学流程的选择和教学方法的选择是相辅相成的，好的教学引入但是没有在合适的时间出示概念，教学的效果可能会适得其反。2.3.1课堂前期教学在课堂前期就出示新概念属于开门见山式的教学，一节课的开始是学生注意力最为集中的时候，这个时候对新知做一个简单的引入然后直接完成概念的教学，更容易让学生记住。但这种教学模式的适用范围并不广泛，只用于一些简单直白的概念，学生根据日常生活经验的积累也能够大致总结出这种规律，只是对于数学概念的用词还达不到很规范的程度，所以需要教师的引导。像这样的一堂课，教学概念的时间很短，大部分时间会用在理解概念的外延上，讲解概念使用的各种情形。对于学生来说，已经学会了概念的内涵，大部分学生还是愿意跟着老师一起了解一下概念的应用。小学中是这样定义平移的：“物体沿一条直线的运动就是平移”，有了小学学习的基础，教师很快就能根据两个例子引出图形的平移的概念，“在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形的运动叫做图形的平移”。接着就直接教学把一条线段或者一个平面图形平移到一定的位置。主要通过在学生动手操作时检验对概念是否真的理解，所以对于平移的概念的教学时间则是尽可能减少，这样能有效地提高教学的效率。2.3.2课堂中期教学很多概念的教学需要一定的情境和活动作为铺垫引出，那么概念的出示就只能在课堂中期，剩下的时间还需要保证对概念进行简单的运用练习。这也是现在大部分教师采用的最多的教学流程，大部分学生对这个流程也很熟悉，比较能适应这样的教学节奏。在上课的开始给学生一些调整自己进入学习状态的时间，先调动起学生的积极性，让学生达到一节课的“兴奋点”，也就是对学习新知呈现出最饱满的状态。这时候教师给予学生充足的“养分”，学生吸收的速度就会大大加快，从而也会节省一些教师对概念的反复解释的时间。到了后期进行概念的应用教学时，也就只需要保证大部分学生保持住70的注意力即可达到预期的教学效果。例如，“勾股定理”的教学就是从希腊发行的纪念邮票上的图案引入的，这个图案设计的来源正是勾股定理。然后将图案抽离出来具体研究，利用“割补法”把三个正方形围成的直角三角形的三边关系研究出来就是勾股定理。课堂前期就应该集中在研究直角三角形的三边关系这个活动中，只有学生认真掌握研究的方法和内容，就能够掌握勾股定理的含义。那么到了课堂中期，概念出示了之后，学生也就能够很快理解了概念然后对其进行应用。整节课的教学时间规划清晰合理，学生对于这样的教学节奏也很适应。2.3.3课堂后期教学还有的教师有自己的一套教学模式，他们习惯在课堂的最后将概念完整地总结教授出来。而整节课大部分时间都会用于对概念的内涵及外延的讲解。此种教学模式重在将概念讲解透彻，确保学生能够完全理解，最好对于概念的概括归纳也是由学生自己总结出来的。其实虽然在课堂的后期，学生的注意力容易分散，但快临近下课总结全课之时大部分学生的注意力还是能够得以集中的，所以有了一整节课对概念的理解分析，在最后总结概念的时候学生也很快能够记住。在课堂后期出示完整的概念这种教学流程比较适用于讲解稍复杂的概念，引入的活动较多，对概念的剖析也较多，这样在后期出示概念的时候占用的时间就不会太多。像在教学“反比例的图像和性质”时，整节课的重点应该放在反比例函数的图像的研究上。分别选取k大于0和小于0两种情况画出它们的图像进行研究，完整地概括出反比例函数图像的性质。分布的象限、在每一个象限内y与x的变化关系都是研究的重点内容。研究的过程越细致清楚，学生对概念的理解就越深入，最后总结的时候也能总结出更多的内容。此教学流程充分发挥了学生的主观能动性，体现了学生的主体地位；教师也作了充分的引导，体现了教师的主导地位。这三种教学流程在中学时都有使用，而且每一种流程都有各自的特点。教师在选择合适的教学流程时一定要充分思考课题中概念的最佳教学时间以及学生在一节课中最能接受概念的“黄金时间”，这样才能保证概念的绝佳教授。3 影响概念学习的因素学生是学习的主体，而学生学习的主要任务即是概念的学习。影响概念学习的因素有很多，包括学生自身经验积累的影响、学习能力的差别；还有概念本身的因素和来自外界的概念教学的条件、方法等因素。这些都影响了学生对一个概念的汲取程度，接下来就这些方面做一个简单的分析。3.1学生方面的因素3.1.1自身经验学生是一个存在在客观世界而且不断吸收外界知识的个体。学生在成长的过程中会积累到许多的经验，这些经验有的能够帮助他们加速对概念的理解，而有的反而会造成学生对概念的误解。在教学概念时，如果学生的生活经验能够让他理解概念形成的真正意义，就是理解概念的内涵，那么相比“死记硬背”来说，学生对概念的学习就更迅速而且有效。但如果概念与经验形成了认知冲突，学生又不能正确理解接受新的概念，那么经验对概念的学习就产生了阻碍。其实，经验的积累并不只有日常的生活，还有学生以往学习过的知识，这就要求学生对每一个概念都要清楚它的内涵。先前学习过的概念也是为以后学习的概念做铺垫，因此教师应指导学生不仅要对学过的知识多进行巩固与应用，还要告诉学生生活经验的积累也很重要，要留心生活中的一点一滴。在学习“平方根”和“立方根”的时候，学生既要接受方程x2=a的结果也就是正数a的平方根有正负两个x的值，这就超出了自身经验所得，又要分清平方根与算术平方根的区别。学生在对这两个概念还比较混乱的时候，立方根的教学又更加难以接受，平方根与开平方、立方根与开立方的概念区别还有开平方和开立方时对符号的确定都是学习这课概念时的重难点。引导学生理解记忆、消除与经验间的冲突也是教学概念时的重要部分。3.1.2学习能力数学概念有时候可以由学生自己概括出来，这就要求学生具有一定的概括以及语言的表达能力。学生语言概括水平的高低直接影响到对概念的掌握程度，因为无论是对概念的学习还是应用都是一个概括的过程。具备良好的概括能力的同学对概念的理解更为深刻，那么对知识的迁移也就掌握得更迅速，相比那些概括能力较弱的同学，由一个数学概念延伸出的定义定理和公式，他们应用的就更为灵活。因此，教师在教授概念的同时，也要注意对学生归纳能力的培养，昔人云：“授人鱼不如授人以渔”。学生有了更高的语言表达和概括的能力之后学习抽象的数学概念就比较轻松，也为今后有兴趣进行数学研究的同学打下了夯实的基础。学生的学习能力对数学概念的学习有极大的影响，所以培养学生的学习能力也成了当代教师的一大任务。3.2概念方面的因素3.2.1概念本身因素概念本身就十分抽象，再加上很多概念会用数学符号来表示，随着数学符号的使用越来越广泛，数学概念中也越来越喜欢运用数学符号。本来数学概念的内涵，学生理解起来就有一定的重点难点，又要理解数学符号表示的含义，又为学生学习数学概念增添了一分难度。例如，在进行函数概念的学习时，常常有学生会把fx+y理解成fx+fy，这是一种错误的理解方法，学生并没有理解清楚函数符号fx表达的自变量x与fx之间的一一对应的关系。诸如此类对概念片面的理解还有很多都是导致概念学习效果不佳的重要因素。概念存在着反例与变式，而这些相似或者相反的概念对概念学习也有着极大的影响。变式与原本的概念之间有着完全相同的本质属性，不同的是非本质的属性，比如物理性质或者空间形式等方面。因此，学生只需要多进行概念的变式的训练，在变化的过程中找出不变的规律，经历这一寻找不变因素的过程才能够更准确地掌握概念的内涵，并且会对概念进行正迁移。而反例的教学则是为了让学生区分反例和概念本身的本质属性，比较总结出两者的异同点，找出概念让人印象深刻、易于辨别的信息，理解概念的本质，归纳完善自己的数学体系。对于反例的出示一定要选择合适的时机，错误的时间教学会影响到学生对概念的混淆，教学效果也大相径庭。总之，这两者都为了学生更好地学习概念服务。3.2.2概念教学因素很多教师在教学数学概念时会选择直观的教学模式，认为借助直观的教学模型、视频等材料，或者依据学生直观的经验，运用直观的语句，进行直观的活动等，都能够帮助学生简单地学习数学概念。然而，它对教学的影响有积极和消极两个方面。直观模式教学可以规避掉对抽象的概念以及数学符号的理解，将一切抽象的事物落实到直观的情境中去教学。学生有了直观的认知以后对概念的理解就更直接，印象也就更深刻。但是由于直观材料的有限，学生很容易产生对概念的特殊理解，认为一个概念只有在这一情境下才可以应用。不能够举一反三之后，严重阻碍了概念的变式和迁移。数学教材中的语言都是规范精炼的，而现如今很多教师不以为意，对概念的讲述使用的语言很不规范，或者并没有严格要求学生使用规范的数学语言。就像三角函数的图像教学中对sinx“伸长”和“缩短”的图像变化，不能根据学生日常的习惯说成是“变大”和“变小”，这在函数的概念中是两个截然不同的概念。数学的教学与学习应该是认真严谨的。“重结果，轻过程”的教学方法也会影响学生学习数学概念。教师只注重学生学习概念的结果，而不在乎概念的形成过程、应用背景、适用题型是否真正理解，一味地让学生多读多背将概念记住就行。这种教学方法，学生也只是一时记住了这个概念，长期不进行复述记忆，学生根本就不能想起，更别提遇到问题时能够应用概念解决问题了。比如需要用到“数形结合”这种数学思想的时候，往往要建立出“形”来理解“数”，如果教师忽略了这一重要的教学过程，学生不仅对当堂要教学的概念无法理解，还会影响到之后解题时想不到利用“数形结合”的思想，浪费思考时间，也不一定能解答出来。4 中学数学概念教学的案例研究有了前面研究的理论基础，下面就运用这些理论对两堂概念教学的课进行简单地剖析。4.1“二次函数的图像和性质”的概念教学“二次函数”是九年级一节重点的课，函数的概念是中学的数学概念中较为抽象的一块内容，也是学生比较难以学会运用的一块。所以对于函数概念的教学，教师应该尽可能将抽象的概念具体化，落实到具体的情境、图像中，学生才能理解。4.1.1课堂教学设计及意图在之前学生已经学习过了一次函数和反比例函数图像的画法，也探索了这两种函数的性质，教师做一个简单的回顾复习即可，不必花费太多时间教学。由于上节课刚刚学习了二次函数，自然地提出本节课的引导问题：“二次函数的图像是什么形状？二次函数有什么性质？”。在课堂的开始就将本节课的重点内容告诉同学们，吸引学生的注意力，激发学生探究新知的欲望。要研究复杂的问题就要从简单的问题入手，先研究二次函数y=x2的图像和性质，让学生自己动手操作，培养学生动手实践的能力，充分发挥学生的主体性。学生通过列表、描点、连线画出二次函数y=x2和y=-x2的图像，感受二次函数的图像是由平滑的曲线顺次连接的，数学上称为抛物线。让学生观察这两个图像有什么共同点，培养学生语言概括的能力，教授这两个图像都是关于y轴对称。然后由浅入深让学生对几个y=ax2型的函数进行绘画图像研究得到二次函数y=ax2型的性质。设计小组合作探究，培养学生的合作交流能力。在探究的过程中渗透着分类讨论的数学思想，当a>0时和a<0时分开讨论，还要再根据x与0的关系细分成3种情况讨论。最后可以由学生尝试着对二次函数y=ax2的性质进行概括总结，再由教师对语言进行规范化教学，强调本节课的重点。4.1.2课后教学反思本节课采用了复习旧知引入与新知问题引入相结合的教学方法，选择了在课堂后期呈现数学概念的教学流程。整节课的教学重点放在了对二次函数图像的性质的研究上，基本由学生自主完成对新概念的探究，教师在一旁起到引导的作用。学生们自己研究出来的知识在记忆的时候会减少很多阻碍，大大提高了概念学习的效率。课堂的教学氛围也很好，学生都很主动积极地配合教学，在教师的带领下，一步一步地画出图像、寻找规律、举手发言、概括性质。这一套教学模式对数形结合、建构模型等等的概念教学十分受用，学生也能很好地吸收和掌握。但函数的概念终归是比较抽象，仍有学生对此提不起兴趣，所以在进行小组合作交流探究的时候，组内分工并不明确，进行总结汇报的也一直是组内那一两个学生。所以，教师不仅要选择学生能探究出来的材料教学，还要及时反思自己教学中存在的不足。试着思考能否调动全体学生的积极性，在每一节课前充分设想到课堂中的每一个细节，想好应对的措施，不断提高自己的教学水平。4.2“一元二次方程的解法”的概念教学“一元二次方程的解法”教学重点在于能够让学生对四种解题方法理解清楚，能分辨出哪种方法适用于哪种题型。而对于四种方法的教学模式也是各不相同，选择正确的教学方法和流程才能让学生真正理解并且会区分，日后运用的时候也能够得心应手。4.2.1课堂教学设计及意图八年级的时候学生就学过了平方根的概念，理解了开平方与平方在运算上的差别。所以在教学“直接开平方法”解一元二次方程的时候就可以节省很多教学时间。例如x2=2，学生可以直接根据平方根的意义，知道x是2的平方根，得到x=±2。教师只需要规范学生的书写和回答，这个一元二次方程有两个根，分别记为x1=2，x2=-2。然后只要选择几个简单的习题进行练习就完成了这个方法的教学。在教学直接开平方的方法时，还有一个教学的亮点，就是对x+12=2的解法教学，是将x+1看成一个整体，再运用直接开平方法求解。配方法的教学就可以直接提出如何解方程x2+6x+4=0？让学生自主交流思考，会有预习过的学生提出将它化成x+h2=k的形式，然后教师就可以顺着学生提供的思路一步步将配方法的步骤讲授完整、清楚。学生知道了如何使用配方法解方程还不够，配方的过程还应该有深刻地理解。所以采用“数形结合”的数学思想，教学解一元二次方程x2+2x-24=0，把它变形为x2+2x=24，即xx+2=24。那么配方的过程就可以看成是将一个长是x+2、宽是x、面积是24的矩形割补成一个正方形。教师用多媒体演示割补的过程，讲述配方法的每一步从何而来，使学生充分理解。顺着配方法的内容先有一个小提升，当二次项系数不为1的时候怎么用配方法解，学生直接能够回答出只要把二次项系数化为1就行。然后提出一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0a0该怎么解？按照配方法的思路，方程两边都先除以a，得到二次项系数为1的方程，然后配方成x+h2=k的形式解出方程的两个根分别是x=-b±b2-4ac2a，这就是一元二次方程的求根公式。这一部分的教学是由教师引导学生得到求根公式，较为容易。接着教师讲授在用公式法解方程时要先判断b2-4ac是否大于等于0，要确保根的存在性，这往往是学生极其容易忽略的地方。再然后通过对几个例题的分析探究，可以总结出一元二次方程的根的情况，最好是能够让学生自己总结，培养学生探究概括的能力。最后一个因式分解法的教学也比较简单，只需要学生对能够因式分解的一元二次方程的形式熟悉即可。要求尽量做到一眼就可以看出能够因式分解，节省了学生解题的时间。当一个一元二次方程的一边是0，另一边能分解成两个一次因式的乘积时，就可以把解这样的一元二次方程转化成为解两个一元一次方程。先出示简单的例题x2-x=0让学生思考过后，会使用之前学的配方法和公式法解，再教学这种类型的题简单的解法，因式分解。4.2.2课后教学反思本节课四种解一元二次方程的解法一般分成两个课时教授完成，结合了本文三种教学引入的方法和三种教学流程。整个过程教师与学生共同参与，共同探究，充分体现教师在教学过程中扮演合作者的身份。该课时的教学重点应该放在解题的方法上，让学生通过观察找出四种类型的区别，概括出它们的特征，培养学生的解题技能和速度，而且还要会区分方程配方和式子配方的不同。从作业的反馈情况来说，学生的接受能力还是没有考虑到位，很多学生看不出哪种题型用最简单的方法解答。比如可以直接开平方的题，学生会展开了再配方；再比如可以十字相乘的却选择了直接套用公式。还有的在使用公式法之前没有对是否存在根进行预判，因式分解时符号也没有弄清楚。所以教师在讲完四种方法的概念之后，应该单独安排12个课时对多种题型进行练习，巩固学生的知识。在练习的过程中，设计的题目宜精不宜多，要由易到难，让学生先找到解题的自信心，再由浅入深地理解方法。4.3关于数学概念教学的访谈分析为测查不同年级的教师与学生对教学方法和教学流程的选择情况，有选择性地抽取三个年级15名教师和15名学生进行访谈对话。其中15名教师分别是特级教师、一级教师、普通教师三种教师职称；15名学生也按平时成绩排名情况分为优等生、中等生和后进生三种。4.3.1与教师访谈的结论分析本研究对与初中三个年级、三种职称的教师访谈的结果做了初步的整理，具体情况如图所示：图 1初中各年级教师对教学方法及流程的选择情况图 2初中各职称教师对教学方法及流程的选择情况由这两张表可以得知，初一的教师大部分都选择在课堂中期引入数学概念，创设有趣的情境对概念进行教学；初二初三则以复习旧的知识引入，在课堂中后期教学概念为主。毕竟刚步入初中的学生思维还处在较形象的阶段，所以一些抽象的概念没有落实到具
