【2021年高考数学压轴题】专题01 同构函数型.pdf
20212021 年高考数学压轴题解法分析与强化训练年高考数学压轴题解法分析与强化训练专题专题 0101高考真题1.（2020新课标卷文数12）若223xyx同构函数型同构函数型3y，则（）Dln|x y|0Aln(y x1)0【答案】ABln(y x1)0Cln|x y|0【分析】将已知2 2 3xyx3y按照“左右形式形式相当，一边一个变量”的目的变形，然后逆用函数的单调性.【解析】由2 2 3设f(x)2 3xxxyx3y移项变形为2x3x 2y3y易知f(x)是定义在 R 上的增函 数，故由2 3xx 2y3y，可得x y，所以y x 0 y x11,从而ln(y x1)0，故选 A2.（2020新课标理数12）若2 log2a 4 2log4b，则（ab）D.a b2A.a 2b【答案】BB.a 2bC.a b2【分析】4 2log4b 2b2blog4b2 22blog2b 22blog22b12 log2a 2a2blog22b1设f(x)2xlog2x，利用作差法结合f(x)的单调性即可得到答案.【解析】4 2log4b 2b2blog4b2 22blog2b 22blog22b12 log2a 2a2blog22b1，故2alog2a 22blog22b设f(x)2xlog2x，则f(x)为增函数，所以f(a)f(2b)，所以a 2b.f(a)f(b2)2alog2a(2blog2b2)22blog2b(2blog2b2)12222b2blog2b，当b 1时，f(a)f(b2)2 0，此时f(a)f(b2)，有a b2当b 2时，f(a)f(b2)1 0，此时f(a)f(b2)，有a b2，所以 C、D 错误.故选 B.【点评】本题需构造函数，其基本策略是：“左右形式相当，一边一个变量，取左或取右，构造函数妥当”，我们称之为“同构函数”，然后再利用函数的单调性求值.2强化训练1.（2012全国联赛）如果cossin 7(cossin)，0,2)，则的取值范5533围是_.【答案】(5,)448103x5x0的解集是_.3(x1)x132.（2012辽宁竞赛）不等式22【解析】原不等式可化为：5x35xx1x1构造函数f(x)x 5x，则f(x)3x 5 0，f(x)在R上单增32所以2x，解之得x 2或-1 x 1x1所以原不等式解集是x x 2或-1 x 1.3.（2020 南 通 五 月 模 拟 14）已 知0,2，若 关 于k的 不 等 式sincos ksin3cos3在,2上恒成立，则的取值范围为【答案】0,4【分析】本题的实质是含参数（这里当然是 sin、cos）的不等式恒成立问题，应抓住已知条件sincos k sin3cos3的对称结构，构造函数，利用函数的单调性布列不等式.2【解析】看到sincos k sin3cos3想“对称结构”，将它变形为：ksin3sin kcos3cos，设f(x)kx3x，f(x)3kx212 x12 x0，故f(x)在0,单减，易知当k,2时，f(x)3kx2sincos所以sin0，解之得：0 4cos0所以的取值范围0,44.（2019南师附中期中14）已知函数f(x)3x3x，f(12log3t)f(3log3t 1)log1t，则 t 的取值范围是3【答案】1,)【分 析】这 里可 以 发 现log1t log3t(2log3t1)(3log3t1),将3f(12log3t)f(3log3t 1)log1t3移项变形为f(3log3t 1)(3log3t1)(2log3t1)f(12log3t)，易知f(x)3x3x是奇函数，f(12log3t)f(2log3t1)，故进一步变形为f(3log3t 1)(3log3t 1)f(2log3t 1)(2log3t 1)，此时,得到一个“左右形式相 当，一 边 一 个 变 量”的 不 等 式，令F(x)f(x)x，问 题 转 化 为F(3log3t1)F(2log3t1)，只需研究F(x)f(x)x的单调性，逆用该函数的单调性即可.【解析】log1t log3t(12log3t)(3log3t1)3f(12log3t)f(3log3t 1)log1t可变形为：3f(3log3t 1)(3log3t1)(2log3t1)f(12log3t)f(x)3 3是奇函数3xx f(12log3t)f(2log31)f(3log3t 1)(3log3t 1)f(2log3t 1)(2log3t 1)令F(x)f(x)x3 3F(x)单增3log312log31，即log30，解之得t 1所以 t 的取值范围是1,)5.（2020南通如皋创新班四月模拟2）已知实数 a，b(0，2)，且满足tttxxtx，则F(x)ln33xln33x1 0a2b24【答案】242a4b，则 ab 的值为_b2【分析】将a b 42242a4b化为：a22a(2b)222b，设fx x22x，b2则fx在0,2上递增，由【解 析】由a b 422fa f2b，得 ab 的值.4a2a2b22 4b，化 简 为：，即a22(b2)b2a22a(2b)222b，设fx x 2，则fx在0,2上递增，因为 a，b(0，2)，所以 2-b(0，2)，2x且fa f2b，所以a 2b，即ab 2.x3x2lnx22e，x2满足x1e1 e，6.（2020淮阴中学、姜堰中学 12 月考14）)已知实数x1，5则x1x2_.【分析】由已知条件考虑将两个等式转化为统一结构形式，令ln x22t,x2extet e3，研究函数f(x)xe的单调性，求出x1,t关系，即可求解.t2，得到解法一：实数x1，x2满足x1e1 e，x2lnx22e，x35x1 0,x2 e2，ln x22t0,x2et2，则tet e3，4f(x)xex(x 0),f(x)(x1)ex 0(x 0)，3所以f(x)在(0,)单调递增，而f(x1)f(t)e，x1 t ln x22,x1x2 x2(ln x22)e5.x3解析二：对x1e1 e两边取自然对数得：ln x1 x13，对x2lnx22e两边取自然对数得：lnx2lnlnx2255（）为使两式结构相同，将（）进一步变形为：lnx22lnlnx223设f(x)ln x x，则f(x)110 x所以f(x)在(0,)单调递增，f(x)3的解只有一个.x1 lnx22，x1x2lnx22x2e5【点评】两种解法实质相同，其关键是对已知等式进行变形，使其“结构相同”，然后构造函数，利用函数的单调性，利用是同一方程求解.7.设方程x2x 4的根为m，设方程xlog2x 4的根为n，则m n=【答案】48.已知 a33a25a1，b33b25b5，那么 ab 的值是【解析】由题意知 a33a25a32，b33b25b32，设 f(x)x33x25x3，则 f(a)2，f(b)2.因为 f(x)图象的对称中心为(1,0)，所以 ab2.点评：本题的难点在于发现函数的对称性，对于三次函数 f(x)yax3bx2cxd 其对称中心为(x0，f(x0)，其中 f(x0)0.9.(宿迁2018期中)不等式x(x)xx(x)x 的解集是.、x两个因式，将【分析】直接解显然是不对路的.观察不等式的特征，发现其含有(x )不等式转化为“一边一个变量”的形式为：xxx(x)(x)(x)，构造函数f(x)x x x，题目转 化 为 求 解f(x)f(x )的 问 题.因 为f(x)x x ，易 知f(x)x x 恒 成 立，故f(x)为R上 的 单 调 增 函 数，所 以 由5f(x)f(x)立得：x x ，解之得 x .【方法点拨】1.一个式子中出现两个变量,适当变形后,两边结构相同(如例 1);2.两个式子也可适当变形,使其结构相同,然后构造函数,利用函数的单调性解题，或运用同一方程代入.6
