《二次函数的图象和性质——对称性》教案.pdf
1.2.81.2.8 二次函数的图象和性质对称性教案二次函数的图象和性质对称性教案学习目标学习目标重点难点1能说出奇函数和偶函数的定义；2会判断具体函数的奇偶性；3会分析二次函数图象的对称性；4能求一个二次函数在闭区间上的最值.重点：知道奇函数、偶函数的定义，会判断函数的奇偶性，能运用奇偶性解决简单的问题难点：二次函数的区间最值问题.1函数的奇偶性(1)如果对一切使 F(x)有定义的 x，F(x)也有定义，并且 F(x)F(x)成立，则称 F(x)为偶函数；(2)如果对一切使 F(x)有定义的 x，F(x)也有定义，并且 F(x)F(x)成立，则称 F(x)为奇函数1奇函数和偶函数的定义域具有什么特点？提示：奇函数和偶函数的定义域必须关于原点对称，这是函数具有奇偶性的前提条件 若一个函数的定义域不关于原点对称，则它一定是非奇非偶函数2如果一个函数是奇函数，且在x0 时有定义，那么能否求得f(0)的值？提示：必有 f(0)0.因为 f(0)f(0)f(0)，从而 f(0)0.3是否存在既是奇函数又是偶函数的函数？提示：存在 所有定义域关于原点对称，解析式经化简后为零的函数既是奇函数又是偶函数，例如：y，y等就是既奇又偶函数2二次函数图象的对称性(1)二次函数 f(x)ax2bxc(a0)的图象的对称轴是直线x；(2)如果函数f(x)对任意的h 都有 f(sh)f(sh)，那么 f(x)的图象关于直线xs 对称4二次函数图象的对称轴与二次函数的单调性、最值有何关系？提示：二次函数的单调性与对称轴有关，在对称轴两侧的单调性恰好相反；二次函数的最值恰好在对称轴处取得，若开口向上，则在对称轴处取最小值，反之取最大值一、函数奇偶性的判断判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)x3x；(2)f(x)|x2|x2|；(3)f(x)x2；(4)f(x)；(5)f(x).思路分析：根据定义判断函数的奇偶性时，首先看定义域是否关于原点对称，即定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提；然后判断表达式f(x)与 f(x)之间的关系，若总满足f(x)f(x)，则为奇函数，若总满足f(x)f(x)，则为偶函数解：(1)函数定义域为 R，且 f(x)(x)3(x)x3x(x3x)f(x)，所以该函数是奇函数；(2)函数定义域为 R，且 f(x)|x2|x2|x2|x2|f(x)，所以该函数是偶函数；(3)函数定义域是x|x0，不关于原点对称，因此它是非奇非偶函数；(4)函数定义域是x|x1，不关于原点对称，因此它是非奇非偶函数；(5)要使函数有意义，需满足解得x2，即函数的定义域是2，2，这时 f(x)0.所以 f(x)f(x)，f(x)f(x)，因此该函数既是奇函数又是偶函数判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)；(2)f(x)；(3)f(x)(x21).解：(1)函数定义域为 R，且 f(x)f(x)故该函数是奇函数；(2)函数定义域为x|x1，关于原点对称，且f(x)f(x)故 f(x)是偶函数(3)函数定义域是x|x1，不关于原点对称，所以是非奇非偶函数1判断函数的奇偶性，一般有以下几种方法：(1)定义法：若函数定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数；若函数定义域关于原点对称，则应进一步判断f(x)是否等于f(x)，或判断f(x)f(x)是否等于 0，从而确定奇偶性注意当解析式中含有参数时，要对参数进行分类讨论后再进行奇偶性的判定(2)图象法：若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y 轴对称，则函数为偶函数(3)还有如下性质可判定函数奇偶性：偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数；奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数(注：利用以上结论时要注意各函数的定义域)2判断函数奇偶性前，不宜盲目化简函数解析式，若必须化简，要在定义域的限制之下进行，否则很容易影响判断，得到错误结果二、函数奇偶性的简单应用(1)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f(x)2x2x，则 f(1)()A3 B1 C1 D3(2)若函数 f(x)x33xa 是奇函数，则实数 a_.思路分析：对于(1)，可根据 f(x)是奇函数得 f(1)f(1)，而 f(1)的值可代入解析式求值；对于(2)，可按照奇函数的定义求解也可由f(0)0 求得 a 的值答案：(1)A(2)0解析：(1)因为当 x0 时，f(x)2x2x，所以 f(1)2(1)2(1)3.又 f(x)是奇函数，所以 f(1)f(1)3，选 A(2)(方法一)因为 f(x)是奇函数，所以 f(x)f(x)对任意 xR 都成立，即x33xax33xa 对任意 xR 都成立所以 a0.(方法二)因为 f(x)是奇函数且在 x0 处有定义必有 f(0)0，即 0330a0，解得 a0.1已知 f(x)是偶函数，且 f(4)5，那么 f(4)f(4)的值为()A5 B10 C8 D不确定答案：B解析：f(x)是偶函数，f(4)f(4)f(4)f(4)2f(4)2510.2若函数 y(x1)(xa)为偶函数，则 a()A2 B1 C1 D2答案：C解析：因为 f(x)是偶函数，f(x)f(x)对任意 xR 都成立，即(x1)(xa)(x1)(xa)整理得 2(a1)x0，xR，必有 a10，即 a1.1利用奇偶性求值时，主要根据 f(x)与 f(x)的关系将未知转化为已知求解，若需要借助解析式求值，代入自变量值时，该自变量值必须在该解析式对应的区间上，否则不能代入求值，而应转化2已知函数是奇函数或偶函数，求解析式中参数值时，通常有两种办法：一是利用奇、偶函数的定义建立关于参数的方程求解，二是采用特殊值法，尤其是在x0 处有定义的奇函数，还可根据 f(0)0 求解三、二次函数的区间最值问题已知函数 f(x)x22ax2，x5,5(1)当 a1 时，求函数 f(x)的最大值和最小值；(2)用 a 表示出函数 f(x)在区间5,5上的最值思路分析：对于(1)，可将a1 代入 f(x)解析式，然后配方，写出最值；对于(2)，由于a 的值不确定，f(x)图象的对称轴不确定，那么f(x)在5,5上的单调性就不确定，因此要对 a 的值分类讨论才能求出相应的最值解：(1)当 a1 时，f(x)x22x2(x1)21，因为 15,5，故当 x1 时，f(x)取得最小值，f(x)minf(1)1；当 x5 时，f(x)取得最大值，f(x)maxf(5)(51)2137.(2)函数 f(x)x22ax2(xa)22a2 的图象开口向上，对称轴为xa.当a5，即 a5 时，函数在区间5,5上递增，所以 f(x)maxf(5)2710a，f(x)minf(5)2710a；当5a0，即 0a5 时，函数图象如图(1)所示由图象可得 f(x)minf(a)2a2，f(x)maxf(5)2710a；当 0a5，即5a0 时，函数图象如图(2)所示，由图象可得f(x)maxf(5)2710a，f(x)minf(a)2a2；当a5，即 a5 时，函数在区间5,5上递减，所以 f(x)minf(5)2710a，f(x)maxf(5)2710a.求函数 f(x)x2mx6(m0)在区间0,2上的最大值解：f(x)x2mx626，该函数曲线开口向下，对称轴为直线x.(1)当2，即 m4 时，f(x)在0,2上单调递增，其最大值为f(2)22m.(2)当 02，即4m0 时，f(x)在0,2上的最大值为 f6.1对于定义域为 R 的二次函数，其最值和值域可通过配方法求解2若求二次函数在某闭(或开)区间(非 R)内的最值或值域，则以对称轴是否在该区间内为依据分类讨论：(1)若对称轴不在所求区间内，则可根据单调性求值域；(2)若对称轴在所求区间内，则最大值和最小值可在区间的两个端点处或对称轴处取得，比较三个数所对应函数值的大小即可求出值域1下列函数为奇函数的是()Ay|x|By3xCy Dyx24答案：C解析：A 项和 D 项中的函数为偶函数，B 项中的函数是非奇非偶函数，选C2对于定义在 R 上的函数 f(x)，给出下列判断：(1)若 f(2)f(2)，则函数 f(x)是偶函数；(2)若 f(2)f(2)，则函数 f(x)不是偶函数；(3)若 f(2)f(2)，则函数 f(x)不是奇函数其中正确的判断的个数是()A0 B1 C2 D3答案：B解析：(1)仅有 f(2)f(2)不足以确定函数的奇偶性，不满足奇函数、偶函数定义中的“任意”，故(1)错误；(2)当 f(2)f(2)时，该函数就一定不是偶函数，故(2)正确；(3)若 f(2)f(2)，则不能确定函数 f(x)不是奇函数如若 f(x)0，xR，则 f(2)f(2)，但函数 f(x)0，xR 既是奇函数又是偶函数，故(3)错误3函数 y()A是奇函数 B既是奇函数又是偶函数C是偶函数 D是非奇非偶函数答案：D解析：函数定义域是x|x1，不关于原点对称，是非奇非偶函数，选D4函数 f(x)2x2x1 在区间1,2上的值域是()A B7，4C D答案：C解析：由于 f(x)2x2x122，而1,2，所以 f(x)最大值是 f，最小值为 f(2)7，故值域为，故选 C5如果定义在区间3a,5上的函数 f(x)为偶函数，那么 a_.答案：8解析：f(x)为区间3a,5上的偶函数，区间3a,5关于坐标原点对称，3a5，即 a8.
