8.3.1棱柱、棱锥、棱台表面积和体积学案——高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册.pdf
课时备课工具“导评用”案第八章：第 3单元第 1课时共 3课时学科课题高一数学8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积发展数学运算素养表面积求法本节知识直观想象体积求法表面积和体积求法解决实际问题8.3.1 棱柱、棱锥、棱台表面积和体积一、棱柱表面积、体积二、棱锥表面积、体积三、棱台表面积、体积1.通过对柱体、锥体、台体的研究,掌握柱体、锥体、台体的表面积的求法.2.了解柱体、锥体、台体的表面积计算公式.3.能运用柱体、锥体、台体的表面积公式进行计算和解决有关实际问题.4.通过学习并运用棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积公式,提升数学运算、直观想象、逻辑推理等素养.课型新授课知识梳理教学重点教学难点板书设计学习目标核心情境已有的长方体、正方体的基础表面积和体积概念学习任务一：棱柱、棱锥、棱台的表面积学习任务一：棱柱、棱锥、棱台的表面积学习评价：熟悉公式教学过程教学过程：任务解析/教师点评/设计意图：方法总结多面体的表面积就是各个面的面积的和.特别提醒:表面积是几何体表面的面积,它表示几何体表面的大小,常把多面体展开成平面图形,利用平面图形求多面体的表面积,侧面积是指侧面的面积,与表面积不同.一般地,表面积=侧面积+底例 1现有一个底面是菱形的直四棱柱,它的体对角线长为9.和 15,高是 5,求该直四棱柱的表面积.解析解析如图如图,设底面对角线设底面对角线 AC=aAC=a,BD=bBD=b,交点为交点为 O O,对角线对角线A A1 1C=C=15,15,B B1 1D=D=9,9,a a2 2+5 52 2=15152 2,b b2 2+5 52 2=9 92 2,a a2 2=200,200,b b2 2=56,56,a=a=1010,b=b=2 2.该直四棱柱的底面是菱形该直四棱柱的底面是菱形,直直 四四棱棱柱柱的的底底面面积积为为 1010 2 2=2020.面积.该直四棱柱的底面是菱形该直四棱柱的底面是菱形,2 2ABAB=+=64,64,AB=AB=8 8.()()直四棱柱的侧面积直四棱柱的侧面积 S=S=4 4 8 8 5 5=160,160,故直四棱柱的表面积为故直四棱柱的表面积为 160160+4040.【巩固训练】【巩固训练】正三棱台上、下底面边长分别是 2 和 4,高为 1,则正三棱台的侧面积为().A.2B.4C.63D.18解析解析如图如图,O O1 1,O O 分别为上分别为上,下底面的中心下底面的中心,D D,D D1 1分别为分别为ACAC,A A1 1C C1 1的的中中点点,在在直直角角梯梯形形ODDODD1 1O O1 1中中,OD=OD=4 4=,O O1 1D D1 1=2 2=,DE=OD-DE=OD-O O1 1D D1 1=在在RtRt DEDDED1 1中中,D D1 1E=E=1,1,则则D D1 1D=D=()+=,S S棱台侧棱台侧=3 3(2(2+4)4)=6 6学习任务二：棱柱、棱锥、棱台的体积教学过程：例 2.如图所示,在长方体 ABCDABCD 中,用截面截下一个棱锥 CADD,求棱锥 CADD 的体积与剩余部分的体积之比.解析解析设设 AB=aAB=a,AD=bAD=b,DD=cDD=c,则长方体则长方体 ABCD-ABCDABCD-ABCD的体积的体积 V=abcV=abc,又又 S SADDADD=bcbc,且三棱锥且三棱锥 C-ADDC-ADD的高为的高为 CD=aCD=a,所以所以 V V三棱锥三棱锥 C-ADDC-ADD=S SADDADD CD=CD=abcabc学习评价：熟悉体积公式任务解析/教师点评/设计意图：方法总结则剩余部分的体积则剩余部分的体积 V V剩剩=abc=abcabc=abc=abc.abc.故故 V V棱锥棱锥 CADDCADDV V剩剩=abcabcabc=abc=1 15 5.【巩固训练】【巩固训练】如图,正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1,E,F 分别为线段AA1,B1C 上的点,则三棱锥 D1EDF 的体积为.解析解析利用三棱锥的体积公式直接求解利用三棱锥的体积公式直接求解.-=-=AB=AB=1 1 1 1 1 1=.学习任务三：数学建模、直观想象与多面体体积相关的实际应用问题教学过程：任务解析/教师点评/设计意图：方法总结本题牵涉到的是 3D 打印新时代背EFGH 后所得的几何体,其中 O 为长方体的中心,E,F,G,H 分别为景下的几何体质量,读懂题所在棱的中点,AB=BC=6 cm,AA1=4 cm.3D 打印所用原料密度为意,找出关系,明确 3D 打印的0.9 g/cm3.不考虑打印损耗,制作该模型所需原料的质量几何体是解题关键.为g.解析解析由题知挖去的四由题知挖去的四棱锥的底棱锥的底学习评价：解决实际问题学生到工厂劳动实践,利用 3D 打印技术制作模型.如图,该模型为长方体 ABCDA1B1C1D1挖去四棱锥 O面是一个菱形面是一个菱形,对角线长分别为对角线长分别为 6 cm6 cm 和和 4 cm,4 cm,故故 V V挖去的四棱锥挖去的四棱锥=4 4 6 6 3 3=12(cm12(cm3 3).又又 V V长方体长方体=6 6 6 6 4 4=144(cm144(cm3 3),),所以模型的体积为所以模型的体积为 V V长方体长方体V V挖去的四棱锥挖去的四棱锥=144144 1212=132(cm132(cm3 3),),所以制作该模型所需原料的质量为所以制作该模型所需原料的质量为132132 0 0.9 9=118118.8(g)8(g).【巩固训练】【巩固训练】如图,平行四边形形状的纸片是由六个边长为36cm的正三角形构成的,将它沿虚线折起来,可以得到如图所示的粽子形状的六面体,在该六面体内挖去一个最大体积的小球,则六面体剩下部分的体积是多少?(取=3.14,31.73,21.41,结果精确到 0.01)解析解析每个三角形的面积是每个三角形的面积是(3(3)2 2,六面体体积是正四面六面体体积是正四面体体的的2 2倍倍,所所以以六六面面体体体体积积是是 2 2 (3(3)2 2()-()=5454.由于图形的对称性由于图形的对称性,内部的小球体积要最大内部的小球体积要最大,则球要和六个面则球要和六个面相切相切,连接球心和六面体的五个顶点连接球心和六面体的五个顶点(图略图略),),把六面体分成了六个把六面体分成了六个三棱锥三棱锥.设球的半径为设球的半径为 R R,所以所以 5454=6 6 (3(3)2 2R R,解得解得 R=R=2,2,所以球的体积所以球的体积 V=V=R R3 3=.所以六面体剩下部分的体积为所以六面体剩下部分的体积为 V=V=54545959.93(cm93(cm3 3).【当堂检测】【当堂检测】1.已知各面均为等边三角形的四面体的棱长为2,则它的表面积是().A.23B.43C.4D.6解析解析S S表表=4 4 2 22 2=4 4.故选故选 B B.2.棱长都是 1 的三棱锥的侧面积为().A.334B.23C.33D.43.解析解析因为侧面是全等的正三角形因为侧面是全等的正三角形,所以所以 S=S=3 3=3.已知一个正四棱锥的底面边长为2,高为3,则该正四棱锥的表面积为.解析解析如图如图,四棱锥四棱锥 PABCDPABCD 为正四棱锥为正四棱锥,高高 OP=OP=,底面边长底面边长 AB=AB=2 2.过过 O O 作作 OGOGBCBC,垂足为垂足为 G G,连接连接 PGPG,则斜高则斜高 PG=PG=+=2 2.故正四棱锥的表面积故正四棱锥的表面积 S=S=2 2 2 2+4 4 2 2 2 2=1212.课堂小结本节课主要内容：棱锥、棱柱、棱台的表面积和体积求法课后作业课堂反思
