《数学分析》试题(含答案).pdf
哈尔滨理工大学20162017学年第一学期考试试题A 卷答案考试科目考试科目：数学分析(I)一一、求极限、导数或高阶导数、求极限、导数或高阶导数(每小题每小题 5 5 分，共分，共 3535 分分)12n1.lim+444nn nsin2n nsinn n nsin111n(n1)n(n1)1n lim+lim2解：lim2，故4444nnnn+nn nsinn n 1n nsin11原式=.2n2x22x22.limn=limx=lim=lim=0.2xn2x2xln2 2xxln2214x1-cos x1=lim22=.3.lim2x0 x sin xln1+xx0 xxx22x1)x1x1ln xx11)arcsin.解：limarcsin(x1x1ln x264.limarcsin(5.设y xxxx(x 0),求y.y xx(xxln x(lnx1)xx1).dyx a(t sint)6.设函数y y(x)是由参数方程确定，求dxy a(1cost)dydxtdyt和2dxt。21.y f(x12)d yx1，dx27.设函数f二阶可导，d2y4x14x1dy2x1 f()f()f()解：dx(x1)2(x1)3x1(x1)4x1.x1，dx2系（部、中心、教研室0801 出题教师数学分析命题组系（部、中心、教研室）主任：第页共 6页哈尔滨理工大学20162017学年第一学期考试试题A 卷答案二、解答题（每小题二、解答题（每小题 8 8 分，共分，共 3232 分）分）1.已知0 a01，an+1=ann 0，求证an的极限存在并求其极限.解:易知an单调增有上界1，故由单调收敛定理及liman+1=liman知nnliman=1.nsin xx21e的间断点及其类型.2.讨论函数fxx1解:x=0为可去间断点，x=1为第二类间断点.23.求函数f(x)(x4)3(x1)的极值点与极值。解：解：f(x)5(x1)33(x1)2，驻点为x 1，不可导点为x 13极大值为f(1)0，极小值为f(1)3 44.将边长为a的正方形的四个角减去同样大小的正方形后折成一个无盖的盒子，问剪去的正方形边长为何值时,可使合资的容积最大?解：设剪去的小正方形的边长为x，则盒子的容积为aV V(x)x(a 2x)2,x0,2aaaaV(x)12(x)(x)0 x V()0令,得稳定点,所以为极大值点626,且6a2a3aV()x 又为一,所以276时候,容积最大,为6三、证明题（每小题三、证明题（每小题 8 8 分分,共共 1616 分）分）1、求证：方程2-x2-2=0至少有两个实根.证明：设f(x)2xx22，则易验证f(0)=-10，由零点定理知f(x)0在-2,0和0,2中各有一个实根.系（部、中心、教研室0801 出题教师数学分析命题组系（部、中心、教研室）主任：第页共 6页2x2哈尔滨理工大学20162017学年第一学期考试试题A 卷答案2、设函数f(x)在(a,b)内具有二阶导数，且f(x1)f(x2)f(x3)，其中a x1 x2 x3 b，证明：在(x1,x3)内至少存在一点，使得f()0.证明:在x1，x2和x2，x3上，f(x)分别满足罗尔中值定理的条件,故由罗尔中值定理，存在1x1,x2和2x2,x3，使得f 1=f 2=0，再在1，2上对f(x)使用罗尔中值定理得到在1，2(x1,x3)内至少存在一点，使得f()0.3、证明：当a 0时，2 a 22 ln.a+2aa证明:设fx=ln x，则在a，a+2上fx连续可导，由拉格朗日中值定理可知，存在a，a+2，f=2 a 22 ln.a+2aa111 ln(a2)lna,，综.又f a2 a2上可得inf A inf B.4、已知A和B是两个数集，A是B的子集，求证：supA supB，x supB，由上确界的定义证明：由于A B，故xA，xB，又xB，可知supA supB，同理有inf A inf B.5、求证：f(x)x在0，+上一致连续.证明：由于f(x)x在0,1上连续，故由一致连续性定理，f(x)在0,1上一致连续，从而在(0,1上一致连续，在1,)上f(x)连续且可导，故对于x1，x21,)，在x1，x2上 使 用 拉 格 朗 日 中 值 定 理，系（部、中心、教研室0801 出题教师数学分析命题组系（部、中心、教研室）主任：第页共 6页哈尔滨理工大学20162017学年第一学期考试试题A 卷答案f(x1)f(x2)(x1x2)f()，x1，x2，又f()f(x1)f(x2)1，1，故有2211x1-x2，从而f(x)x在1,)上利普希茨连续，故一致连2续，由粘结引理，f(x)在(0,1上和1,)上一致连续，故在0，+上一致连续。系（部、中心、教研室0801 出题教师数学分析命题组系（部、中心、教研室）主任：第页共 6页
