2020年全国高考理科数学试题及答案-全国.pdf
20202020 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷全国卷)理科数学理科数学(必修必修+选修选修 II)II)参考公式：参考公式：如果事件A、B互斥，那么球的表面积公式P(A B)P(A)P(B)S 4R2如果事件A、B相互独立，那么其中 R 表示球的半径P(A B)P(A)P(B)球的体积公式如果事件 A 在一次试验中发生的概率是p，那么V 3R34n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率其中 R 表示球的半径kkPn(k)Cnp(1 p)nk(k 0,1,2,n)一、选择题一、选择题(1)复数3 2i23i(A)i(B)i(C)12-13i(D)12+13i(2)记cos(80)k,那么tan100 1 k21 k2A.B.-C.kkk1 k2D.-k1 k2y 1,(3)若变量x,y满足约束条件x y 0,则z x 2y的最大值为x y 2 0,(A)4(B)3(C)2(D)1（4）已知各项均为正数的等比数列an，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则(A)5 2(B)7(C)6(D)4 235(5)(1 2 x)(13x)的展开式中x 的系数是a4a5a6=(A)-4(B)-2(C)2(D)4(6)某校开设 A 类选修课 3 门，B 类选择课 4 门，一位同学从中共选 3 门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有(A)30 种(B)35 种(C)42 种(D)48 种（7）正方体 ABCD-A1B1C1D1中，BB1与平面 ACD1所成角的余弦值为A3622BCD333312（8）设 a=log32,b=In2,c=5,则A abcBbcaCcabD cba0(9)已知F1、F2为双曲线 C:x y 1的左、右焦点，点 p 在 C 上，F1pF2=60，则 P22到 x 轴的距离为(A)36(B)(C)223(D)6（10）已知函数f(x)|lg x|,若 0ab,且 f(a)=f(b),则 a+2b 的取值范围是(A)(2 2,)(B)2 2,)(C)(3,)(D)3,)（11）已知圆O 的半径为 1，PA、PB 为该圆的两条切线，A、B 为俩切点，那么PAPB的最小值为(A)42(B)32(C)42 2(D)32 2（12）已知在半径为2 的球面上有 A、B、C、D 四点，若AB=CD=2,则四面体 ABCD 的体积的最大值为(A)绝密绝密启用前启用前2 34 38 3(B)(C)2 3(D)33320202020 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试理科数学理科数学(必修必修+选修选修 II)II)第第卷卷注意事项：1答题前，考生先在答题卡上用直径毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。2第卷共 2 页，请用直径毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效。3。第卷共 l0 小题，共 90 分。二填空题：本大题共4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中横线上(注意：在试题卷上作答无效)(13)不等式2x21 x 1的解集是.(14)已知为第三象限的角，cos2 23,则tan(2).54(15)直线y 1与曲线y x x a有四个交点，则a的取值范围是.(16)已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，ab acot AbcotB且BF 2FD，则C的离心率为.三解答题：本大题共6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤(17)(本小题满分 10 分)(注意：在试题卷上作答无效)已知ABC的内角A，B及其对边a(18)(本小题满分 12 分)（注意：在试题卷上作答无效)投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用设稿件能通过各初审专家评审的概率均为05，复审的稿件能通过评审的概率为03各专家独立评审(I)求投到该杂志的 1 篇稿件被录用的概率；(II)记X表示投到该杂志的 4 篇稿件中被录用的篇数，求X的分布列及期望，b满足ab acot AbcotB，求内角C（19）（本小题满分 12 分）（注意：在试题卷上作答无效（注意：在试题卷上作答无效）如图，四棱锥 S-ABCD 中，SD底面 ABCD，AB（）证明：SE=2EB；（）求二面角 A-DE-C 的大小.(20)(本小题满分 12 分)（注意：在试题卷上作答无效（注意：在试题卷上作答无效）已知函数f(x)(x1)ln x x1.（）若xf(x)x ax 1，求a的取值范围；（）证明：(x1)f(x)0.（21）(本小题满分 12 分)（注意：在试题卷上作答无效（注意：在试题卷上作答无效）已知抛物线C:y 4x的焦点为 F，过点K(1,0)的直线l与C相交于A、B两点，点 A 关于x轴的对称点为 D.（）证明：点 F 在直线 BD 上；（）设FA FB 228，求BDK的内切圆 M 的方程.9（22）(本小题满分 12 分)（注意：在试题卷上作答无效（注意：在试题卷上作答无效）已知数列an中，a11,an1 c1.来源:学*科*网an（）设c 51,bn，求数列bn的通项公式；2an2（）求使不等式an an1 3成立的c的取值范围20202020 年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）理科数学试题理科数学试题(必修必修+选修选修)参考答案参考答案一、选择题1.A2.B3.B4.A5.C6.A7.D8.C9.B10.C11.D12.B二、填空题13.x|0 x 214.三、解答题17.解：由ab acot AbcotB及正弦定理得31515.(1,)16.374sin Asin B cos AcosBsin Acos A cosBsin B从而sin Acos4cos Asin4 cosBsin4sin Bcos4sin(A)sin(B)44又0 A B 故A44BA B 所以C 18.解：22()记 A 表示事件：稿件能通过两位初审专家的评审；B 表示事件：稿件恰能通过一位初审专家的评审；C 表示事件：稿件能通过复审专家的评审；D 表示事件：稿件被录用.则D=A+BC,P(A)0.50.5 0.25,P(B)20.50.5 0.5,P(C)0.3,P(D)P(A B C)=P(A)P(B C)=P(A)P(B)P(C)=+=.()X B(4,0.4)，其分布列为：P(X 0)(10.4)0.1296,13P(X 1)C40.4(10.4)0.3456,222P(X 2)C40.4(10.4)0.3456,433P(X 3)C40.4(10.4)0.1536,P(X 4)0.4 0.0256.期望EX 40.4 1.6.19.解法一：()连接 BD,取 DC 的中点 G，连接 BG,由此知DG GC BG 1,即ABC为直角三角形，故4BC BD.又SD 平面ABCD,故BC SD,所以，BC 平面BDS,BC DE.作BK EC,K为垂足，因平面EDC 平面SBC，故BK 平面EDC，BK DE,DE与平面 SBC 内的两条相交直线 BK、BC 都垂直DE平面 SBC，DEEC,DESBSB SD2 DB26DE SD DB2SB3EB DB2-DE2所以，SE=2EB()由SA62 6,SE SB-EB 33SD2 AD25,AB 1,SE 2EB,AB SA,知221 2AE SAAB1,又AD=1.33故ADE为等腰三角形.取ED中点 F,连接AF,则AF DE,AF 连接FG，则FG/EC,FG DE.所以，AFG是二面角ADEC的平面角.连接 AG,AG=2,FG AD2 DF26.3DG2 DF26,3AF2 FG2 AG21cosAFG ,2 AF FG2所以，二面角ADEC的大小为 120.解法二：以 D 为坐标原点，射线DA为x轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系D xyz，设 A(1,0,0)，则 B(1,1,0),C(0,2,0),S(0,0,2)（）SC (0,2,-2),BC (-1,1,0)设平面 SBC 的法向量为 n=(a,b,c)由n SC,n BC，得n SC 0,n BC 0故 2b-2c=0,-a+b=0令 a=1，则 b=c,c=1,n=(1,1,1)又设SE EB(0)，则2E(,)1112DE (,),DC (0,2,0)111设平面 CDE 的法向量 m=(x,y,z)由m DE,m DC,得m DE 0，m DC 0故xy2z 0,2 y 0.111令x 2，则m (2,0,).由平面 DEC平面 SBC 得 mn,m n 0,2 0,2故 SE=2EB（）由（）知E(,)，取 DE 的中点 F，则F(,),FA(,)，故FA DE 0，由此得FA DE又EC (2 2 23 3 31 1 13 3 32313132 42,)，故EC DE 0，由此得EC DE，3 33向量FA与EC的夹角等于二面角ADEC的平面角于是cos(FA,EC)FA EC1 2|FA|EC|所以，二面角ADEC的大小为12020.解：（）f(x)x11ln x1 ln x，xxf(x)xln x1,题设xf(x)x ax 1等价于lnx x a.令g(x)ln x x，则g(x)211x当0 x1，g(x)0；当x1时，g(x)0，x 1是g(x)的最大值点，g(x)g(1)1综上，a的取值范围是1,.()由（）知，g(x)g(1)1即ln x x10.当0 x1时，f(x)(x1)ln x x1 xln x(ln x x1)0；当x1时，f(x)ln x(xln x x1)11)x11 ln x x(ln1)xx ln x x(ln x0所以(x1)f(x)021.解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，D(x1,y1)，l的方程为x my 1(m 0).（）将x my 1代入y 4x并整理得y 4my 4 0从而y1 y2 4m,y1y2 4直线 BD 的方程为22y y2y2 y1(x x2)x2 x1y224即y y2(x)y2 y14令y 0，得x y1y214所以点 F(1,0)在直线 BD 上（）由（）知，2x1 x2(my11)(my21)4m 2x1x2(my11)(my21)1.因为FA(x11,y1),FB (x21,y2)，FAFB (x11)(x21)y1y2 x1x2(x1 x2)14 84m2故84m 解得m 28，943所以l的方程为3x4y 3 0,3x4y 3 0又由（）知y2 y1 (4m)44 故直线 BD 的斜率247343，y2 y17因而直线 BD 的方程为3x7y 3 0,3x7y 3 0.因为 KF 为BKD的平分线，故可设圆心M(t,0)(1t 1)，M(t,0)到l及 BD 的3 t 1 3 t 1,距离分别为.54由3 t 13 t 11得t，或t 9（舍去），5493 t 12.故圆 M 的半径r 53所以圆 M 的方程为(x)y 19224.9
