《等差数列前n项和公式》教学设计.pdf

等差数列前 n 项和公式教学设计等差数列前等差数列前 n n 项和公式教学设计项和公式教学设计成都市第十二中学高俊兰一、设计指导思想与理论依据一、设计指导思想与理论依据在讲授式的教学中，课堂实施过于注重知识的机械传授，忽略了学生学习的主体性，也抑制了学生综合能力的提高和综合素质的发展。当代学生观重视学生的自主发展，认为教育就应看到学生的未完成性，给学生创造发展的环境和机会。第斯多惠有一句名言：“一个坏的教师奉送真理，一个好的教师则教人发现真理”。这充分体现了数学学习中的启发性原则。基于数学学科自身抽象和严谨的特点，教师在数学教学活动中就要引导学生自主发现问题，解决问题，培养学生的动手、动脑能力。本堂课以个性化的教学思想为指导进行设计。采用探究活动为主的教学方法，借助教材或教师提供的相关资料让学生亲自去探索得出结论或规律性的知识，培养学生的探究思维能力。因此，我在此堂课的教学中借助图形拼接演示等差数列的前n项和公式，帮助理解，启迪思路，更加形象地揭示研究对象的性质和关系，也在教学中展示了数学的对称美。二、教材分析二、教材分析1 1、教学内容：、教学内容：等差数列前 n 项和是现行教材高一上册第三章第三节“等差数列前 n 项和”的第一课时，主要内容是等差数列前n项和的推导过程和简单应用。2 2、地位与作用：、地位与作用：（1）教材知识编排角度：本节对“等差数列前n 项和”的推导，是在学生学习了等差数列通项公式的基础上进行，其学习平台是学生已掌握等差数列的通项性质以及高斯算法等相关知识。对本节的研究，为以后学习数列求和提供了一种重要的思想方法倒序相加法，也为高三运用数学归纳法证明数列型的不等式奠定良好的基础，具有承上启下的重要作用。（2）解决问题方法角度：数列是特殊的函数，其前n项和公式Snf(n)是数列的前n项和Sn与n之间的函数解析式。从这个角度出发，寻求等差数列的前n项和公式的本质就是寻求Sn与n之间的函数关系式。这一概念将有助于学生自主探求等差数列前n项和公式。因此，问题的被动第1页，共 12 页等差数列前 n 项和公式教学设计解决过程有效的转化成了学生的主动探求过程。在探求之中，采用了头脑风暴训练法，讨论多多益善，为学生的发散思维提供了更加广阔的空间。（3）培养学生能力角度：等差数列前n项和公式的探讨遵循了“提问预测析疑总结”的问题解决模式，将整个探求过程交由学生主宰，充分调动学生积极性，发挥学生的主体地位，对学生“提出问题理解问题分析问题解决问题评价问题”的能力起到了良好的训练作用，加强和提高了学生解决问题的能力。三、学情分析三、学情分析1、学生已掌握的理论知识角度：学生已经学习了等差数列的定义及通项公式，掌握了等差数列的基本性质，有了一定的知识准备。2、学生了解数列求和历史角度：大部分学生对高斯算法有比较清晰的认识，并且知道此算法原理，但在高斯算法中数列 1，2，3，100 只是一个特殊的等差数列，对于一般的等差数列的求和方法和公式学生还是一无所知。3、学生的认知规律角度：本节课采取了循序渐进、层层深入的教学方式，以问题解答的形式，通过探索、讨论、分析、归纳而获得知识，为学生积极思考、自主探究搭建了理想的平台，让学生去感悟倒序相加法的和谐对称以及使用范围。四、教学目标四、教学目标1、类比高斯算法，探求等差数列前n项和公式，理解公式的推导方法；2、能较熟练地应用等差数列前n项和公式解决相关问题；3、经历公式的推导过程，体会层层深入的探索方式，体验从特殊到一般、具体到抽象的研究方法，学会观察、归纳、反思与逻辑推理的能力；4、通过生动具体的现实问题，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感，体验在学习中获得成功；5、通过学生搜集历史名题，让学生了解数学史中等差数列的发展，引发学生用所学知识对前人的解法进行思考与探究；通过有关内容在实际生活中的应用，使学生再一次感受数学源于生活第2页，共 12 页等差数列前 n 项和公式教学设计又服务于生活的实用性，引导学生要善于观察生活，体会数学的实用价值，并学会用数学知识解决实际问题。五、教学重点与难点五、教学重点与难点1 1、教学重点：、教学重点：等差数列前n项和公式的推导和应用2 2、教学难点：、教学难点：公式推导的思路3 3、重难点解决的方法策略：、重难点解决的方法策略：本课在设计上采用了从特殊到一般、从具体到抽象的教学策略。利用分类讨论、类比归纳的思想，层层深入。通过学生自主探究，分析、整理出推导公式的不同思路，同时，借助多媒体的直观演示，帮助学生理解，并通过范例后的变式训练和教师的点拨引导、师生互动、讲练结合，突出重点、突破难点。六、核心问题六、核心问题类比高斯算法，探求一般等差数列的前 n 项和公式。七、教学媒体七、教学媒体媒体类型多媒体实物投影仪媒体展示内容图片、倒序相加的图片演示学生作品媒体作用创设问题情境，提出问题展示小组成果八、教学流程八、教学流程创设问题情境，提出问题探究等差数列前n项和公式公式理解和深化公式应用，反馈评价归纳总结，升华认知九、教学过程设计九、教学过程设计（一）创设情景，提出问题（一）创设情景，提出问题欣赏图片泰姬陵：泰姬陵坐落于印度古都阿格，是 17 世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建。它宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶嵌，图案之细致令人叫绝。传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有 100 层，奢靡之程度，可见一斑。第3页，共 12 页等差数列前 n 项和公式教学设计问题问题 1 1：你能计算出这个图案一共花了多少颗宝石吗？教师活动：教师活动：利用多媒体，展示泰姬陵的图片，并截取出三角形宝石图案，引导学生观察宝石数目变化情况。学生活动：学生活动：欣赏之余观察三角形中宝石变化情况并尝试解决问题 1.活动预设：活动预设：（1）能得到的信息：从上到下，宝石数目以 1 为公差依次递增，构成等差数列。（2）需要解决的问题：100 层中究竟共有多少颗宝石？【设计意图】【设计意图】（1）教师先用多媒体展示彩图呈现的问题，使学生进入问题情境，激发学生的兴趣，并使学生体会数学来源于生产生活。（2）以问题的提出作为引入方式，使学生带着问题学习新课，更有目的性。（二）探究等差数列前（二）探究等差数列前 n n 项和公式项和公式教师活动：教师活动：指出此数列的求和方法在 1787 年已被高斯解决，征求高斯故事。学生活动：学生活动：学生根据课前的搜集简介高斯“神速求和”的故事：小高斯上小学四年级时，一次数学老师布置了一道数学习题：把从 1 到 100 的自然数加起来，和是多少？年仅 10 岁的小高斯略一思索就得到答案：5050，这使老师非常吃惊。问题问题 1 1：高斯是采用了什么方法来巧妙地计算出答案的呢？教师活动：教师活动：指导学生快速找出规律。第4页，共 12 页等差数列前 n 项和公式教学设计学生活动：学生活动：高斯算法解决：1+2+3+50+51+98+99+100=？活动预设：活动预设：高斯算法：1+100=101,2+99=101，50+51=101，所以原式=50（1+101）=5050问题问题 2 2：在高斯算法中实际上利用了等差数列通项的哪种性质？教师活动：教师活动：引导学生思考高斯算法的技巧性及理论依据。学生活动：学生活动：利用高斯算法计算答案，并指出算法的技巧性以及高斯算法隐藏的等差数列项的何种性质。活动预设：活动预设：构造数列：a11,a2 2,a99 99,a100100，则有性质：等差数列an中，若mn pq，则am an ap aq。【设计意图】【设计意图】高斯算法首尾组合的思想揭示了等差数列“角标和相等，对应的项和相等”的特征，为等差数列前n项和公式的推导的“倒序相加法”做好铺垫，开启了更深入、更细致的研究大门。问题问题 3 3：你能否利用高斯算法解决一般等差数列的求和问题？方法方法 1 1：分类讨论法：分类讨论法教师活动：教师活动：给出一般数列：设等差数列an前n项和为Sn，Sn a1a2a3有限的项表示Sn？说明：Sn a1a2a3an只是给出了等差数列前n项和的形式定义，而我们推导的求和公an，则如何用式是在等差数列确定的情况下，探究Sn与n之间所满足的对应关系，即寻求Sn f(a1,an,n)或Sn f(a1,d,n)的表达式。学生活动：学生活动：类比高斯算法，分小组讨论并探求等差数列前n项和公式。活动预设：活动预设：以小组为单位投影学生推导过程，并让其对过程做出解释和说明。a1 a2 a3 an 2 an 1 an第5页，共 12 页等差数列前 n 项和公式教学设计其中a1an a2an1 a3an2结果预测：结果预测：（1）学生没有对n的奇偶进行讨论，不严密地得出答案；（2）学生对n的奇偶进行讨论，但对于n是奇数时的推导遇到障碍。问问 题题4 4：利 用 等 差 数 列 性 质：若mn pq，则am an ap aq。得 出：a1an a2an1 a3an2?，究竟一共有多少个a1an？教师活动：教师活动：提出问题，引导学生讨论，并抽小组成员发表本组观点。学生活动：学生活动：再次以小组为单位以n的奇偶为标准对前n项和公式进行求解。活动预设：活动预设：（1）当n为偶数时：Sn a1 an an22 1 an Snn(a1 an)2（2）当n为奇数时：Sn a1 an 121 an 1 an 1221 ann 1 Sn(a1 an)an122问题问题 5 5：an 1落单了，如何处理an 1使得我们公式能够统一形式？22教师活动：教师活动：提示学生观察an 1的脚标与(a1 an)脚标的关系。2学生活动：学生活动：以小组为单位讨论an 1的处理办法。2活动预设：活动预设：不难发现，an 1的脚标与(a1 an)脚标满足如下关系：22 n 1 1 n，故有2Snn 1(a1 an)an 122第6页，共 12 页等差数列前 n 项和公式教学设计n 12(a1an)22a1ann 1(a1an)22n(a1an)2从而得到：无论n取偶数还是奇数，都有Snan 1an 12n(a1an)。2【设计意图】【设计意图】（1）类比高斯算法将首尾分组进行“配对”，发现需要对n的奇偶进行讨论，顺应学生思路，自然过渡，学生容易联想，也充分体现了新课改中尊重学生主体性的原则；（2）引导学生发现中间项an1的解决办法的过程中，进一步让学生体会研究数列实际上就是对2脚标数的研究。方法方法 2 2：倒序相加法：倒序相加法问题问题 6 6：对n的奇偶讨论过于复杂，能否回避对n的讨论呢？教师活动：教师活动：回到开始三角形宝石图片，假设有n层，如何快速计算宝石总数？给出提示：将三角形宝石做倒置再和原来三角形宝石拼接成平行四边形。学生活动：学生活动：计算拼接之后的宝石数量。活动预设：活动预设：拼接之后每一层的宝石数量为a1an，总共有n层，所以又2Sn(a1an)n。由此引入倒序相加法：Sn a1 a2 a3 an 2 an 1 anSn an an 1 an 2 a3 a2 a1(an2 a3)(an1 a2)(an a1)2Sn(a1 an)(a2 an1)(a3 an2)由性质“若mn pq，则am an ap aq”可得：2 Sn n(a1 an)Snn(a1 an)（等差数列前n项和公式）2【设计意图】【设计意图】（1）数学问题的解决讲究最优化原则，因此引导学生利用图形倒置进而联想算式第7页，共 12 页等差数列前 n 项和公式教学设计的倒序是非常必要的，也让学生体会到数学方法的多样性，但需要寻求高效率的方法；（2）倒序相加求和法是数列求和常用方法之一，方法比公式本身更为重要，也为以后数列求和的学习做好铺垫；（3）图形的倒置展示让学生感受数学的对称美以及如何运用数学知识拼接出美丽的图案。（三）公式理解和深化（三）公式理解和深化公式一、Snn(a1an)2问题问题 1 1：此公式中有哪些变量，已知哪些量可求另外量？教师活动：教师活动：引导学生找出变量学生活动：学生活动：观察公式，找出变量。活动预设：活动预设：此公式中，共有四个变量：Sn,n,a1,an，可知三求一。【设计意图】【设计意图】让学生从变量上理解公式，从形式上初步了解如何由已知探求未知，在头脑中初步建构公式的适用情况。问题问题 2 2：此公式还可进行怎样的变形？教师活动：教师活动：引导学生从an下手对公式进行变形，投影学生的变形过程。学生活动：学生活动：尝试对公式进行变形。活动预设：活动预设：公式二、Sn na1n(n1)d2【设计意图】【设计意图】（1）让学生学会在旧知与新知之间搭建桥梁，运用旧知巩固新知，利用旧知得出新知；（2）体会知识之间的整体性和关联性，感受运用旧知推导新知的成功和喜悦。问题问题 3 3：观察、对比公式一、二，你能得出什么结论有利于你解题时对公式进行筛选？教师活动：教师活动：引导学生从两个公式中的变量进行总结。学生活动：学生活动：总结出两公式的区别及适用情况。活动预设：活动预设：（1）在两个公式，五个变量中：a1,n,d,an,Sn，可知三求二（2）若已知an，优先选用公式一，若已知d，优先选用公式二。【设计意图】【设计意图】通过两公式的对比研究，可进一步加深学生对公式的记忆，公式一、二的区别可第8页，共 12 页等差数列前 n 项和公式教学设计提高学生的做题速度和质量，再一次体现了数学的简洁美和精准性。问题问题 4 4：等差数列的通项公式是n的一次函数，类比可得Sn与n有什么样的函数本质？教师活动：教师活动：引导学生对公式二进行变形，写Sn f(n)的函数关系式，投影学生结果。学生活动：学生活动：对公式二进行变形，将Sn整理成关于n的二次函数型。dd活动预设：活动预设：公式二变形可得：Snn2(a1)n，有了这一函数本质后，可利用函数观点解决22等差数列求和的最值问题。反馈练习：下列表达式中不可表示等差数列前n项和的是（）A.Sn 7n B.Sn 2n2 C.Sn 2n23 D.Sn 2n23n【设计意图】【设计意图】：（1）通过此题可帮助学生理解数列是特殊的函数，进一步巩固学生对Sn f(n)的把握，加深印象；（2）此题进一步说明当表达式Sn f(n)为 A、B、D 三种形式时分别对应何种特殊等差数列；（3）函数与数列的关系就是旧知和新知的有效联系，并为以后借助函数解决等差数列中的最值、单调性等问题埋下伏笔。（四）公式应用、反馈评价（四）公式应用、反馈评价例 1、求正整数中前n个奇数的和。教师活动：教师活动：分析解决问题，组织学生交流、讨论，引导学生将文字语言转化为数学语言，再进行公式的应用。学生活动：学生活动：将文字语言转化为数学语言后再进行公式的选择。【设计意图】【设计意图】透过此题，培养学生数学语言提炼能力，熟练地选取恰当的公式进行求解。例 2、等差数列an的前n项和为Sn,已知a10 30,a20 50,求：（1）求通项an；（2）若Sn 242，求n；（3）求S29。教师活动：教师活动：引导学生仔细审题，找出相关已知量，将已知和未知建立联系，将旧知与新知结合解题，寻求解题最简便的方法，投影学生解题过程并引导学生进行评价。第9页，共 12 页等差数列前 n 项和公式教学设计学生活动：学生活动：交流、讨论，选取最优方法。变式：变式：在等差数列an中，Sn为其前n项和（1）已知a2a6a15a19 20,求S20（2）已知a6 20，求S11。教师活动：教师活动：从例 2 的第 3 小问出发，引导学生利用通项性质求和。学生活动：学生活动：运用通项性质“等差数列an中，若mn pq，则am an ap aq”巧解变式。【设计意图】【设计意图】让学生理解前n项和公式的Sn另一变形：Snnn(a1an)(a2an1)22n(apaq)，其中pq n1。再次对通项性质进行巩固。2（五）归纳总结，升华认知（五）归纳总结，升华认知问题问题 1 1：通过本堂课的学习，你有哪些收获？教师活动：教师活动：鼓励学生积极回答，畅所欲言，再帮助学生将知识系统化。学生活动：学生活动：学生各抒己见，总结，谈体会活动预设：活动预设：（1）公式探究过程：特殊到一般，具体到抽象，感性到理性。（2）根据已知合理选择公式，并能灵活应用公式的变形。（3）数学思想方法和思维方法：倒序相加法，类比，文字语言与数学语言的等价转化，数学实际应用。【设计意图】【设计意图】学会反思，及时归纳总结，通过独立思考，自我评价学习效果，发现问题、解决问题，养成良好的反思习惯。问题问题 2 2：你知道数学史中有关数列的故事或题型吗？教师活动：教师活动：本堂课之前要求学生课后查阅数学史中有关等差数列求和的案例。学生活动：学生活动：学生主动发言，将事先搜索的故事或题型与大家一起分享。活动预设：活动预设：（1）张丘建算经：今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十日织讫，问织几何？（数学语言描述：已知等差数列an中，a1 5，a301，求Sn。）1（2）莱因得纸草五人按等差数列分 100 片面包，最少的两份之和是另外三份的，每人分7第10页，共 12 页等差数列前 n 项和公式教学设计得多少？【设计意图】【设计意图】让学生了解中外数学史中等差数列的发展，引发学生用所学的知识对前人的解法进行思考和研究，激发学生探求未知的好奇心和数学学习兴趣，学会将文字叙述题转化为数学符号表示的问题，对学生的数学史观养生影响。（六）课后作业：（六）课后作业：1、（必做）教材习题 3.3-2，3，5，6，72、（选做）（1）已知f(x)1x123，若Sn f()f()f()log221 xnnn f(n1),nN,n 2，求Sn。n（2）（03 上海春招）设f(x)f(5)f(4)f(0)1，利用课本中推导等差数列前n项和的公式方法，可求得x2 2 f(5)f(6)的值为。【设计意图】【设计意图】必做题旨在巩固“双基”，选做题主要针对学有余力的同学拓展能力，层次分明，有效地避免了学生“吃不了、吃不饱”的现象，也尊重了学生发展的个体差异性。十、板书设计十、板书设计一、等差数列前 n 项和：3.3 等差数列前 n 项和Sn a1a2an四、例题及解答（副板书）二、公式的推导方法一：分类讨论法方法二：倒序相加法三、深化公式公式 1、公式 2、变形：（主板书）（辅助性板书）第11页，共 12 页等差数列前 n 项和公式教学设计十一、教学反思十一、教学反思1 1、教学设计的反思、教学设计的反思建构主义理论的核心用一句话可以概括为：以学生为中心，强调学生对知识的主动探索、主动发现和对所学知识意义的主动建构。基于这一核心，本节课有如下几个特点：（1）注重学生主动建构知识，自主探究学习学生学习的根本特点是接受前人经验，具有间接性。虽然要学的数学知识都是前人总结的经验，但对学生来说，一切都是从头开始。因此在本堂课中，没有直接给出倒序相加法求前n项和公式，而是从高斯算法类比首尾相加法，没有因为n的奇偶讨论繁琐而阻断学生流畅的思维，相反顺水推舟，顺应学生思路对n进行讨论，且讨论过程完全交给学生，这充分体现了尊重学生主体发展和注重学生自主探究的新课改理念，给学生提供了充分的再创造机会。（2）重视知识的融会贯通数学知识博大精深，前后的知识点有千丝万缕的联系。我们要善于在学生已学过的内容中搜寻有价值、有联系的“旧知”，来引导学生学习“新知”。在等差数列前n项和公式的推导中，反复利用等差数列的通项性质：若mn pq，则am an ap aq，不断对前n项和公式进行化简，并给出了如何利用此性质快速求解前n项和的相关例题，前后知识过渡自然。（3）资料搜集，丰富学生的课外生活让学生课前搜集高斯故事、数学发展中数列的发展情况及相关题型的这一活动，潜意识地让学生对数学发展有个初步的认识，扩充了学生数学学习视野，激发了数学学习的好奇心。2 2、教学效果的反思、教学效果的反思从实际教学效果来看，整体效果是不错的。正如学生所谈到：“这节课老师给了我们足够的讨论时间，顺应我们思路循序渐进，不急于告诉我们方法和结论，而是通过我们的自主探究发现问题，寻求更优推导方法”，“从激烈的讨论中，我感受到了思考问题的个别差异，别人的解题新方法，让我的思维也一下子明朗起来”，“小组合作让我真正体会到了团结就是力量，其优越性不是个人能力所能比拟的，真是众人拾柴火焰高啊！”第12页，共 12 页