九年级数学中考试题函数、图像与几何问题精选.pdf

0808 中考试题中考试题函数、图像与几何问题函数、图像与几何问题1（0707 杭州）杭州）在直角梯形ABCD中，C 90，高CD 6cm（如图 1）。动点P,Q同时从点B出发，点P沿BA,AD,DC运动到点C停止，点Q沿BC运动到点C停止，两点运动时的速度都是1cm/s。而当点P到达点A时，点Q正好到达点C。设P,Q同时从点B出发，经过的时间为ts时，BPQ的面积为y cm2（如图 2）。分别以t,y为横、纵坐标建立直角坐标系，已知点P在AD边上从A到D运动时，y与t的函数图象是图 3 中的线段MN。（1）分别求出梯形中BA,AD的长度；（2）写出图 3 中M,N两点的坐标；（3）分别写出点P在BA边上和DC边上运动时，y与t的函数关系式（注明自变量的取值范围），并在图 3 中补全整个运动中y关于t的函数关系的大致图象。ByADAPD30C（图 1）BQ（图 2）COt（图 3）【思路点拨】（1）设动点出发t秒后，点P到达点A且点Q正好到达点C时，由图 3 知此时ABC面积为 30.（2）结合（1）的结论写出M,N两点的坐标；（3）考虑当点P在BA上时及当点P在DC上时两种的y关于t的函数关系式.解：（1）设动点出发t秒后，点P到达点A且点Q正好到达点C时，BC BAt，则1SBPQt6 30,2t 10（秒）则BA 10cm,AD 2cm；（2）可得坐标为M10,30,N12,30（3）当点P在BA上时，y 当点P在DC上时，y 13ttsinB t20t 10；21011018t 5t 9012t 1822（山西太原）（山西太原）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y x1与y 3x3交于点A，4分别交x轴于点B和点C，点D是直线AC上的一个动点（1）求点A，B，C的坐标（2）当CBD为等腰三角形时，求点D的坐标（3）在直线AB上是否存在点E，使得以点E，D，O，A为顶点的四边形是平行四边形？BEy如果存在，直接写出的值；如果不存在，请说明理由CD【思路点拨】（1）注意直线方程的解与坐标关系；（2）当CBD为等腰三角形时，分三种情况讨论，（3）以点E，D，O，A为顶点的四边形是平行四边形三种情形。解：解：（1）在y x1中，当y 0时，x1 0，ADBOCx33x 4，0)在y x3中，当y 0时，x3 0，x 1，点B的坐标为(1，448x，y x1，7点C的坐标为（4，0）由题意，得解得315y x3y 47 8 15点A的坐标为，77（2）当CBD为等腰三角形时，有以下三种情况，如图（1）设动点D的坐标为(x，y)D2yyD2AE2M4xD4图（1）图（2）E1D1CxBOD3AD1M2BOM1C，0)C(4，0)，BC 5由（1），得B(1当BD1 D1C时，过点D1作D1M1 x轴，垂足为点M1，则BM1 M1C 1BC25533BM1，OM11，x 22223315 3 15y 3，点D1的坐标为，42828222当BC BD2时，过点D2作D2M2 x轴，垂足为点M2，则D2M2 M2B D2B3M2B x1，D2M2 x3，D2B 5，43(x1)2x3 524解，得x1 23122412此时，y 3，x2 4（舍去）455512 24点D2的坐标为，当CD3 BC，或CD4 BC时，同理可得55D3(0，3)D4(8，3)由此可得点D的坐标分别为 3 1512 24D1，D2，D3(0，3)D4(8，3)2855（3）存在以点E，D，O，A为顶点的四边形是平行四边形有以下三种情形，如图（2）当四边形AE1OD1为平行四边形时，BE13 2CD120BE12CD210CyBEOD当四边形AD2E1O为平行四边形时，当四边形AOD1E2为平行四边形时，BE227 2CD120Ax3 3、(07(07 台州市台州市)如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点A在x轴上，点C在y轴上，将边BC折叠，使点B落在边OA的点D处已知折叠CE 5 5，且34（1）判断OCD与ADE是否相似？请说明理由；（2）求直线CE与x轴交点P的坐标；（3）是否存在过点D的直线l，使直线l、直线CE与x轴所围成的三角形和直线l、直线CE与y轴所围成的三角形相似？如果存在，请直接写出其解析式并画出相应的直线；如果不存在，tanEDA请说明理由解：（1）OCD与ADE相似理由如下：由折叠知，CDE B 90，2 3.12 90，13 90，又COD DAE 90，OCDADE（2）tanEDA yBCElAE3，设AE 3t，AD4则AD 4t由勾股定理得DE 5tOC AB AE EB AE DE 3t 5t 8tOCCD由（1）OCDADE，得，ADDE8tCD，4t5tCD 10t在DCE中，CD DE CE，222ODAxl(10t)2(5t)2(5 5)2，解得t 18)，OC 8，AE 3，点C的坐标为(0，点E的坐标为(10，3)，设直线CE的解析式为y kxb，110k b 3，k ，解得2b 8，b 8，1y x8，则点P的坐标为(16，0)2（3）满足条件的直线l有 2 条：y 2x12，y 2x124（浙江湖州）（浙江湖州）已知：在矩形AOBC中，OB 4，OA 3分别以OB，OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系F是边BC上的一个动点（不与B，C重合），过kF点的反比例函数y(k 0)的图象与AC边交于点Ex（1）求证：AOE与BOF的面积相等；（2）记S SOEFSECF，求当k为何值时，S有最大值，最大值为多少？（3）请探索：是否存在这样的点F，使得将CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由【思路点拨】（1）用k的代数式表示AOE与FOB的面积；（2）写出E，F两点坐标（含k的代数式表示），利用三角形面积公式解之；（3）设存在这样的点F，将C E F沿EF对 折 后，C点 恰 好 落 在OB边 上 的M点，过 点E作EN OB，垂 足 为N 证ENM MBF（1）证明：设E(x1，y1)，F(x2，y2)，AOE与FOB的面积分别为S1，S2，由题意得y1kk，y2x2x1S11111x1y1k，S2x2y2k2222S1 S2，即AOE与FOB的面积相等3，F4，（2）由题意知：E，F两点坐标分别为E，1111EC CF 4k3k，2234 k3k 4SECF11SEOF S矩形AOBCSAOESBOFSECF12k k SECF12k SECF22111S SOEFSECF12k 2SECF12k 24k3k234S 当k 12k k1211 212 6时，S有最大值S最大值1 31 412（3）解：设存在这样的点F，将CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB边上的M点，过点E作EN OB，垂足为N由题意得：EN AO 3，EM EC 4k，MF CF 3131k，4EMN FMB FMBMFB 90，EMN MFB又ENM MBF 90，ENM MBF114k41k3ENEM312，1MB31kMBMF31k412MB 29422222219 k 1MB BF MF，3k，解得k 8444BF k2143221存在符合条件的点F，它的坐标为4，325 5（浙江嘉兴）（浙江嘉兴）如图，直角坐标系中，已知两点O(0，0)A(2，0)，点B在第一象限且OAB为正三角形，OAB的外接圆交y轴的正半轴于点C，过点C的圆的切线交x轴于点D（1）求B，C两点的坐标；（2）求直线CD的函数解析式；（3）设E，F分别是线段AB，AD上的两个动点，且EF平分四边形ABCD的周长试探究：AEF的最大面积？【思路点拨】（1）作BG OA于G；（2）连结A C,证CDOB.（3）通过几何图形建立二次函数模型解之，注意自变量的取值范围。解：（1）A(2，0)，OA 2作BG OA于G，OAB为正三角形，OG 1，BG 3B(1，3)连AC，AOC 90，ACO ABO 60，2 33OC OAtan30 2 3C0，3（2）又AOC 90，AC是圆的直径，（第 24 题）CD是圆的切线，CD ACOCD 30，OD OC tan30 220D，33设直线CD的函数解析式为y kxb(k 0)，2 3k 3b 3则，解得2 3b 0 2k b33直线CD的函数解析式为y 3x2 33（3）AB OA 2，OD 2 324，CD 2OD，BC OC，333四边形ABCD的周长62 33设AE t，AEF的面积为S，3133t，S AF AEsin60 t3t则AF 3324323339373t S t3t43632 4 当t 7 3393时，Smax1286点E，F分别在线段AB，AD上，0t213t2，解得323t20333t 9313t2，满足637 33128AEF的最大面积为6（浙江衢州）（浙江衢州）已知直角梯形纸片OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，四个顶点的坐标分别为 O(0，0)，A(10，0)，B(8，2 3)，C(0，2 3)，点 T 在线段 OA 上(不与线段端点重合)，将纸片折叠，使点A 落在射线 AB 上(记为点 A)，折痕经过点T，折痕TP 与射线 AB交于点 P，设点 T 的横坐标为 t，折叠后纸片重叠部分(图中的阴影部分)的面积为 S；(1)求OAB 的度数，并求当点 A在线段 AB 上时，S 关于 t 的函数关系式；(2)当纸片重叠部分的图形是四边形时，求t 的取值范围；(3)S 存在最大值吗？若存在，求出这个最大值，并求此时t 的值；若不存在，请说明理由。yyTOAxOCBCTAxB解：(1)A，B 两点的坐标分别是A(10，0)和 B(8，2 3)，tanOAB 2 33，108OAB 60当点 A在线段 AB 上时，OAB 60，TA=TA，ATA是等边三角形，且TP TA，TP (10 t)sin60 311(10 t)，AP AP AT(10 t)，222yACOEBPAxS SATP13APTP(10 t)2，282 3 4，当 A与 B 重合时，AT=AB=sin60所以此时6 t 10。T(2)当点 A在线段 AB 的延长线，且点 P 在线段 AB(不与 B 重合)上时，纸片重叠部分的图形是四边形(如图(1)，其中 E 是 TA与 CB 的交点)，当点 P 与 B 重合时，AT=2AB=8，点 T 的坐标是(2，0)又由(1)中求得当 A与 B 重合时，T 的坐标是(6，0)所以当纸片重叠部分的图形是四边形时，2 t 6。(3)S 存在最大值1当6 t 10时，S yEAPBFxC3(10 t)2，8OTA在对称轴 t=10 的左边，S 的值随着 t 的增大而减小，当 t=6 时，S 的值最大是2 3。2当2 t 6时，由图1，重叠部分的面积S SATPSAEBAEB 的高是ABsin60，S 313(10 t)2(10 t 4)282233(t2 4t 28)(t 2)2 4 388当 t=2 时，S 的值最大是4 37（江苏盐城）江苏盐城）如图，在平面直角坐标系中，已知AOB 是等边三角形,点 A的坐标是（0，4），点 B 在第一象限，点 P 是 x 轴上的一个动点，连结AP，并把AOP 绕着点A 按逆时针方向旋转，使边AO 与 AB 重合，得到ABD.（1）求直线 AB 的解析式；（2）当点 P 运动到点（3,0）时，求此时 DP 的长及点 D 的坐标；（3）是否存在点 P,使OPD 的面积等于在，请说明理由.3,若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存4yyABOP图 1DABxO图 2x解：（1）如图，过点 B 作 BEy 轴于点 E，作 BFx 轴于点 F.由已知得BF=OE=2,OF=4222=2 3点 B 的坐标是(2 3，2)4 b设直线 AB 的解析式是 y=kx+b，则有解得2 2 3k b直线 AB 的解析式是 y=3k 3b 43x+4y3E(2)如图，ABD 由AOP 旋转得到，ABDAOP，AP=AD，DAB=PAO，DAP=BAO=600，ADP 是等边三角形，DP=AP=4(3)19.（2 分）如图，过点 D 作 DHx 轴于点 H，延长 EB 交 DH 于点 G,则 BGDH.方法（一）在 RtBDG 中，BGD=900,DBG=600.22ADBGPOF Hx31=.2233DG=BDsin600=3=.2257OH=EG=3,DH=2257点 D 的坐标为(3,)22BG=BDcos600=3(3)假设存在点 P,在它的运动过程中,使OPD 的面积等于设点 P 为（t，0），下面分三种情况讨论:3.4yAEO3当 t0 时，如图，BD=OP=t,DG=t,233DH=2+t.OPD 的面积等于，24133t)t(2，224 212 3212 3解得t1,t2(舍去).33212 3点 P1的坐标为(,0)34 33当t0 时，如图，BD=OP=t,BG=t,32DBGPF Hx33t）=2+t.223OPD 的面积等于，4133t)t(2，2243解得t1,t2 3.33点 P2的坐标为(,0)，点 P3的坐标为(3,0).34 33当 t时，如图，BD=OP=t,DG=t,323DH=t2.23OPD 的面积等于，4133t)t(2，224 212 3212 3解得t1(舍去),t233 212 3点 P4的坐标为(,0)3DH=GF=2（综上所述,点 P 的坐标分别为 P1(P4(yAEPODBGxHFyAEOPGBHDx212 3,0)、P2(3,0)、P3(3,0)、33 212 3,0)34 4、（四川乐山）（四川乐山）在平面直角坐标系中ABC 的边 AB 在 x 轴上，且 OAOB,以 AB 为直径的圆过点 C，若 C 的 坐 标 为(0,2),AB=5,A,B 两 点 的 横 坐 标 XA,XB是 关 于 X 的 方 程x2(m2)xn1 0的两根:(1)求 m，n 的值;(2)若ACB 的平分线所在的直线l交 x 轴于点 D，试求直线l对应的一次函数的解析式;(3)过点 D 任作一直线l分别交射线 CA，CB（点 C 除外）于点M，N，则否为定值，若是，求出定值，若不是，请说明理由.解：（1）设 A（Xa，0）,B(Xb,0)则 Xa+Xb0，Xb-Xa=5AB 是直径ACB=9011的值是CMCNCMDOBAOCABAOC=COB,CAO=OCBAOCCOBAOCOCOOBOC=AOOBXaXb=-4（Xa0Xa，Xb 是方程 x-（m+2）x+n-1=0 的根Xa+Xb=m+2，XaXb=n-1n-1=-4,5=（m+2）-4（-4）n=-3,m=-5 或 m=1(与 Xa+Xb0 不符舍去）原方程为 x+3x-4=0 即 m=-5,n=-3解得 Xa=-4，Xb=1（2）设 D（Xd，0）则 AD=Xd-Xa=Xd+4，DB=Xb-Xd=1-XdCD 平分ACBACADBCDBOA=4，OC=2，OB=1AC=25，BC=5CFDONADXd 4=2，即=2DB1 Xd222Xd=-即 D（-，0）,OD=333设lCD：y=kx+b2=b0=-EMBA2k+b3解得k=3b=2即 y=3x+2（3）过 D 作 DECA 于 E，DFBC 于 F 则 CD=ACB=90CD 平分ACB四边形 CEFC 是正方形CE=DE=DF=CF=MDEDFN2 5,MDE=FDN3MEDEMECFMECFDFFNCEFNCMCNCECECEMEME CE=1CMCNCMCMCM1113 5=（定值）CMCNCE10