数学分析试卷及答案6套.pdf
第 1 页 共 5 页数学分析-1 样题(一)一.(8 分)用数列极限的 N定义证明limnn 1.n二.(8 分)设有复合函数fg(x),满足:(1)limg(x)b;xa(2)xU(a),有g(x)U(b)(3)lim f(u)Aub00用定义证明,lim fg(x)A.xa三.(10 分)证明数列xn:xncos1cos21223cosn收敛.n(n1)四.(12 分)证明函数f(x)1在a,1(0 a 1)一致连续,在(0,1不一致连续.x五.(12 分)叙述闭区间套定理并以此证明闭区间上连续函数必有界.六.(10 分)证明任一齐次多项式至少存在一个实数零点.七.(12 分)确定a,b使lim(x x1axb)0.x2八.(14 分)求函数f(x)2x39x212x在,的最大值与最小值.九.(14 分)设函数f(x)在a,b二阶可导,f(a)f(b)0.证明存在(a,b),使1 54 2f()4f(b)f(a).(ba)2数学分析-1 样题(二)一.(10 分)设数列an满足:a1a,an1aan(nN),其中a是一给定的正常数,证明an收敛,并求其极限.二.(10 分)设lim f(x)b 0,用定义证明limxx0 xx011.f(x)b答案参见我的新浪博客：http:/ 2 页 共 5 页三.(10 分)设an 0,且liman l 1,证明liman 0.nann1四.(10 分)证 明 函 数f(x)在 开 区 间(a,b)一 致 连 续f(x)在(a,b)连 续,且xalim f(x),lim f(x)存在有限.xb五.(12 分)叙述确界定理并以此证明闭区间连续函数的零点定理.六.(12 分)证明:若函数在连续,且f(a)0,而函数 f(x)在a可导,则函数f(x)在a可导.七.(12 分)求函数f(x)x x1在的最大值,其中0 1.八.(12 分)设f在上是凸函数,且在(a,b)可微,则对任意x1,x2(a,b),x1 x2,都有2f(x1)f(x2).g(x),x 0九.(12 分)设f(x)x且g(0)g(0)0,g(0)3,求f(0).0,x 0数学分析-2 样题(一)一.(各 5 分,共 20 分)求下列不定积分与定积分:1.3.xarctanx dxln202.edx4.xe 1dxx0 xsin xdx1cos2xf(x)dx 0.证明f(x)0(xa,b).二.(10 分)设f(x)是上的非负连续函数,三.(10 分)证明ba20sin xdx 0.x四.(15 分)证明函数级数(1 x)xn0n在不一致收敛,在0,(其中)一致收敛.五.(10 分)将函数f(x)x,x 0展成傅立叶级数.x,0 x 122xysin,x y 022x y六.(10 分)设f(x,y)220,x y 0答案参见我的新浪博客：http:/ 3 页 共 5 页证明:(1)fx(0,0),fy(0,0)存在;(2)fx(x,y),fy(x,y)在(0,0)不连续;(3)f(x,y)在(0,0)可微.七.(10 分)用钢板制造容积为V的无盖长方形水箱,怎样选择水箱的长、宽、高才最省钢板?八.(15 分)设0 1,证明11.n(n1)n1数学分析-2 样题(二)一.(各 5 分,共 20 分)求下列不定积分与定积分:1.10a2 x2dx(a 0)2.0 x xx x1001712871514dx3.arcsin x dx4.1cos2xdx二.(各 5 分,共 10 分)求下列数列与函数极限:1.limn22nk1n kn2.limxx01exx0etdt2三.(10 分)设函数在a,b连续,对任意a,b上的连续函数g(x),g(a)g(b)0,有baf(x)g(x)dx 0.证明f(x)0(xa,b).四.(15 分)定义0,1上的函数列122n x,x 2n11fn(x)2n2n2x x 2nn1 x 1n证明fn(x)在0,1不一致收敛.五.(10 分)求幂级数(n1)xn0n的和函数.答案参见我的新浪博客：http:/ 4 页 共 5 页六.(10 分)用定义证明(x,y)(2,1)2lim(4x23y)19.2七.(12 分)求函数u (2ax x)(2by y)(ab 0)的极值.八.(13 分)设正项级数an1n收敛,且an an1(nN).证明limnan 0.n数学分析-3 样题(一)一(10 分)证明方程F(x zy,y zx)0所确定的隐函数z z(x,y)满足方程11x二(10 分)设n个正数x1,x2,三(14 分)设无穷积分zz y z xy.xy,xn之和是a，求函数u nx1x2xn的最大值.af(x)dx收敛，函数f(x)在a,)单调，证明1f(x)o()(x ).x22四(10 分)求函数F(y)ln(x y)dx的导数(y 0).01五(14 分)计算sinbxsinaxdx(p 0,b a).0 x六(10 分)求半径为a的球面的面积S.I e px七(10 分)求六个平面a1b1c1a1xb1yc1z h1,a2xb2yc2z h2,=a2b2c2 0,a xb y c z h ,a3b3c33333所围的平行六面体V的体积I，其中ai,bi,ci,hi都是常数，且hi 0 (i 1,2,3).八(12 分)求Cxdy ydx，其中C是光滑的不通过原点的正向闭曲线.x2 y2九(10 分)求dS2222x y z a，其中是球面被平面z h(0 h a)所截的顶部.z答案参见我的新浪博客：http:/ 5 页 共 5 页数学分析-3 样题(二)一(10 分)求曲面x u v,y u v,z u v在点(0,2)对应曲面上的点的切平面与法线方程.二(10 分)求在两个曲面x xy y z 1与x y 1交线上到原点最近的点.三(14 分)设函数f(x)在1,)单调减少，且lim f(x)0，证明无穷积分x2222222331f(x)dx与级数f(n)同时收敛或同时发散.n1100四(12 分)证明0eaxebxbdx ln (0 a b).xa五(12 分)设函数f(x)在a,A连续，证明 xa,A，有1xlim f(t h)f(t)dt f(x)f(a).ah0h22六(10 分)求椭圆区域R:(a1xb1y c1)(a2xb2y c2)1(a1b2a2b1 0)的面积A.七(10 分)设F(t)Vf(x2 y2 z2)dx dy dz，其中V:x2 y2 z2 t2(t 0)，f是连续函数，求F(t).八(10 分)应用曲线积分求(2xsin y)dx(xcos y)dy的原函数.九(12 分)计算外侧.xyz dx dy，其中S是球面xS2 y2 z21在x 0,y 0部分并取球面答案参见我的新浪博客：http:/
