高三复习教案椭圆.pdf

椭圆【2013 年高考会这样考】1考查椭圆的定义及利用椭圆的定义解决相关问题2考查椭圆的方程及其几何性质3考查直线与椭圆的位置关系【复习指导】1熟练掌握椭圆的定义及其几何性质会求椭圆的标准方程2掌握常见的几种数学思想方法函数与方程、数形结合、转化与化归等体会解析几何的本质问题用代数的方法解决几何问题基础梳理1椭圆的概念在平面内到两定点 F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距集合 PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中 a0，c0，且 a，c 为常数：(1)若 ac，则集合 P 为椭圆；(2)若 ac，则集合 P 为线段；(3)若 ac，则集合 P 为空集2椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2y2a2b21(ab0)y2x2a2b21(ab0)图形续表范围对称性axabybbxbaya对称轴：坐标轴对称中心：原点性质顶点轴焦距离心率a，b，c的关系A1(a,0)，A2(a,0)B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)B1(b,0)，B2(b,0)长轴 A1A2的长为 2a；短轴 B1B2的长为 2b|F1F2|2ccea(0,1)c2a2b2一条规律椭圆焦点位置与 x2，y2系数间的关系：x2y2给出椭圆方程mn1 时，椭圆的焦点在 x 轴上mn0；椭圆的焦点在 y 轴上0mn.两种方法(1)定义法：根据椭圆定义，确定 a2、b2的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程(2)待定系数法：根据椭圆焦点是在 x 轴还是 y 轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于 a、b、c 的方程组，解出 a2、b2，从而写出椭圆的标准方程三种技巧(1)椭圆上任意一点 M 到焦点 F 的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为 ac，最小距离为 ac.(2)求椭圆离心率 e 时，只要求出 a，b，c 的一个齐次方程，再结合 b2a2c2就可求得 e(0e1)(3)求椭圆方程时，常用待定系数法，但首先要判断是否为标准方程，判断的依据是：中心是否在原点；对称轴是否为坐标轴双基自测1(人教 A 版教材习题改编)若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为 18，焦距为 6，则椭圆的方程为()x2y2A.9161x2y2x2y2C.25161 或16251x2y2B.25161D以上都不对x2y22(2012合肥月考)设 P 是椭圆25161 上的点，若 F1、F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|PF2|等于()A4B5C8D10 x2y23(2012兰州调研)“3m5”是“方程1 表示椭圆”的()5mm3A充分不必要条件C充要条件B必要不充分条件D既不充分也不必要条件x2y244(2012淮南五校联考)椭圆91 的离心率为5，则 k 的值为()4kA2119C25或 21B2119D.25或 215(2011全国新课标)在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 的中心为原点，焦点 F1，F2在 x 轴2上，离心率为2.过 F1的直线 l 交 C 于 A，B 两点，且ABF2的周长为 16，那么 C 的方程为_考向一椭圆定义的应用x2y2【例 1】(2011青岛模拟)已知 F1、F2是椭圆 C：a2b21(ab0)的两个焦点，P 为椭圆 CPF.若PF F 的面积为 9，则 b_.上的一点，且PF1212x22【训练 1】已知ABC 的顶点 B，C 在椭圆3y 1 上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在 BC 边上，则ABC 的周长是()A2 3C4 3B6D12考向二求椭圆的标准方程x2y2【例 2】(1)求与椭圆431 有相同的离心率且经过点(2，3)的椭圆方程(2)已知点 P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且 P 到两焦点的距离分别为 5、3，过 P 且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程审题视点 用待定系数法求椭圆方程，但应注意椭圆的焦点位置是否确定x2y2解(1)由题意，设所求椭圆的方程为43t(t0)，22 32x2y2椭圆过点(2，3)，t432，故所求椭圆标准方程为861.x2y2y2x2(2)设所求的椭圆方程为a2b21(ab0)或a2b21(ab0)，2a53，2由已知条件得解得 a4，c2，b12.2c25232，x2y2y2x2故所求方程为16121 或16121.运用待定系数法求椭圆标准方程，即设法建立关于 a、b 的方程组，先定型、再定量，若位置不确定时，考虑是否两解，有时为了解题需要，椭圆方程可设为mx2ny21(m0，n0，mn)，由题目所给条件求出 m、n 即可【训练 2】(1)求长轴是短轴的 3 倍且经过点 A(3,0)的椭圆的标准方程x2y2(2)已知椭圆a2b21(ab0)的一个焦点是 F(1,0)，若椭圆短轴的两个三等分点 M，N 与 F构成正三角形，求椭圆的方程x2y2解(1)若椭圆的焦点在 x 轴上，设方程为a2b21(ab0)，9x22椭圆过点 A(3,0)，a21，a3，2a32b，b1，方程为9y 1.y2x2若椭圆的焦点在 y 轴上，设椭圆方程为a2b21(ab0)，029y2x2椭圆过点 A(3,0)，a2b21，b3，又 2a32b，a9，方程为8191.x22y2x2综上所述，椭圆方程为9y 1 或8191.332(2)由FMN 为正三角形，则 c|OF|2|MN|23b1.b 3.a2b2c24.故椭圆方x2y2程为431.考向三椭圆几何性质的应用x22【例 3】(2011北京)已知椭圆 G：4y 1.过点(m,0)作圆 x2y21 的切线 l 交椭圆 G 于 A，B 两点(1)求椭圆 G 的焦点坐标和离心率；(2)将|AB|表示为 m 的函数，并求|AB|的最大值审题视点(1)由椭圆方程可直接求出 c，从而求出离心率(2)可设出直线方程与椭圆方程联立得一元二次方程，由弦长公式列出|AB|长的表达式从而求出|AB|的最大值解(1)由已知得，a2，b1，所以 c a2b2 3.c3所以椭圆 G 的焦点坐标为(3，0)，(3，0)，离心率为 ea2.(2)由题意知，|m|1.3 31，当 m1 时，切线 l 的方程为 x1，点 A，B 的坐标分别为1，此时|AB|3.2 2 当 m1 时，同理可得|AB|3.当|m|1 时，设切线 l 的方程为 yk(xm)ykxm，由x22y 1.42得(14k2)x28k2mx4k2m240.设 A，B 两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则4k2m248k2m|km|22x1x2，x x.又由 l 与圆 x y 1 相切，得1，1 214k214k2k21即 m2k2k21所以|AB|x2x12y2y121k x1x2 4x1x22 64k4m244k2m244 3|m|1k.2 214k2m2314k 2由于当 m1 时，|AB|3，所以|AB|因为|AB|4 3|m|，m(，11，)m234 3|m|4 332，且当 m 3时，|AB|2，所以|AB|的最大值为 2.m23|m|m|(1)求椭圆的离心率，其法有三：一是通过已知条件列方程组，解出 a，c 的值；二是由已知条件得出关于 a，c 的二元齐次方程，然后转化为关于离心率 e 的一元二次方程求解；三是通过取特殊值或特殊位置，求出离心率(2)弦长公式 l1k2|x1x2|1k2x1x224x1x2.【训练 3】(2012武汉质检)在 RtABC 中，ABAC1，如果一个椭圆通过 A，B 两点，它的一个焦点为点 C，另一个焦点在 AB 上，则这个椭圆的离心率为_解析设另一个焦点为 F，如图所示，|AB|AC|1，ABC 为直角三角形，2 211 24a，则 a4，设|FA|x，x12a，26c 2x2，124c2，c4，ea 6 3.2 1x 22a，考向四椭圆中的定值问题2【例 4】(2011重庆)如图，椭圆的中心为原点 O，离心率 e2，一条准线的方程为 x2 2.(1)求该椭圆的标准方程；(2)设动点 P 满足：OPOM2ON，其中 M、N 是椭圆上的点，直线 OM 与 ON 的斜率之1积为2.问：是否存在两个定点 F1，F2，使得|PF1|PF2|为定值？若存在，求 F1，F2的坐标；若不存在，说明理由c2a2x2y2222解(1)ea2，c2 2，解 a2，c 2，b a c 2，故椭圆的标准方程为421.2O(2)设 P(x，y)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则由 OPOMN得(x，y)(x1，y1)2(x2，y2)(x12x2，y12y2)，即 xx12x2，yy12y2.222因为点 M、N 在椭圆 x22y24 上，所以 x212y14，x22y24，2222222故 x22y2(x214x24x1x2)2(y14y24y1y2)(x12y1)4(x22y2)4(x1x22y1y2)204(x1x22y1y2)y1y21设 kOM，kON分别为直线 OM，ON 的斜率，由题设条件知 kOMkONx x2，1 2因此 x1x22y1y20，所以 x22y220.x2y2所以 P 点是椭圆1 上的点，2 52 102设该椭圆的左、右焦点为 F1，F2，则由椭圆的定义|PF1|PF2|为定值又因 c2 52 102 10，因此两焦点的坐标为 F1(10，0)，F2(10，0)本题考查椭圆方程的求法和椭圆中的定点、定值等综合问题，可先设出动点 P，利用设而不求的方法求出 P 点的轨迹方程，从而找出定点【训练 4】(2010安徽)如图，1已知椭圆 E 经过点 A(2,3)，对称轴为坐标轴，焦点 F1，F2在 x 轴上，离心率 e2.(1)求椭圆 E 的方程；(2)求F1AF2的角平分线所在直线 l 的方程x2y21c1解(1)设椭圆 E 的方程为a2b21(ab0)，e2，即a2，得a2c，得b2a2c23c2.x2y213椭圆方程可化为4c23c21.将 A(2,3)代入上式，得c2c21，解得 c2，x2y2椭圆 E 的方程为16121.3(2)由(1)知 F1(2,0)，F2(2,0)，直线 AF1的方程为 y4(x2)，即 3x4y60直线 AF2的方程为 x2.由点 A 在椭圆 E 上的位置知，直线 l 的斜率为正数设 P(x，y)为 l 上任一点，则|3x4y6|x2|.5若 3x4y65x10，得 x2y80(因其斜率为负，舍去)于是，由 3x4y65x10，得 2xy10，直线 l 的方程为 2xy10.规范解答 16怎样求解与弦有关的椭圆方程问题【问题研究】求椭圆的方程是高考的重中之重，几乎每年必考，有的是以选择题或填空题的形式出现，多数以解答题的形式出现虽然考向二中学习了求椭圆方程的方法，但在解答题中往往结合弦长等知识来求椭圆方程，难度中等偏上【解决方案】解决这类问题首先根据题设条件设出所求的椭圆方程，再由直线与椭圆联立，结合根与系数的关系及弦长公式求出待定系数x2y2【示例】(本题满分 12 分)(2011天津)设椭圆a2b21(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2.点 P(a，b)满足|PF2|F1F2|.(1)求椭圆的离心率 e；(2)设直线 PF2与椭圆相交于 A，B 两点，若直线PF2与圆(x1)2(y 3)216 相交于 M，N5两点，且|MN|8|AB|，求椭圆的方程第(1)问由|PF2|F1F2|建立关于 a、c 的方程；第(2)问可以求出点 A、B 的坐标或利用根与系数的关系求|AB|均可，再利用圆的知识求解解答示范(1)设 F1(c,0)，F2(c,0)(c0)，因为|PF2|F1F2|，所以ac2b22c.整理得cc11cc2a2a10，得a1(舍)，或a2.所以 e2.(4 分)(2)由(1)知 a2c，b 3c，可得椭圆方程为 3x24y212c2，直线 PF2的方程为 y 3(xc)3x24y212c2，A、B 两点的坐标满足方程组消去 y 并整理，得 5x28cx0.解得 x10，y 3xc.8x25c.(6 分)x10，得方程组的解为y1 3c，8x25c，3 3y25c.83 3，B(0，3c)，不妨设 A c，5c5所以|AB|5216823 35c c.(8 分)于是|MN|58|AB|2c.5c 3c|3 3 3c|3|2c|.(10 分)22圆心(1，3)到直线 PF2的距离 d3|MN|因为 d22242，所以4(2c)2c216.整理得 7c212c520.26x2y2得 c7(舍)，或 c2.所以椭圆方程为16121.(12 分)用待定系数法求椭圆方程时，可尽量减少方程中的待定系数(本题只有一个 c)，这样可避免繁琐的运算而失分1x2y2【试一试】已知直线 y2x2 和椭圆a2b21(ab0)相交于 A、B 两点，M 为线段 AB1的中点，若|AB|2 5，直线 OM 的斜率为2，求椭圆的方程尝试解答设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)2x1y21221，ab则x2y222a2b21，y2y1b2x1x2得：a2.x2x1y1y2b2x01y01kABa2y2.又 kOMx2，由得 a24b2.001y2x2，xy4b2b21222由得：x24x82b20，x1x24，x1x282b2.55522|AB|1k|x1x2|2x1x2 4x1x2216328b 28b2162 5.解得：b24.x2y2故所求椭圆方程为：1641.