高中数学 等差数列的教学设计教案.pdf

等差数列的教学设计等差数列的教学设计教学理念教学理念：数学教学是思维过程的教学，如何引导学生参与到教学过程中来，尤其是在思维上深层次的参与，是促进学生良好的认知结构，培养能力，全面提高素质的关键。数学教学中的探究式对培养和提高学生的自主性、能动性和创造性有着非常重要的意义。设计思想设计思想：本节借助多媒体辅助手段，创设问题的情境，让探究式教学走进课堂，保障学生的主体地位，唤醒学生的主体意识，发展学生的主体能力，塑造学生的主体人格，让学生在参与中学会学习、学会合作、学会创新。一、教材分析：一、教材分析：1、教学内容：高中数学必修第五模块第二章第二节，等差数列，两课时内容，本节是第一课时，研究等差数列的定义、通项公式的推导，借助生活中丰富的典型实例，让学生通过分析、推理、归纳等活动过程，从中了解和体验等差数列的定义和通项公式。2、教学地位:本节是第二章的基础，为以后学习等差数列的求和、等比数列奠定基础，是本章的重点内容。在高考中也是重点考察内容之一，并且在实际生活中有着广泛的应用，它起着承前启后的作用。同时也是培养学生数学能力的良好题材。等差数列是学生探究特殊数列的开始，它对后续内容的学习，无论在知识上，还是在方法上都具有积极的意义。3、教学重点：理解等差数列概念，探索并掌握等差数列的通项公式，会用公式解决一些简单的问题，体会等差数列与一次函数之间的关系。4、教学难点：对等差数列概念的理解及从函数、方程角度理解通项公式，概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法。二、学习者分析：二、学习者分析：高二学生已经具有一定的理性分析能力和概括能力，且对数列的知识有了初步的接触和认识，对数学公式的运用已具备一定的技能，已经熟悉由观察到抽象的数学活动过程，对函数、方程思想体会逐渐深刻。他们的思维正从属于经验性的逻辑思维向抽象思维发展，但仍需要依赖一定的具体形象的经验材料来理解抽象的逻辑关系。三、教学目标：三、教学目标：1、知识目标：理解等差数列定义，掌握等差数列的通项公式。2、能力目标：培养学生观察、归纳能力，在学习过程中，体会数形结合思想、归纳思想和化归思想并加深认识；通过概念的引入与通项公式的推导，培养学生分析探索能力，增强运用公式解决实际问题的能力。3、情感目标:通过个性化的学习增强学生的自信心和意志力。通过师生、生生的合作学习，增强学生团队协作能力的培养，增强主动与他人合作交流的意识。体验从特殊到一般，又到特殊的认知规律，培养学生勇于创新的科学精神。四、教法和学法的分析：四、教法和学法的分析：1、通过探究式教学方法充分利用现实情景，尽可能的增加教学过程的趣味性、实践性。利用多媒体课件和实例等丰富学生的学习资源，强调学生动手操作试验和主动参与，在教师的启发指导下，让学生自己去分析、探索，在探索过程中研究和领悟得出的结论，从而使学生即获得知识又发展智能的目的。2、在学法上，引导学生多角度，多层面认识事物，学会探究。教师是学生的学习的组织者、促进着、合作者，在本节课的备课和教学过程中，为学生的动手实践，自主探索与合作交流的机会搭建平台，鼓励学生提出自己的见解，学会提出问题解决问题，通过恰当的教学方式让学生学会自我调适，自我选择。五、教学媒体和教学技术的选用五、教学媒体和教学技术的选用多媒体计算机和几何画板通过计算机模拟演示，使学生获得感性知识的同时，为掌握理性知识创造条件，这样做，可以使学生有兴趣地学习，注意力也容易集中，符合教学论中的直观性原则和可接受性原则。本节课打破传统的一言堂的格局代之以人为本、民主、开放、特色和建立在信息网络平台上的现代教学格局。六六、教学程序：教学程序：（一）设置问题，引导发现形成概念师：看大屏幕。情景 1（播放奥运会女子举重场面）2008 年北京奥运会，女子举重共设置 7 个级别，其中较轻的 4 个级别体重组成数列（单位：kg）：48，53，58，63情景 2水库的管理员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，定期放水清库的办法清理水库中的杂鱼。如果一个水库的水位 18m，自然放水每天水位下降 2.5m，最低降至 5m。那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位组成数列（单位：m）18，15.5，13，105，8，55情景 3我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把利息加入本金计算下一期的利息。按照单利计算本利和的公式是：本利和=本金（1+利率存期）例如，按活期存入 10000 元，年利率是 0.72%，那么按照单利，5 年内各年末本利和分别是：如下表（假设 5 年既不加存款也不取款，时间年 初 本年 末 本且不扣利息税）金（元）利和各年末本利和（单位：元）（元）10072，10144，10216，10288，10360第 1 年1000010072师：思考上述各组数据反映了什么样的信息？第 2 年1000010144每行数有何共同特点？请同学们互相讨论。第 3 年1000010216（学生纷纷议论，有的几个人在一起商量）第 4 年1000010288（从宏观上:情景 1让学生体验成功申办奥运第 5 年1000010360会的喜悦心情，激发勇于拼搏的坚强意志；情景 2让学生认识到保护水资源，保护生态平衡的意识；情景 3倡导节约意识，纳税意识。）从微观上，数学研究的对象是数，我们抛开具体的背景，从表格中抽象出一般数列。a1a2a3a4a5a6485358631815.51310.585.51007210144102161028810360师：（启发学生）你能用数学语言来描述上述数列的共同特征吗？学生 1：后一项与它的前一项的差等于常数。师：反例：1，3，5，6，12，这样的数列特征和上述数列的特征一样吗？学生 1：不一样，要加上同一个常数。学生 2：每一项与它的前一项的差等于同一个常数。师：反例：1，3，4，5，6，7，这样的数列特征和上述数列的特征一样吗？学生 2：不一样，必须从第二项开始。学生 3：从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数。（教师把学生的回答写在黑板上，通过反例，使学生深刻理解几组数列的共同特征：同一个常数；从第二项起）师：能不能用数学语言表示？学生 4：anan1 d师：等价吗？学生 4：应加上（d 是常数）,n 2,nN*.(让学生充分讨论，注意文字语言与数学符号语言的转化的严谨性)师：对式子进行变形可得an an1d(d是常数），n 2,nN。这样的数列在生活中的例子，谁能再举几个？学生 5：某剧场前 8 排的座位数分别是 52，50，48，46，44，42，40，38.学生 6：全国统一鞋号中成年女鞋的各种尺码分别是21，21.5,22,22.5,23,23.5,24,24.5,25学生 7：马路边的路灯，相邻两盏之间的距离构成的数列。师：如何用数列表示？学生 8：设相邻两盏之间的距离为 a,该数列为a,a,a,a,，为常数列，即常数列都具有这种特征。（让学生举例，加深感性认识）师：满足这种特征的数列很多，我们有必要为这样的数列取一个名字？学生（共同）：等差数列。师：（学生叙述，板书定义）一般的，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，d 为公差，a1为数列的首相。*a2a1 d,a3a2 d,a4a3 d,.anan1 d(n 2,nN*)提出课题等差数列对定义进行分析，强调：同一个常数；从第二项起。注意对概念严谨性的分析。师：回到表格中，分别说出它们的公差。学生 9:依次是 d=7,d=1,d=8,d=-6,d=5,d=-2.5,d=72.师：在计算年末本利和的问题中求a6,a8时，能不能不按本利和=本金（1+利率存期）求而按数列的特征求呢？学生：若能求得通项公式，问题就很好解决。（再提出问题，引导发现求通项公式的必要性）（二）启发、引导推出等差数列的通项公式师：把问题推广到一般情况。若一个数列a1,a2,a3,.,an,.是等差数列，它的公差是 d，那么数列an的通项公式是什么？启发学生：（归纳、猜想）可用首相与公差表示数列中任意一项。学生 10：a2 a1 d即：a2 a1 da3a2 d即：a3 a2 d a1 2da4a3 d即：a4 a3 d a13d由此可得：an a1(n1)d师：从第几项开始归纳的？学生 10：第二项，所以 n2。师：n=1 时呢？学生 10：当 n=1 时，等式也是成立，因而等差数列的通项公式an a1(n 1)d（nN*）师：很好!（归纳、猜想，培养学生合理的推理能力）还有没有其他的推导方法？学生 11：还可用下面的方法归纳：an an1d an2d d an22d an3d 2d an33d.a1(n1)d当 n=1 时，等式也是成立，因而等差数列的通项公式an a1(n 1)d（nN*）师：我们把这种方法称为迭代法。大家按照该同学的思路推导一下。（把一个学生推导的情况用投影仪投在大屏幕上）还有其他的推导方法吗？（学生面露难色）启发：看方法一的第一个式子a2 a1 da3a2 da4a3 danan1 d有何规律？学生 12：可以用累加的方法，左边累加后得ana1，右边累加的 d+d+d+.+d共 n-1 个即ana1=d+d+d+.+d，ana1=（n-1）d，an a1(n 1)d师：总结通项公式的推导方法：递推归纳法；迭代归纳法；累差法。共同特点：利用观察、归纳、猜想的数学思想方法，它的合理性在以后学习的数学归纳法中可以得到证明。注意两点：1、对通项公式进行分析，通项公式中含有a1,d,n,an四个量，其中a1,d为基本量，当a1,d确定后，通项公式就确定了。若已知三个量，可用方程的思想求第四个量（即知三求一）。2、对通项公式变形，对任意的 p、qN+。在等差数列中，有ap=a1+(p-1)daq=a1+(q-1)d-有 ap-aq=(p-q)d，ap=aq+(p-q)d其中 p,q 关系可以有 pq，p=q，pq。通项公式的变形式 ap=aq+(p-q)d，请同学记熟，它在解题过程中经常被应用。（三）通项公式的应用大屏幕给出例题，由学生代表讲解例 1：（1）求等差数列 8，5，2的第 20 项解：由 a1=8，d=5-8=-3，n=20，等差数列的通项公式得a20=8+（20-1）（-3）=-49（2）-401 是不是等差数列-5，-9，-13的项？如果是，是第几项？解：由a1 5,d 9(5)4得数列通项公式为：an 5 4(n 1)由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n，使得-401=-5-4（n-1）成立，解之得 n=100，即-401 是这个数列的第 100 项。（方程思想的运用）例 2、已知数列的通项公式为 an=pn+q，其中 p，q 是常数，且 p0，那么这种数列是否一定是等差数列？如果是，其首项与公差是什么？师：如何分析题意？学生 13：由等差数列定义，要判定an是不是等差数列，只要看an-an-1（n2）是不是一个与 n 无关的常数就行了。（学生叙述，教师板书）解：取数列an中的任意相邻两项 an-1与 an（n2）。an-an-1=(pn+q)-p(n-1)+q=(pn+q)-(pn-q+q)=p，它是一个与 n 无关的常数，所以an是等差数列，且公差为 p。在通项公式中，令 n=1 得 a1=p+q，所以这个等差数列的首项是 p+q，公差是 p。师:数列的通项公式给出的是 an与 n 之间的一种关系，一个 n 都对应着一个 an，这与我们以前学过的什么内容类似？由本例得到什么结论？（引发学生联想、归纳，学生很自然会想到一次函数）学生 14：与一次函数内容类似，即 an与 n 之间的关系是一次函数的关系；由本例的结论可知，如果 an是关于 n 的一次函数，那么数列an是等差数列。师:本例题的逆命题，是否也成立？请同学们课下自己完成证明。它也可以作为证明数列an是等差数列的一种方法。那么一次函数的图象有什么特点？你能否作出等差数列的图象？（四）通项公式的图象在直角坐标系中作通项公式为 an=3n-5 的数列的图像，并观察图像有什么特点？用几何画板作图显示为下图：12108642-20-15-10-5-2-45101520-6-8-10-12师:由图归纳出等差数列通项公式的图象的特点。学生 14：公差不为零的等差数列的图象是直线 y=px+q 上的均匀排开的一群孤立的点。当 p=0 时，an=q，等差数列为常数列，此时数列的图象是平行 x 轴（或 x 轴）上的均匀公布的一群孤立点。在大屏幕上打出如下幻灯片：等差数列 an=pn+q 与一次函数 y=px+q 的比较不同点关连与相同点等差数列pR，nN+，p 是公（1）p0 时，数列 an=pn+q 图象所表示的an=pn+q差。点均匀分布在函数 y=px+q 图象上。（2）p0 时，数列为递增数列，函数为增一次函数p0，xR，p 是斜函数；p0 时，数列为递减数列，函y=px+q率。数为减函数。（五）、课时小结提出问题：这节课你学到了什么？教师鼓励学生积极回答，答不完整的没有关系，其它同学补充。以此培养学生的口头表达能力，归纳概括能力。并用多媒体把学生的归纳用一张表展示出来。学生 15：等差数列定义。即anan1 d(n2)或 an+1-an=d（nN）等差数列通项公式ana1(n 1)d(nN*)推导出公式：ap=aq+(p-q)d等差数列 an=pn+q 的图象是直线 y=px+q 上的均匀排开的一群孤立的点。(六)、课后作业（一）阅读作业：通读教材，复习巩固，思考等差数列的通项公式的求法；（二）书面作业：课本 45 页习题 2.2 组 A1，2，3，4 题（三）弹性作业：模仿等差数列的定义，思考有没有“等和数列”.如果有，请探究它的定义、通项公式和相关的性质.七、板书设计七、板书设计:等差数列一、定义公式推导过程1anan1 d三、等差数列与一次函数（n2）二、通项公式1an a1(n 1)d2ap=aq+(p-q)d八、八、课后反思：课后反思：1、探究式教学走进课堂为学生的学习提供了多样化的活动方式，激发学生的兴趣，让学生积极参与。学生通过观察、猜想、推理等丰富多彩的活动达到了知识的主动构建与理解。2、渗透数学思想方法中在平时在数学课的教学中应该教会学生遇到具体问题时那种思考问题的方式，和解决问题的方法。本节课在探究解决问题的途径，引导学生运用观察归纳、猜想的数学思想方法。因此在平时教学时，要注意渗透数学思想方法的教学。3、信息技术走进课堂充分利用多媒体手段，以轻松愉快的动画演示，化抽象为形象，创设了直观的课堂教学效果，化解了知识的难点。*4、课堂上教师怎样引导学生是值得我们深思的一个问题，在完成知识拓展时，课堂上能不能很好的完成题目的变化，要经教师的指导，学生才能逐渐地掌握方法。5、作业的可选择性使学生能根据自己的能力选择完成。感悟：轻松愉快的课堂是学生思维发展的天地，讨论、合作交流的主阵地，思感悟：轻松愉快的课堂是学生思维发展的天地，讨论、合作交流的主阵地，思想品德教育的好场所，因此新教育理念、新课改下的新课堂需要教师和学生一想品德教育的好场所，因此新教育理念、新课改下的新课堂需要教师和学生一起起来来培培育育，一一起起来来创创造造，一一起起来来开开拓拓。