高中数学2.1空间点、直线、平面之间的位置关系(2)第2课时教案新人教A版必修2.pdf

2.1.22.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系（第空间中直线与直线之间的位置关系（第 2 2 课时）课时）设计者：田许龙设计者：田许龙教学内容教学内容空间中直线与直线之间的位置关系空间中直线与直线之间的位置关系1.1.掌握平行公理，掌握等角定理，会利用平行公理证明平掌握平行公理，掌握等角定理，会利用平行公理证明平行关系；行关系；知识与技能知识与技能2.2.掌握两条异面直线所成角的定义及垂直，会求异面直线掌握两条异面直线所成角的定义及垂直，会求异面直线所成的角所成的角.通过对空间两条直线的三种位置关系研究，培养学生学会通过对空间两条直线的三种位置关系研究，培养学生学会教学目标教学目标过程与方法过程与方法观察、分析、推理、论证的思维方法，培养学生空间想象观察、分析、推理、论证的思维方法，培养学生空间想象能力，领悟数形结合的数学思想能力，领悟数形结合的数学思想.通过对生活中事物联系课本知识，培养学生主动探索、勇通过对生活中事物联系课本知识，培养学生主动探索、勇情感、情感、态度与价态度与价于发现的求知精神；养成细心观察、认真分析、善于总结于发现的求知精神；养成细心观察、认真分析、善于总结值观值观的良好思维习惯的良好思维习惯.教学重点教学重点异面直线所成的角异面直线所成的角教学难点教学难点异面直线所成的角异面直线所成的角教学方法教学方法自主学习、分组讨论法、师生互动法。自主学习、分组讨论法、师生互动法。教学准备教学准备导学、课件。导学、课件。教什教什教学步骤教学步骤么么异面异面直线直线一、温故一、温故的定的定（情境导（情境导入）入）义及义及判定判定新课引入，仔细阅读课本新课引入，仔细阅读课本 46-4746-47 页，页，结合课本知识，完成下述概念结合课本知识，完成下述概念.课件课件 1 1内容内容在同一平面内两直线的位置关系是：在同一平面内两直线的位置关系是：平行、相交、平行、相交、重合重合.(1(1）定义：不同在任何一个平面内的）定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线；两条直线叫做异面直线；同学们，同学们，我们已经学习了在我们已经学习了在空间两条直线的位置关系，空间两条直线的位置关系，特别是异面直线的概念，特别是异面直线的概念，我我们知道，们知道，在平面上两条直线在平面上两条直线所成的角的求法，所成的角的求法，那么，那么，在在空间呢？也就是说异面直空间呢？也就是说异面直线所成的角怎么求呢？在线所成的角怎么求呢？在平面上，我们知道等角定平面上，我们知道等角定怎样教怎样教如何组织教学如何组织教学(5(5 分钟分钟)定理定理（2 2）判定定理：判定定理：连平面内一点与平面连平面内一点与平面外一点的直线与平面内不过此点的直外一点的直线与平面内不过此点的直线是异面直线线是异面直线.理，理，在空间他还成立吗？大在空间他还成立吗？大家看课本家看课本 46-4746-47 页，页，要求大要求大家掌握等角定理、家掌握等角定理、异面直线异面直线所成的角；所成的角；看多媒体看多媒体（出示（出示课件课件 1 1）平行平行公理、公理、等角等角定理定理看书两分钟，了解平行公理；看书两分钟，了解平行公理；掌握等角定理掌握等角定理.出示课件出示课件 2-12-1平行公理与等角原理平行公理与等角原理公理公理 4 4：平行于同一条直线的两条直：平行于同一条直线的两条直线线平平行行.符符号号表表述述：同学们，同学们，现在看完书并解决现在看完书并解决以下几个问题：以下几个问题：(1)(1)叙述平行公理？叙述平行公理？(2)(2)叙述等角定理？叙述等角定理？一会儿找学生回答一会儿找学生回答.刚刚才才几几个个同同学学回回答答的的对对吗？请讨论吗？请讨论.a/b,b/ca/c.平行公理表明：空间内平行于同一条平行公理表明：空间内平行于同一条1.1.注意：平行线具有传递注意：平行线具有传递直线的所有直线相互平行，因此它给直线的所有直线相互平行，因此它给性；性；出了判定空间内两条直线平行的一个出了判定空间内两条直线平行的一个二、知新二、知新（自主学（自主学习合作探习合作探究展示能究展示能力）力）(35(35 分钟分钟)2.2.注意：注意：如果一个角的两边如果一个角的两边依据依据.与另一个角的两边分别平与另一个角的两边分别平等角定理：如果一个角的两边与另一等角定理：如果一个角的两边与另一行，行，那么这两个角相等或互那么这两个角相等或互个角的两边分别平行，那么这两个角个角的两边分别平行，那么这两个角补。补。是相等还是互补主要看是相等还是互补主要看相等或互补相等或互补.角的方向角的方向现在我们看多媒体现在我们看多媒体（出示课（出示课件件 2-12-1）异面异面直线直线所成所成的角的角学生思考空间两条直线的位置关系，学生思考空间两条直线的位置关系，在几何体中判断两直线是否是异面直在几何体中判断两直线是否是异面直线线.看例题寻找做题思路，看例题寻找做题思路，教师巡回指教师巡回指导，然后小组讨论，之后，各个学习导，然后小组讨论，之后，各个学习小组选一名学生代表回答，之后老师小组选一名学生代表回答，之后老师出示课件出示课件 2-12-1.异面直线所成的角异面直线所成的角已知两条异面直线已知两条异面直线a,b，经过空间任一经过空间任一同学们，同学们，前边我们学习了异前边我们学习了异面直线的概念和平行公理面直线的概念和平行公理和等角定理，和等角定理，那么异面直线那么异面直线所成的角怎样求呢？它的所成的角怎样求呢？它的范围是什么呢？请大家独范围是什么呢？请大家独立思考，然后找同学回答。立思考，然后找同学回答。回答的很好，回答的很好，大家注意：大家注意：点点O作直线作直线a/a,b/b，把，把a,b所成所成的锐角的锐角（或直角）（或直角）叫异面直线叫异面直线a,b所成所成的角的角（或夹角）（或夹角）.根据等角原理，根据等角原理，a,b所成的角的大小与点所成的角的大小与点O的选择无关的选择无关（有关还是无关）（有关还是无关），为了简便，为了简便，点点O通通常取在异面直线的一条上常取在异面直线的一条上.异面直线所成的角的范围为异面直线所成的角的范围为(0,90，如果两条异面直线所成的角是直角，如果两条异面直线所成的角是直角，1.1.异面直线所成的角一定异面直线所成的角一定是锐角或直角；是锐角或直角；2.2.要想得到异面直线所成要想得到异面直线所成的角必须把两条异面直线的角必须把两条异面直线平移到一个平面内，平移到一个平面内，平移的平移的方法有：方法有：（1 1）.在两条异面直线的其在两条异面直线的其则叫两条异面直线垂直，记作则叫两条异面直线垂直，记作a b.中一条上找一个点，中一条上找一个点，过这个过这个点做另一条直线的平行线；点做另一条直线的平行线；（2 2）.在空间找一点分别做在空间找一点分别做两异面直线的平行线两异面直线的平行线.请看多媒体（出示课件请看多媒体（出示课件2-12-1）例题例题解答解答学生看导学案完成例题，难度大的小学生看导学案完成例题，难度大的小组讨论，完成导学内容，并派代表说组讨论，完成导学内容，并派代表说出小组结论，教师参与小组讨论指导出小组结论，教师参与小组讨论指导个别小组或学生并汇总结果并反馈个别小组或学生并汇总结果并反馈.之后，老师出示课件之后，老师出示课件 2-22-2前面我们学习了异面直线前面我们学习了异面直线及异面直线的判断方法以及异面直线的判断方法以及异面直线所成的角的求及异面直线所成的角的求法，法，接下来大家看导学案的接下来大家看导学案的例题并给出解答例题并给出解答.例题例题:如图中，正方体如图中，正方体ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1，大家注意：大家注意：第一问只需在异第一问只需在异E E、F F分别是分别是ADAD、AAAA1 1的中点的中点.（1 1）求直线）求直线ABAB1 1和和CCCC1 1所成的角的大所成的角的大面直线的一条直线上取一面直线的一条直线上取一点点B B1 1做做CCCC1 1的平行线，其实的平行线，其实小；小；（2 2）求直线）求直线ABAB1 1和和EFEF所成的角的所成的角的图中图中BBBB1 1就是它的平行线，就是它的平行线，大小大小.则直线则直线ABAB1 1与直线与直线BBBB1 1所成所成解：（解：（1 1）如图连）如图连DCDC1 1，DCDC1 1ABAB1 1，的角就是所求的直线的角就是所求的直线ABAB1 1和和DCDC1 1和和CCCC1 1所成的锐角所成的锐角CCCC1 1D D就是就是CCCC1 1所成的角。第二问就是所成的角。第二问就是在空间找一点分别做两异在空间找一点分别做两异面直线的平行线求得，面直线的平行线求得，请同请同学们认真体会学们认真体会.看多媒体（出示课件看多媒体（出示课件 2-22-2）ABAB1 1和和CCCC1 1所成的角所成的角.CCCC1 1D D=45，=45，ABAB1 1和和CCCC1 1所成所成的角的角 4545.（2 2）如图，连结）如图，连结DADA1 1、A A1 1C C1 1，EFEFA A1 1D D，ABAB1 1DCDC1 1，A A1 1DCDC1 1是直是直线线ABAB1 1和和EFEF所成的角所成的角.A A1 1DCDC1 1是是 等等 边边 三三 角角 形形，A A1 1DCDC1 1=6=60，即直线0，即直线ABAB1 1和和EFEF所成的所成的角是角是 6060.巩固巩固提高提高学生先独立思考完成导学案，之后小学生先独立思考完成导学案，之后小组交流老师参与其中指导个别组和学组交流老师参与其中指导个别组和学生。然后教师出示课件生。然后教师出示课件 2-32-3，学生，学生与课件内容对比，订正自己思路和步与课件内容对比，订正自己思路和步骤。骤。1.1.空间四边形空间四边形ABCDABCD中，中，ABAB=CDCD且且ABAB接下来，接下来，考验大家的时候到考验大家的时候到了，了，请同学们独立思考完成请同学们独立思考完成题目，题目，之后学习小组互相交之后学习小组互相交流，流，看自己能否得到准确答看自己能否得到准确答案案.这两个题目有一定难度，这两个题目有一定难度，要要与与CDCD所成的角为所成的角为30，E E、F F分别是分别是BCBC、认真思考认真思考.ADAD的中点，的中点，求求EFEF与与ABAB所成角的大小所成角的大小.分析分析:1.:1.要求要求EFEF与与ABAB所成所成【解答】【解答】取取ACAC的中点的中点G G，连接连接EGEG、FGFG，角，角，必须把两条异面直线平必须把两条异面直线平则则EGEG/ABAB，GFGF/CDCD，且由，且由ABAB=CDCD知知移到一个平面内，利用点移到一个平面内，利用点E EEGEG=FGFG，GEFGEF（或它的补角）为（或它的补角）为E EF F是是ABAB的中点，的中点，取取 A AC C的中点的中点与与ABAB所成的角，所成的角，EGFEGF（或它的补角）（或它的补角）G G，连接连接EGEG、FGFG则则GEFGEF（或（或为为ABAB与与CDCD所成的角所成的角.它的补角）它的补角）为为EFEF与与ABAB所成所成这里必须注意分两种这里必须注意分两种ABAB与与CDCD所成的角为所成的角为30，EGFEGF的角，的角，=30或或150.由由EGEG=FGFG知知 EFGEFG为等腰为等腰三角形，当三角形，当情况讨论，从而得到情况讨论，从而得到EFEF与与ABAB所成的角为所成的角为15或或75.EGFEGF=30时，时，GEFGEF=EGFEGF=75；2.2.这个题目是已知两条异这个题目是已知两条异当当EGFEGF=150时，时，GEFGEF=15。故。故EFEF面直线所成的角，面直线所成的角，需要把它需要把它与与ABAB所成的角为所成的角为15或或75.2 2、已知异面直线、已知异面直线a a和和b b所成的角为所成的角为们平移到一个平面内，们平移到一个平面内，在平在平面内任取一点面内任取一点P P,过点过点P P分分50，P P为空间一定点，则过点为空间一定点，则过点P P且与且与别作做两条异面直线的平别作做两条异面直线的平这样在一个平面内它这样在一个平面内它a a、b b所成角都是所成角都是30的直线有且仅有的直线有且仅有行线，行线，（）.们所成的角是们所成的角是 50，要得50，要得 A.A.1 1 条条 B.B.2 2 条条 C.C.3 3 条条 D.D.到过点到过点P P且与且与a a、b b所成角所成角4 4 条条都是都是 3030的直线有两条的直线有两条.【解】【解】过过P P作作aa a，bb b，若若P Pa a，好，好，请同学们看多媒体请同学们看多媒体（课课则取则取a a为为a，若若P Pb b，则取则取b b为为b 这这件件 2-32-3内容）内容）：时时a，b相交于相交于P P点，它们的两组对点，它们的两组对顶角分别为顶角分别为50和和130.记记a，b所确定的平面为所确定的平面为 ，那，那么在平面么在平面 内，内，不存在与不存在与a，b都成都成30的直线的直线过点过点P P与与a，b都成都成30角的直角的直线必在平面线必在平面 外，这直线在平面外，这直线在平面 的射影是的射影是a，b所成对顶角的平分所成对顶角的平分线线 其中射影是其中射影是50对顶角平分线的直对顶角平分线的直线有两条线有两条l l和和l，射影是，射影是130对顶角对顶角平分线的直线不存在故答案选平分线的直线不存在故答案选 B.B.课课堂堂学生看书本学生看书本4848页练习题的页练习题的2 2学生独立学生独立大家看课本大家看课本 4848 页复习题的页复习题的2 2，独立思考后把答案写在，独立思考后把答案写在书上，书上，一会儿找几个同学分一会儿找几个同学分别说出答案别说出答案.很好！很好！三、总结三、总结总结、总结、学习总结：学习总结：提醒学生对本节课所学提醒学生对本节课所学（归纳总（归纳总结课堂检结课堂检测）测）(4(4 分钟分钟)布置布置作业作业内容进行总结，内容进行总结，1.1.对学生出现的问题对学生出现的问题进行点拨；进行点拨；2.2.强调本节课的重难点强调本节课的重难点.（1 1）异面直线的判定提醒学生注意）异面直线的判定提醒学生注意同学们，同学们，这节课我们共同学这节课我们共同学习了：习了：异面直线的概念和判异面直线的概念和判定定理以及平行公理和等定定理以及平行公理和等角定理，角定理，特别是学习了异面特别是学习了异面直线所成的角的求法，直线所成的角的求法，大家大家练习：练习：思考解决，后同桌交流，提问学生并思考解决，后同桌交流，提问学生并师生一起得出准确答案师生一起得出准确答案.判断的方法，客观题中可以使用判定判断的方法，客观题中可以使用判定定理进行解决；定理进行解决；（2 2）利用几何作图求异面直线所成）利用几何作图求异面直线所成角时遵循的“一作、二证、三求”的角时遵循的“一作、二证、三求”的原则，在作异面直线所成角时注意恰原则，在作异面直线所成角时注意恰当的对直线进行平移；当的对直线进行平移；（3 3）证明直线平行时，）证明直线平行时，注意提醒学生注意提醒学生寻找合适的中介直线，利用平行公理寻找合适的中介直线，利用平行公理进行证明进行证明.教师出示课件教师出示课件 3 3使全体学生记忆使全体学生记忆校对自己的总结校对自己的总结.根据例题和练习题总结一根据例题和练习题总结一下异面直线所成的角的求下异面直线所成的角的求法法.好，看多媒体（出示课件好，看多媒体（出示课件3 3），异面直线的判定要注，异面直线的判定要注意判断的方法，意判断的方法，客观题中可客观题中可以使用判定定理进行解决；以使用判定定理进行解决；1.1.利用几何作图求异面直利用几何作图求异面直线所成角时遵循的“一作、线所成角时遵循的“一作、二证、三求”的原则，在作二证、三求”的原则，在作异面直线所成角时注意恰异面直线所成角时注意恰当的对直线进行平移；当的对直线进行平移；2.2.证明直线平行时，证明直线平行时，注意提注意提醒学生寻找合适的中介直醒学生寻找合适的中介直线，利用平行公理进行证线，利用平行公理进行证明明.和你的总结一样吗！和你的总结一样吗！布置布置课后课后四、作业四、作业提出提出（布置作（布置作拓展拓展业）业）问题。问题。(1(1 分钟分钟)适当的布置课后作业适当的布置课后作业.出示课件出示课件 4 4同学们，同学们，根据我们今天学习根据我们今天学习预习下一课空间中直线与平面之间预习下一课空间中直线与平面之间的内容，的内容，课后完成作业：课后完成作业：课课后习题后习题 5151 页页 2.1A2.1A 组第组第 4 4；B B 组的第组的第 1 1 题小题写在作业题小题写在作业本上本上.同时思考今天的拓展问题，同时思考今天的拓展问题，将你的答案写在作业本上将你的答案写在作业本上.预习下一课时预习下一课时 空间中直线空间中直线与平面之间的位置关系与平面之间的位置关系作业，作业，的位置关系的位置关系拓展问题：结合例题和练习题，思考拓展问题：结合例题和练习题，思考异面直线所成的角的求法异面直线所成的角的求法.