高考专项训练-二项分布、超几何分布.pdf
假期集训 高中数学专题专题:超几何分布与二项分布超几何分布与二项分布 知识点知识点 关键是判断超几何分布与二项分布判断一个随机变量是否服从超几何分布,关键是要看随机变量是否满足超几何分布的特征:一个总体(共有N个)内含有两种不同的事物A(M个)、B(N M个),任取n个,其中恰有X个A.符合该条件的即knkCMCNM可断定是超几何分布,按照超几何分布的分布列P(X k)（k 0,1,2,nCN进行处理就可以了.,m）二项分布必须同时满足以下两个条件:在一次试验中试验结果只有A与A这两个,且事件A发生的概率为p,事件A发生的概率为1 p；试验可以独立重复地进行,即每次重复做一次试验,事件A发生的概率都是同一常数p,事件A发生的概率为1 p.典型例题典型例题1 1、某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每一件一等品都能通过检测，每一件二等品通过检测的概率为2.现有 10 件产品，其中 6 件是一等品，4 件是二等品.3()随机选取 1 件产品，求能够通过检测的概率；()随机选取 3 件产品，其中一等品的件数记为X，求X的分布列；()随机选取 3 件产品，求这三件产品都不能通过检测的概率.【解析】【解析】（）设随机选取一件产品，能够通过检测的事件为A1 分事件A等于事件“选取一等品都通过检测或者是选取二等品通过检测”2 分642134 分1010315()由题可知X可能取值为 0,1,2,3.3021C4C6C4C631,P(X 1)P(X 0)3,3C1030C1010p(A)1203C4C61C4C1P(X 2)3,P(X 3)36.8 分C102C106故X的分布列为0123X9 分1311P301026()设随机选取 3 件产品都不能通过检测的事件为B10 分事件B等于事件“随机选取3 件产品都是二等品且都不能通过检测”所以，P(B)1131.13 分()3038102 2、某地区对 12 岁儿童瞬时记忆能力进行调查,瞬时记忆能力包括听觉记忆能力与视觉记忆能力.某班学生共有 40 人,下表为该班学生瞬时记忆能力的调查结果.例如表中听觉记忆能力为中等,且视觉记忆能力偏高的学生为 3 人.视觉视觉记忆能力偏低中等偏高超常听觉偏低0751听觉b中等183记忆a偏高201能力超常0211由于部分数据丢失，只知道从这40 位学生中随机抽取一个,视觉记忆能力恰为中等,且听觉记忆能力为第 1 页 共 4 页假期集训 高中数学2.5（）试确定a、b的值；（）从40 人中任意抽取 3 人,设具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的学生人数为,求随机变量的分布列.【解析】【解析】（）由表格数据可知，视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上的学生共有(10 a)人.记“视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上”为事件A，10 a2则P(A)，解得a 6，从而b 40(32 a)4038 2.4053（）由于从 40 位学生中任意抽取 3 位的结果数为C40,其中具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的学生共 24 人,从 40 位学生中任意抽取 3 位,其中恰有k位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏k3kC16高或超常的结果数为C24，所以从40 位学生中任意抽取 3 位,其中恰有k位具有听觉记忆能力或视中等或中等以上的概率为k3kC24C16觉记忆能力偏高或超常的概率为P(k)(k 0,1,2,3).的可能取值为 0、1、2、3.3C4003122130C24C16C24C16C24C16C24C161472552253P(1)P(2)P(3)因为P(0),，3333C40247C40247C401235C401235所以的分布列为01231472552253P247247123512353 3、在某校教师趣味投篮比赛中,比赛规则是:每场投 6 个球，至少投进 4 个球且最后 2 个球都投进者获奖；否则不获奖.已知教师甲投进每个球的概率都是23（）记教师甲在每场的6 次投球中投进球的个数为X，求 X 的分布列及数学期望；（）求教师甲在一场比赛中获奖的概率；（）已知教师乙在某场比赛中，6 个球中恰好投进了 4 个球，求教师乙在这场比赛中获奖的概率；教师乙在这场比赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中获奖的概率相等吗？【解析】【解析】（）X 的所有可能取值为 0，1，2，3，4，5，6.依条件可知 XB(6，2).3 2P(X k)C 3k6k1306k(k 0,1,2,3,4,5,6)123456所以 X 的分布列为：XP1926472972912916所以EX(01112260316042405192664)=4.72972922或因为 XB(6，)，所以EX 6 4.即 X 的数学期望为 4331224125263221.（）设教师甲在一场比赛中获奖为事件A，则P(A)C4()()C4()()333338132.答：教师甲在一场比赛中获奖的概率为81242A4A42C42（）设教师乙在这场比赛中获奖为事件B，则P(B).(此处为会更好!因为样本空64A65C652间基于:已知 6 个球中恰好投进了 4 个球)即教师乙在这场比赛中获奖的概率为.5240729第 2 页 共 4 页17291272960729160729假期集训 高中数学23232，所以教师乙在这场比赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中获奖的概率不相等580814 4、为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者.从符合条件的500名志愿者中随机抽样100名志愿者的年龄情况如下表所示显然（）频率分布表中的、位置应填什么数据？并在答题卡中补全频率分布直方图（如图），再根据频35岁的人数；率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在30，）（）在抽出的100名志愿者中按年龄再采用分层抽样法抽取20人参加中心广场的宣传活动，从这20人中选取2名志愿者担任主要负责人，记这2名志愿者中“年龄低于30岁”的人数为X，求X的分布列及数学期望频率分组组距频数频率（单位：岁）20,2550.05025,300.20030,353535,40300.30040,45100.100202025253030353540404545年龄年龄 岁岁合计1001.00【解【解析】析】（）处填20，处填0.35；补全频率分布直方图如图所示.频率500名志愿者中年龄在30,35组距的人数为0.35500 175人6 分（）用分层抽样的方法，从中选取20人,则其中“年龄低于30岁”的有5人，“年龄不低于30岁”的有15人7 分故X的可能取值为0，1，2；2C1521P(X 0)2，C203811C15C515C522，11 分P(X 1)2，P(X 2)2202025253030353540404545年龄年龄 岁岁C2038C2038所以X的分布列为：0X1221152P3838382115211213 分EX 038383825 5、为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售.已知某产品第一轮检测不合格的概率为检测不合格的概率为1，第二轮61，两轮检测是否合格相互没有影响.10（）求该产品不能销售的概率；（）如果产品可以销售，则每件产品可获利40 元；如果产品不能销售，则每件产品亏损80 元（即获利-80 元）.已知一箱中有产品 4 件，记一箱产品获利 X 元，求 X 的分布列，并求出均值E(X).【解析】【解析】（）记“该产品不能销售”为事件A，则P(A)1(1)(1第 3 页 共 4 页1611).104假期集训 高中数学1.4 分4（）由已知，可知 X 的取值为320,200,80,40,160.5 分1113331，P(X 200)C4()，P(X 320)()44256446413273327231，P(X 40)C4()，P(X 80)C4()2()2441284464381.10 分P(X 160)()44256所以，该产品不能销售的概率为所以 X 的分布列为XP-320-200-804016012563642712827648125611 分E(X)320112727812008040160 40，故均值 E(X)为 40.12 分25664128642566 6、张先生家住 H 小区，他在 C 科技园区工作，从家开车到公司上班有 L1，L2两条路线（如图），L1路线上有 A1，A2，A3三个路口，各路口遇到红灯的概率均为红灯的概率依次为1；L2路线上有 B1，B2两个路口，各路口遇到2A1HB1033，45A2L1L2A3CB2（）若走 L1路线，求最多遇到 1 次红灯的概率；（）若走 L2路线，求遇到红灯次数X的数学期望；（）按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助张先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由【解析】【解析】（）设走 L1路线最多遇到 1 次红灯为 A 事件，则P(A)=C3()C3()所以走 L1路线，最多遇到 1 次红灯的概率为12311212214 分212（）依题意，X的可能取值为 0，1，25 分339331333398 分P(X=0)=(1)(1)，P(X=1)=(1)(1)，P(X=2)=45204510454520故随机变量X的分布列为：012X199P10202019927EX 012 10 分102020201（）设选择 L1路线遇到红灯次数为Y，随机变量Y服从二项分布，YB(3,)，213所以EY 312 分因为EX EY，所以选择 L2路线上班最好14 分22第 4 页 共 4 页
