零点问题找点的技巧和模型.pdf
零点区间的寻找技巧零点区间的寻找技巧方法一：直接放缩法。成功关键：在目标区间上找到一个合适的逼近函数. 【示例】证明：当10ae时， lnf xxax有两个零点.分析：极值点为1xa（大于e） ，11ln10faa ，所以需要在左右两侧各找一个函数值小于零的点. 因为ln1xx，要使得ln0 xax，只需要10 xax ，即11xa，考虑到10ae，所以11,11eae，所以左侧可取： 10fa ， 111ln1011111aafaaaaa ； 另一方面：因为ln1xx x或1ln1xxxx，要使得ln0 xax，只需要0 xax，即21xa，所以右侧可取： 2211111ln0faaaaaaa . 方法二：在特定条件下进行放缩。成功关键：找到的点一定要在特定的条件下. 【示例】已知2a ， 22112xf xxxeaxx，试找一个00 x 使得00fx. 分析：因为1xex，要利用它来放缩，还需要考虑因式21xx的正负. 要使得 221120 xf xxxeaxx， 只需2221011120 xxxxxaxx ， 即2150213xxa，因此取051, 312xa即可使得00f x. 或写得好看一点，取01, 31xa也能符合要求.方法三：目测。成功关键：数感与大胆. 【示例】证明：当ae时， xf xeax有两个零点. 分析：极值点为lnxa（大于1） ，l n1 l n0faaa，所以需要在左右两侧各找一个函数值大于零的点. 左侧，自变量越小，成功的可能性越高，则可找： 1110afea ， 010f ，110fae. 右侧，自变量越大，成功的可能性越高，则可找： 2ln2ln2 ln2ln0afaeaaa aa， 20af aea. 方法四：分而治之。成功关键：对乘积式的每个因式进行适当放缩. 【示例】证明：当0a 时， 221xf xxea x有两个零点.分析：极值点为1x ， 10fe ， 20fa，难点是在 1 的左侧找一个函数值大于零的点，显然自变量越小越容易成功，要使得2210 xxea x，即212xa xx e，只需要满足 212xaexx ， 即取b满足152b且lnba即可使得 0f b . 很明显，上述拆分已经达到目的，但是结果还可以从视觉上优化： 优化：弱化212xx的解，也就是取1b 且lnba也可使得 0f b . 优化：为了使得解集更好看，配凑一下系数，使得该二次不等式常数项为 0，即 22212xaexx， 所以，取b满足0b 且ln2ab 即可使得 0f b .（这就解释了 2016 年全国卷标准答案中找点的思路） 方法五：分析与构造。成功关键：分析零点区间随参数变化的趋势，构造与之相匹配的代数式作为区间端点. 【示例】证明：当20ae时， lnf xaxx有两个零点.分析：极值点为21xe（接近 0） ，2120faee，显然 10fa，难点是在21e1 的左侧找一个函数值大于零的点，显然点应满足如下几个条件：始终为正数；既能开根，也能取对数；当a越小时，它也随之变小，并且能无限趋于零.从条件来看，我们应该取指数的形式，且最好为偶次幂，从条件来看，我们找的指数当趋于 0 时应趋于负无穷，所以可取反比例函数的形式或双撇函数的形式，经过尝试与调整，找可找到如下的点： 4224404aaaafeaaaaea. 附：常用放缩公式 第一组：对数放缩 （放缩成一次函数）ln1xx，lnxx，ln 1xx，lnxxe.（放缩成双撇函数）11ln12xxxx，11ln012xxxx， 1ln1xxxx，1ln01xxxx，（放缩成二次函数）2ln xxx，21ln 1102xxxx ，21ln 102xxxx（放缩成类反比例函数）1ln1xx ，21ln011xxxx，2ln102xxxxln 11xxx，21ln11xxxx，2ln 102xxxx第二组：指数放缩（放缩成一次函数）1xex，xex，xeex， （放缩成类反比例函数）101xexx，10 xexx ，（放缩成二次函数）2xex，21102xexxx ， 第三组：三角函数放缩 sintan0 xxx x，21sin2xxx，22111cos1sin22xxx . 几个经典函数模型 经典模型一：经典模型一：ln xyx或或lnxyx. 【例 1】讨论函数 lnf xxax的零点个数.（1）1ae时，无零点. 1fxax， max11ln10f xfaa . （2）1ae时，1 个零点. 11fxxe， maxln10f xf ee . （3）当10ae时，2 个零点. 10fa （目测） ，111ln1011111aafaaaaa ，其中111ea.（放缩） 10f eea . 2211111ln0faaaaaaa ，其中221eea.（用到了1ln1xxxx）（4）当0a 时，1 个零点. 10fxax，单调递增. 10fa ， 1122111110aaaaafeaaeaaaaeea. 10aaaf eaaeae. 【变式】 （经过换元和等价变形之后均可以转化到例 1： lnf xxax） ：1. 讨论 lnf xxm x的零点个数（令xt，2ma） ；2. 讨论 lnf xxmx的零点个数（令1am） ；3. 讨论 lnf xxxmx的零点个数（考虑 f xg xx） ；4. 讨论 ln xf xmxx的零点个数（考虑 g xx f x，令32tx，32ma） ；5. 讨论 2lnf xxmx的零点个数（令2tx，2ma） ；6. 讨论 xf xaxe的零点个数（令xet）.经典模型二：经典模型二：xeyx或或xeyx【例 2】讨论函数 xf xeax的零点个数.（1）0a 时，1 个零点. 0 xfxea， xf xeax单调递增. 且 010fa ，1110afea ，所以在1,0a上有一个零点； （2）0a 时，无零点. 0 xf xe恒成立；（3）0ae时，无零点. minln1 ln0f xfaaa； （4）ae时，2 个零点. 1110afea ， 10fea，2ln2ln20faa aaa e.【变式】 （经过换元和等价变形之后均可以转化到例题 2： xf xeax） ：1. 讨论 2xf xemx的零点个数（令2xt，2ma） ；2. 讨论 xxemf xxe的零点个数（去分母后与 1 等价） ； 3. 讨论 xf xem x的零点个数（移项平方后与 1 等价） ； 4. 讨论 2xf xemx的零点个数（移项开方后换元与 1 等价） ； 5. 讨论 1xf xemx的零点个数（乘以系数 e，令ema） ；6. 讨论 ln xfxmxx的零点个数（令txe，转化成 2） 7. 讨论 1xf xemxm的零点个数（令1xt ，2mae） ；经典模型三：经典模型三：lnyxx或或xyxe【例】讨论函数 lnafxxx的零点个数. （1）0a 时，1 个零点. 20 xafxx， lnafxxx单调递增. 10fa ，11ln 110111aafaaaaa . （2）0a 时，1 个零点（01x ）. （3）1ae 时，无零点. 2xafxx， minln10f xfaa （4）1ae 时，1 个零点. 01xe. min11ln10f xfee （5）10ae时，2 个零点. 22111ln0f aaaaaaa ，110feae ， 10fa ，【变式】 （经过换元和等价变形之后均可以转化到例题 3： lnafxxx） ：1. 讨论 1lnfxaxx的零点个数； 2. 讨论 lnf xmxx的零点个数（考虑 f xg xx，令xt） ；3. 讨论 xaf xxe的零点个数（令xet） ；4. 讨论 xaf xex的零点个数； 练习题练习题 1. 已知函数 221xf xxea x有两个零点，求a的取值范围. 2. 设函数 2lnxf xeax，讨论 f x的导函数 fx的零点的个数. 3. 已知函数 21xf xxeax有两个零点，求a的取值范围. 4. 已知函数 212xmf xexmx. 当0m时，试讨论 yf x的零点的个数.
