第二讲 椭圆双曲线抛物线.doc

一、选择题1(2012年长沙一中月考)已知ABC的顶点B、C在椭圆y21上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则ABC的周长是()A2B6C4 D12解析：根据椭圆定义可知，ABC的周长等于椭圆长轴长的二倍，即4.答案：C2(2012年北京东城模拟)若双曲线1的渐近线与圆(x3)2y2r2(r>0)相切，则r()A. B2C3 D6解析：双曲线1的渐近线为y±x，因为双曲线的渐近线与圆(x3)2y2r2(r>0)相切，故圆心(3，0)到直线y±x的距离等于圆的半径r，则r.答案：A3(2012年大同模拟)已知抛物线y22px(p>0)的准线与曲线x2y26x70相切，则p的值为()A2 B1C. D.解析：注意到抛物线y22px的准线方程是x，曲线x2y26x70，即(x3)2y216是圆心为(3，0)，半径为4的圆于是依题意有|3|4.又p>0，因此有34，解得p2，故选A.答案：A4过双曲线1(a>0，b>0)的右焦点F作与x轴垂直的直线，分别与双曲线、双曲线的渐近线交于点M、N(均在第一象限内)，若4，则双曲线的离心率为()A. B.C. D.解析：由题意知F(c，0)，则易得M、N的纵坐标分别为、，由4得4·()，即，又c2a2b2，则e.答案：B5(2012年高考山东卷)已知双曲线C1：1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x22py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为()Ax2y Bx2yCx28y Dx216y解析：根据离心率的大小和距离列出方程或方程组求解双曲线C1：1(a>0，b>0)的离心率为2，2，ba，双曲线的渐近线方程为x±y0，抛物线C2：x22py(p>0)的焦点(0，)到双曲线的渐近线的距离为2，p8.所求的抛物线方程为x216y.答案：D二、填空题6已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且椭圆上一点到椭圆的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为_解析：设椭圆的方程为1(a>b>0)，根据椭圆定义知2a12，即a6，由，得c3，b2a2c236279，故所求的椭圆方程为1.答案：17(2012年高考辽宁卷)已知双曲线x2y21，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1PF2，则|PF1|PF2|的值为_解析：根据双曲线的定义列方程求解设P在双曲线的右支上，|PF1|2x，|PF2|x(x>0)，因为PF1PF2，所以(x2)2x2(2c)28，所以x1，x21，所以|PF2|PF1|2.答案：28(2012年高考辽宁卷)已知P，Q为抛物线x22y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为_解析：根据题意先求出P，Q的坐标，再应用导数求出切线方程，然后求出交点因为yx2，所以yx，易知P(4，8)，Q(2，2)，所以在P、Q两点处切线斜率的值为4或2.所以这两条切线的方程为l1：4xy80，l2：2xy20，将这两个方程联立方程组求得y4.答案：4三、解答题9(2012年广州模拟)设椭圆M：1(a>)的右焦点为F1，直线l：x与x轴交于点A，若20(其中O为坐标原点)(1)求椭圆M的方程；(2)设P是椭圆M上的任意一点，EF为圆N：x2(y2)21的任意一条直径(E、F为直径的两个端点)，求·的最大值解析：(1)由题设知，A(，0)，F1(，0)，由20，得 2()，解得a26.所以椭圆M的方程为1.(2)设圆N：x2(y2)21的圆心为N，则·()·()()·()2221.从而将求·的最大值转化为求2的最大值因为P是椭圆M 上的任意一点，设P(x0，y0)，所以1，即x63y.因为点N(0，2)，所以2x(y02)22(y01)212.因为y0，所以当y01时，2取得最大值12.所以·的最大值为11.10已知抛物线C：x22py(p>0)，其焦点F到准线的距离为.(1)试求抛物线C的方程；(2)设抛物线C上一点P的横坐标为t(t>0)，过P的直线交C于另一点Q，交x轴于M，过点Q作PQ的垂线交C于另一点N，若MN是C的切线，求t的最小值解析：(1)因为焦点F到准线的距离为，所以p.故抛物线C的方程为x2y.(2)设P(t，t2)，Q(x，x2)，N(x0，x)，则直线MN的方程为yx2x0(xx0)令y0，得M(，0)，所以kPM，kNQx0x.因为NQQP，且两直线斜率存在，所以kPM·kNQ1，即·(x0x)1，整理，得x0.又Q(x，x2)在直线PM上，则与共线，得x0，由，得(t>0)，所以t，所以t或t(舍去)所以所求t的最小值为.11如图，已知F(2，0)为椭圆1(a>b>0)的右焦点，AB为椭圆的通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，线段OF的垂直平分线与椭圆相交于两点C、D，且CAD90°.(1)求椭圆的方程；(2)设过点F斜率为k(k0)的直线l与椭圆相交于两点P、Q.若存在一定点E(m，0)，使得x轴上的任意一点(异于点E、F)到直线EP、EQ的距离相等，求m的值解析：(1)F(2，0)，则A(2，)，C(1，y0)，D(1，y0)，其中y0.所以(1，y0)，(1，y0)因为CAD90°，所以，即·0.所以1y，即1，解得a26，所以b22.可得椭圆方程为1.(2)设P(x1，y1)、Q(x2，y2)，直线l的方程为yk(x2)(k0)由得(13k2)x212k2x12k260.所以x1x2，x1·x2.根据题意，x轴平分PEQ，则直线EP、EQ的倾斜角互补，即KEPKEQ0.设E(m，0)，则有0.(当x1m或x2m时不合题意)将y1k(x12)，y2k(x22)代入上式，得0.又k0，所以0.即0.即0，2x1x2(m2)(x1x2)4m0.将x1x2，x1x2代入，解得m3.