二次函数数学资料.doc

二次函数知识点1 二次函数的概念、图像及解析式1、二次函数的概念一般地，如果，那么y叫做x 的二次函数。2、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。抛物线的主要特征：有开口方向；有对称轴；有顶点。3、二次函数的解析式有三种形式：口诀- 一般 两根 三顶点（1）一般 一般式：（2）两根 当抛物线与x轴有交点时，即对应二次好方程有实根和存在时，根据二次三项式的分解因式，二次函数可转化为两根式。如果没有交点，则不能这样表示。a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。（3）三顶点 顶点式：如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当时，。4、最值 如果自变量的取值范围是，那么，首先要看是否在自变量取值范围内，若在此范围内，则当x=时，；若不在此范围内，则需要考虑函数在范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当时，当时，；如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当时，当时，。例题分析例1 如图，已知中，BC=8，BC上的高，D为BC上一点，交AB于点E，交AC于点F（EF不过A、B），设E到BC的距离为，则的面积关于的函数的图象大致为（ ）例2 若抛物线的最低点在轴上，则的值为 。课堂练习1、抛物线yx22x2的顶点坐标是 （ ）A.（2，2） B.（1，2） C.（1，3） D.（1，3）2、如图，一次函数与二次函数的大致图像是（ ） A B C D3、二次函数的最小值是（ ） A2 B1 C3 D 知识点2 二次函数的性质1、二次函数的性质函数二次函数图像a>0a<0 y y性质（1）抛物线开口向上，并向上无限延伸；（2）对称轴是x=，顶点坐标是（，）；（3）在对称轴的左侧，即当x<时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x>时，y随x的增大而增大，简记左减右增；（4）抛物线有最低点，当x=时，y有最小值，（1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；（2）对称轴是x=，顶点坐标是（，）；（3）在对称轴的左侧，即当x<时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当x>时，y随x的增大而减小，简记左增右减；（4）抛物线有最高点，当x=时，y有最大值，2、二次函数中，的含义：表示开口方向：>0时，抛物线开口向上 <0时，抛物线开口向下与对称轴有关：由于抛物线的对称轴是直线，对称轴为x=，故：时，对称轴为轴；（即、同号）时，对称轴在轴左侧； （即、异号）时，对称轴在轴右侧. 口诀 - 同左 异右表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，）当时，抛物线与轴有且只有一个交点（0，）： ，抛物线经过原点；,与轴交于正半轴； ,与轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则 .3、二次函数与一元二次方程的关系一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标。因此一元二次方程中的，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点。当>0时，图像与x轴有两个交点；当=0时，图像与x轴有一个交点；当<0时，图像与x轴没有交点。4、两点间距离公式（当遇到没有思路的题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法） y如图：点A坐标为（x1，y1）点B坐标为（x2，y2）则AB间的距离，即线段AB的长度为 AB 0 例题分析例1 已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）ab0，c0ab0，c0ab0，c0ab0，c0第1，2题图 例2 已抛物线（为实数）。（1）为何值时，抛物线与轴有两个交点？（2）如果抛物线与轴相交于A、B两点，与轴交于点C，且ABC的面积为2，求该抛物线的解析式。例3 已知抛物线。（1）求证：不论为任何实数，抛物线与轴有两个不同的交点，且这两个点都在轴的正半轴上；（2）设抛物线与轴交于点A，与轴交于B、C两点，当ABC的面积为48平方单位时，求的值。（3）在（2）的条件下，以BC为直径作M，问M是否经过抛物线的顶点P？课堂练习一、选择题：1、二次函数的图像如图所示，OAOC，则下列结论： 0； ； ； 。其中正确的有（ ） A、2个 B、3个 C、4个 D、5个 2、二次函数，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大。则当时，的值是 。3、已知抛物线的对称轴是，且它的最高点在直线上，则它的顶点为 ， 。知识点4 二次函数图象的平移1、将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；2、保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：3、平移规律在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”函数平移图像大致位置规律 说明a 函数中ab值同号，图像顶点在y轴左侧同左，a b值异号，图像顶点必在Y轴右侧异右b 向左向上移动为加左上加，向右向下移动为减右下减c 直线斜率： b为直线在y轴上的截距4、直线方程：两点 由直线上两点确定的直线的两点式方程，简称两式: 此公式有多种变形 点斜 斜截 直线的斜截式方程，简称斜截式: ykxb(k0)截距 由直线在轴和轴上的截距确定的直线的截距式方程，简称截距式：牢记 口诀 -两点斜截距-两点 点斜 斜截 截距5、设两条直线分别为，： ： 若，则有且。 若6、点P（x0，y0）到直线y=kx+b(即：kx-y+b=0) 的距离: 例题分析例1 将函数的图象向右平移a个单位，得到函数的图象，则a的值为 （ ）A1B2C3 D4 例2 已知，0，把抛物线向下平移1个单位，再向左平移5个单位所得到的新抛物线的顶点是（2，0），求原抛物线的解析式。课堂练习1、二次函数的图像向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到函数图像的解析式为，则与分别等于（ ） A、6、4 B、8、14 C、4、6 D、8、142、在平面直角坐标系中，先将抛物线关于轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（ ）ABCD课后练习一、选择题：1、已知抛物线与轴两交点在轴同侧，它们的距离的平方等于，则的值为（ ） A、2 B、12 C、24 D、2或242、已知二次函数（0）与一次函数（0）的图像交于点A（2，4），B（8，2），如图所示，则能使成立的的取值范围是（ ） A、 B、 C、 D、或 3、如图，抛物线与两坐标轴的交点分别是A、B、E，且ABE是等腰直角三角形，AEBE，则下列关系：；其中正确的有（ ） A、4个 B、3个 C、2个 D、1个4、设函数的图像如图所示，它与轴交于A、B两点，线段OA与OB的比为13，则的值为（ ） A、或2 B、 C、1 D、2二、填空题：1、已知抛物线与轴交于两点A（，0），B（，0），且，则 。2、抛物线与轴的两交点坐标分别是A（，0），B（，0），且，则的值为 。3、若抛物线交轴于A、B两点，交轴于点C，且ACB900，则 。4、已知二次函数与轴交点的横坐标为、，则对于下列结论：当时，；当时，；方程0有两个不相等的实数根、；，；，其中所有正确的结论是 （只填写顺号）。三、解答题：1、已知函数的图像过点（1，15），设其图像与轴交于点A、B，点C在图像上，且，求点C的坐标。2、抛物线，和直线（0）分别交于A、B两点，已知AOB900。（1）求过原点O，把AOB面积两等分的直线解析式；（2）为使直线与线段AB相交，那么值应是怎样的范围才适合？3、已知二次函数（0）的图像过点E（2，3），对称轴为，它的图像与轴交于两点A（，0），B（，0），且，。（1）求这个二次函数的解析式；（2）在（1）中抛物线上是否存在点P，使POA的面积等于EOB的面积？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。4、已知抛物线与轴交于点A（，0），B（，0）两点，与轴交于点C，且，若点A关于轴的对称点是点D。（1）求过点C、B、D的抛物线解析式；（2）若P是（1）中所求抛物线的顶点，H是这条抛物线上异于点C的另一点，且HBD与CBD的面积相等，求直线PH的解析式； 5、已知：RtABC的斜边长为5，斜边上的高为2，将这个直角三角形放置在平面直角坐标系中，使其斜边AB与x轴重合（其中OA<OB），直角顶点C落在y轴正半轴上。（1）求线段OA、OB的长和经过点A、B、C的抛物线的关系式。（4分）（2）如图，点D的坐标为（2，0），点P（m，n）是该抛物线上的一个动点（其中m>0，n>0），连接DP交BC于点E。当BDE是等腰三角形时，直接写出此时点E的坐标。又连接CD、CP，CDP是否有最大面积？若有，求出CDP的最大面的最大面积和此时点P的坐标；若没有，请说明理由。 知识点1 例1、D 例2、2 课堂练习1、D 2、C 3、A知识点2 例1 C 例2 已抛物线（为实数）。（1）为何值时，抛物线与轴有两个交点？（2）如果抛物线与轴相交于A、B两点，与轴交于点C，且ABC的面积为2，求该抛物线的解析式。分析：抛物线与轴有两个交点，则对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，将问题转化为求一元二次方程有两个不相等的实数根应满足的条件。略解：（1）由已知有，解得且 （2）由得C（0，1）又 或或例3 已知抛物线。（1）求证：不论为任何实数，抛物线与轴有两个不同的交点，且这两个点都在轴的正半轴上；（2）设抛物线与轴交于点A，与轴交于B、C两点，当ABC的面积为48平方单位时，求的值。（3）在（2）的条件下，以BC为直径作M，问M是否经过抛物线的顶点P？解（1），由，可得证。（2） 又 解得或（舍去） （3），顶点（5，9）， M不经过抛物线的顶点P。评注：二次函数与二次方程有着深刻的内在联系，因此，善于促成二次函数问题与二次方程问题的相互转化，是解相关问题的常用技巧。课堂练习1、B 2、7； 3、（2，2），；知识点3例2 已知，0，把抛物线向下平移1个单位，再向左平移5个单位所得到的新抛物线的顶点是（2，0），求原抛物线的解析式。分析：由可知：原抛物线的图像经过点（1，0）；新抛物线向右平移5个单位，再向上平移1个单位即得原抛物线。解：可设新抛物线的解析式为，则原抛物线的解析式为，又易知原抛物线过点（1，0），解得原抛物线的解析式为：评注：解这类题的关键是深刻理解平移前后两抛物线间的关系，以及所对应的解析式间的联系，并注意逆向思维的应用。另外，还可关注抛物线的顶点发生了怎样的移动，常见的几种变动方式有：开口反向（或旋转1800），此时顶点坐标不变，只是反号；两抛物线关于轴对称，此时顶点关于轴对称，反号；两抛物线关于轴对称，此时顶点关于轴对称；课堂练习 1、C 2、课后练习 1、C（，1）或（，1）、（3，1）2、（1）；（2）30