《任意角和弧度制及任意角的三角函数》教案.doc
任意角和弧度制及任意角的三角函数适用学科数学适用年级高三适用区域新课标课时时长（分钟）60知 识 点任意角的概念；象限角的概念及表示；同终边角的概念及表示弧度的概念；角度与弧度的互化；扇形的弧长和面积公式任意角的三角函数的定义；任意角的三角函数的的求法三角函数值在各个象限的符号；诱导公式一（同终边角）；有向线段与三角函数线教学目标1.了解任意角的概念2.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义教学重点三角函数的定义及应用，三角函数值符号的确定教学难点三角函数的定义及应用教学过程一、课堂导入在花样滑冰比赛中，运动员的动作是那么优美！尤其是原地转身和空中翻转动作都让我们叹为观止运动员在原地转身的动作中，仅仅几秒内就能旋转十几圈，甚至二十几圈，因此，花样滑冰美丽而危险我们利用以前学的角的范围是0°180°，你还能算出他们在一次原地转身三圈的动作中转过的角度吗？二、复习预习1初中我们已经学习过角，那么初中对角的定义是什么呢？所谓角就是_2角按大小进行分类，可分为锐角、钝角和直角锐角的范围为_，钝角的范围为_，直角的度数为_三、知识讲解考点1 角的有关概念角的特点角的分类从运动的角度看角可分为正角、负角和零角从终边位置来看可分为象限角和轴线角与角的终边相同k·360°(kZ) (或k·2，kZ)考点2 弧度的概念与公式在半径为r的圆中分类定义(公式)1弧度的角把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示角的弧度数公式|(弧长用l表示)角度与弧度的换算1°rad1 rad°弧长公式弧长l|r扇形的面积公式Slr|·r2考点3 任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切定义设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么y叫做的正弦，记作sin x叫做的余弦，记作cos 叫做的正切，记作tan 各象限符号正正正正负负负负正负正负口诀一全正，二正弦，三正切，四余弦三角函数线有向线段MP为正弦线有向线段OM为余弦线有向线段AT为正切线四、例题精析【例题1】【题干】(1)已知角2k(kZ)，若角与角的终边相同，则y的值为()A1B1C3 D3(2)已知点P(tan ，cos )在第三象限，则角的终边在()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限【解析】(1)选B由2k(kZ)及终边相同角的概念知，的终边在第四象限，又与的终边相同，所以角是第四象限角，所以sin 0，cos 0，tan 0.因此，y1111.(2)选B点P(tan ，cos )在第三象限，是第二象限角.【例题2】【题干】已知角的终边在直线3x4y0上，求sin ，cos ，tan 的值【解析】角的终边在直线3x4y0上，在角的终边上任取一点P(4t，3t)(t0)，则x4t，y3t，r5|t|.当t0时，即x>0时，r5t，sin ，cos ，tan ；当t0时，即x<0时，r5t，sin ，cos ，tan .综上可知，当角的终边在直线3x4y0的x>0部分时，sin ，cos ，tan ；当角的终边在直线3x4y0的x<0部分时，sin ，cos ，tan .【例题3】【题干】已知在半径为10的圆O中，弦AB的长为10，(1)求弦AB所对的圆心角的大小；(2)求所在的扇形弧长l及弧所在的弓形的面积S.【解析】(1)如图所示，过O作OCAB于点C，则AC5，在RtACO中，sinAOC，AOC30°，2AOC60°.(2)60°，l|r.S扇lr××10.又SAOB×10×10sin 25，S弓形S扇SAOB2550.【例题4】【题干】 如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P的位置在(0,0)，圆在x轴上沿正向滚动当圆滚动到圆心位于(2,1)时，的坐标为_【答案】(2sin 2,1cos 2)【解析】因为圆心移动的距离为2，所以劣弧2，即PCA2，则PCB2，所以PBsincos 2，CBcossin 2，所以xP2CB2sin 2，yP1PB1cos 2，所以(2sin 2，1cos 2)五、课堂运用【基础】1若k·180°45°(kZ)，则在()A第一或第三象限B在第一或第二象限C第二或第四象限 D在第三或第四象限解析：选A当k为偶数时，的终边与45°角的终边相同，是第一象限角平分线；当k为奇数时，的终边与45°角的终边在同一条直线上，是第三象限角平分线2已知角的终边经过点(3a9，a2)，且cos 0，sin 0，则实数a的取值范围是()A(2,3 B(2,3)C2,3) D2,3解析：选A由cos 0，sin 0可知，角的终边落在第二象限内或y轴的正半轴上，所以有即2a3.3点P从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为()A. B.C. D.解析：选A由三角函数定义可知Q点的坐标(x，y)满足xcos，ysin.【巩固】4若点P(x，y)是300°角终边上异于原点的一点，则的值为_解析：tan 300°tan(360°60°)tan 60°.答案：5已知角的终边过点P(8m，6sin 30°)，且cos ，则m的值为_解析：r，cos ，m0，m±.m0，m.答案：【拔高】6已知一扇形的圆心角为(0)，所在圆的半径为R.若扇形的周长是一定值C(C0)，当为多少弧度时，该扇形有最大面积？解：扇形周长C2Rl2RR，R，S扇·R2·2··，当且仅当24，即2时，扇形面积有最大值.7角终边上的点P与A(a,2a)关于x轴对称(a0)，角终边上的点Q与A关于直线yx对称，求sin ·cos sin ·cos tan ·tan 的值解：由题意得，点P的坐标为(a，2a)，点Q的坐标为(2a，a)所以，sin ，cos ，tan 2，sin ，cos ，tan ，故有sin ·cos sin ·cos tan ·tan ··(2)×1.课程小结1.对任意角的理解 (1)“小于90°的角”不等同于“锐角”“0°90°的角”不等同于“第一象限的角”其实锐角的集合是|0°<<90°，第一象限角的集合为|k·360°<<k·360°90°，kZ (2)终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同，终边相同的角的同一三角函数值相等 2三角函数定义的理解 三角函数的定义中，当P(x，y)是单位圆上的点时有sin y，cos x，tan ，但若不是单位圆时，如圆的半径为r，则sin ，cos ，tan .
