平行四边形与中心对称图形.doc

平行四边形与中心对称图形一、一周知识概述1、四边形在平面内，由不在同一条直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫做四边形组成四边形的各条线段叫做四边形的边，每相邻两条边的公共端点叫做四边形的顶点四边形用它的各个顶点的字母顺序来表示如四边形ABCD若把四边形的任何一边向两方延长，其它各边都在延长所得的直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形四边形中，连结不相邻的两个顶点的线段叫做四边形的对角线，四边形有两条对角线四边形相邻两边所组成的角叫做四边形的内角，简称四边形的角四边形相对的两个角叫做对角，相对的两条边叫做对边2、平行四边形的定义两组对边分别平行的四边形是平行四边形平行四边形ABCD记作“ABCD”如图，在ABCD中，AB与CD，AD与BC分别为ABCD的两组对边，A与C，B与D是两组对角3、平行四边形的性质(1)平行四边形对角相等；(2)平行四边形对边平行且相等；(3)平行四边形的对角线互相平分4、中心对称图形在平面内，将一个图形G绕一点O旋转180°，所得到的像与原来的图形G互相重合，那么图形G叫做中心对称图形点O叫做图形G的对称中心，此时也称图形G关于点O对称中心对称图形上，每一对对应点的连线段都经过对称中心，并且被对称中心平分平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心5、平行四边形的判定方法（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；(4)对角线互相平分的四边形是平行四边形6、平行四边形判定与性质的关系特别说明的是：平行四边形的定义既是它的性质，又是它的判定7、三角形中位线连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线三角形中位线的性质定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半如图，D、E分别是ABC边AB、AC的中点，则，且DEBC它说明三角形中位线与第三边的位置和大小关系也是我们将来解决线与线之间平行关系和倍分关系的一种重要方法二、重难点知识归纳掌握平行四边形的性质和判定方法，三角形中位线的性质；应用平行四边形的性质和判定方法解决平行四边形的有关问题；会应用三角形的中位线性质解题三、典型例题讲解例1、O是ABCD对角线的交点，的周长为59，则_，若与的周长之差为15，则_，ABCD的周长=_.解析：ABCD中，.的周长 .在ABCD中，BC=AD，AD=28的周长的周长， ABCD的周长说明：本题考查平行四边形的性质，解题关键是将与的周长的差转化为两条线段的差.例2、已知：如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，过O点的直线EF交AD、BC于E、F.求证：.分析：要证，只需证含有OE、OF的两个三角形全等即可，也就是说证明或证.这一点由平行四边形的性质容易证得.证明：四边形ABCD是平行四边形，（平行四边形的对角线互相平分）在与中，说明：此题利用了平行四边形对角线互相平分的性质，通过证明三角形全等，证明了.那么由此题可以看出过平行四边形对角线交点的任一直线被一组对边所截得的线段，被对角线的交点平分.平行四边形是以对角线交点为中心的对称图形.例3、如图，E、F分别是ABCD的AD、BC边上的点，且AE=CF(1)求证：ABECDF；(2)若M、N分别是BE、DF的中点，连结MF、EN，试判断四边形MFNE是怎样的四边形，并证明你的结论证明：(1)四边形ABCD为平行四边形，AB=CD，A=C又AE=CF，ABECDF(SAS)(2)四边形MFNE是平行四边形证明如下：由ABECDF得BE=DF又M、N分别为BE、DF的中点，EM=NF由四边形ABCD为平行四边形知又AE=CF，四边形BEDF为平行四边形，故BEDF，四边形MFNE为平行四边形点评：本例两次用到“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定定理，并且两次用到平行四边形的性质定理例4、已知，如图，平行四边形ABCD的周长是36cm，自钝角顶点D向AB、BC引两条高DE、DF，且，求这个平行四边形的面积解析：设AB=x cm，BC=y cm四边形ABCD为平行四边形，AB=CD，AD=BC又四边形ABCD的周长为36cm，2x2y=36DEAB，DFBC，SABCD=AB·DE，SABCD=BC·DF由解得x=10，y=8SABCD=AB·DE=说明：利用方程思想是解决几何问题的一种重要方法例5、如图，在ABC中，ACB=90°，CF是斜边上的高，AT平分CAB交CF于点D，过D作DEAB交BC于点E求证：CT=EB证明：过D作DGCB交AB于点GDEAB，四边形DEBG为平行四边形DG=EB，3=B在RtABC与RtAFC中，易知4=B4=3，1=2，AD=AD，ACDAGD，CD=GD又15=90°，27=26=90°，5=6，CD=CTCT=EB例6、AD为ABC的高，B=2C，M为BC的中点求证：DM=AB分析：由M为BC中点，要证DM=AB，联想利用中位线定理构造AB，即取AC的中点N，连接MN，DN，只须证明MN=DM，这可由在直角三角形中，斜边的中线等于斜边一半及B=2C证得证法一：取AC的中点N，连接MN、DN又M为BC中点，MN/AB，MN=AB，B=NMCAD为ABC的高，N为AC的中点，DN=CN，C=NDCNMC=NDCMND，B=2C，MDN=MND，MD=MN，DM=AB证法二：取AB的中点P，连接DP、MP，则PM为ABC的中位线PM/AC，C=PMB又AD为ABC的高，P为AB的中点，PD=PB=AB，B=PDBPDB=PMBDPM，B=2C，DPM=DMP，PD=DM=AB说明：如果题目中有线段倍分并有中点，解题思路经常构造中位线把问题转化；在证线段倍分时，也经常用到“斜边上的中线等于斜边的一半”这一结论证题例7、在图(1)中的网格中画出四边形关于O点的中心对称图形解：在网格中作出四边形关于O点的中心对称图形，如图(2)说明：作中心对称图形的实质，就是将图形的每一个顶点绕中心O旋转180°比如，作点A，使点A与点A关于O点对称，只要连结AO，并延长AO至A，使OA=OA即可在线测试窗体顶端一、选择题1、下列命题正确的个数是（）两个全等三角形必关于某一点中心对称关于中心对称的两个三角形是全等三角形（注意比较命题、的真假）两个三角形对应点连线都经过同一点，则这两个三角形关于该点成中心对称（没有说明被这一点平分）关于中心对称的两个三角形，对应点连线都经过对称中心A1B2C3D42、如图，在ABCD中，AEBC于点E，AFCD于点F，若AE=4，AF=6，ABCD的周长为40，则SABCD为（）A24 B36C40 D483、如图，在ABCD中，已知AE、CF分别是DAB、BCD的角平分线，若B=50°，则BCF=（）A50° B40°C65° D85°4、若A、B、C三点不共线，则以其为顶点的平行四边形共有（）A1个 B2个C3个 D4个5、如图，ABCD中，C=108°，BE平分ABC，则ABE等于（）A18° B36°C72° D108°6、已知，第一个三角形的周长为1，它的三条中位线又组成第二个三角形，第二个三角形的三条中位线又组成第三个三角形，依次类推，第2009个三角形的周长为（）ABCD7、如图，在ABC中，AB=30cm，BC=24cm，CA=27cm，AE=EF=FB，EGDFBC，FMENAC，则图中阴影部分三个三角形周长的和为（）A70cm B75cmC80cm D81cm8、如图，在ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，如果AC=8，BD=10，AB=x，则x的取值范围是（）A1x9B2x18C8x10 D4x59、如图，在ABCD中，CE是DCB的平分线，F是AB的中点，AB=6，BC=4，则AEEFFB为（）A112B213C324D11310、在四边形ABCD中，给出下列条件：ABCD；AD=BC；A=C；ADBC能判断四边形是平行四边形的所有组合是（）A， B，C， D， 窗体底端B卷二、解答题11、如图，在ABCD中，AEBC，AFCD，E、F是垂足，B=50°求ABCD的其他三个角及EAF的度数答案12、如图，已知AO是ABC的A的平分线，BDAO的延长线于点D，E是BC的中点求证：答案13、如图，四边形ABCD中，DCAB，以AD、AC为边作ACED，延长DC交EB于点F求证：EF=FB答案14、如图，四边形ABCD关于点O成中心对称图形求证：四边形ABCD是平行四边形答案15、如图，在ABC中,C=90°,点M在BC上，且BM=AC；点N在AC上，且AN=MCAM、BN相交于点P求证：BPM45°第1题答案错误!正确答案为 B第2题答案错误!正确答案为 D第3题答案错误!正确答案为 C第4题答案错误!正确答案为 C第5题答案错误!正确答案为 B第6题答案错误!正确答案为 B第7题答案错误!正确答案为 D第8题答案错误!正确答案为 A第9题答案错误!正确答案为 B第10题答案错误!正确答案为 D提示：1、(2)(4)正确2、设BC=x，CD=y，则依面积知4x=6y2x=3y，又xy=20，列方程组求解3、BCD=130°，BCF=65°4、过点A、B、C分别作对边的平行线，有3个平行四边形5、此题用到了“平行四边形的邻角互补”，求出ABC的度数后，即可得到ABE的大小6、三角形的三条中位线组成的三角形的周长等于前一个三角形的周长的一半7、依平行四边形对边相等知正好为ABC的周长8、由平行四边形性质可知：OA=4，OB=5在平行四边形中，AB、OA、OB构成三角形，所以54x54，即1x99、在ABCD中，DCAB，所以DCE=CEB，又DCE=ECB，所以CEB=ECB，即BE=BC=4，F是AB中点，所以又EF=BEFB=43=1，AE=ABBE=64=2，所以AEEFFB=21310、由平行四边形的判定方法知选D11、解：四边形ABCD为平行四边形，D=B=50°，C=BAD(ABCD的对角相等)又ABCD，CB=180°C=BAD=130°在四边形AECF中，AEBC，AFCD，C=130°，根据四边形内角和定理，得EAF=50°12、分析：由“角平分线垂直”易联想到等腰三角形，通过补图，运用等腰三角形三线合一，构造出三角形的中位线证明：如图，延长AC、BD交于点F，则ABF为等腰三角形，且BD=DF又E为BC中点，ED是BCF的中位线13、证明：过点B作BGAD，交DC的延长线于点G，连结EGDCAB，四边形ABGD为平行四边形在ACED中，四边形BGEC是平行四边形，EF=FB(平行四边形对角线互相平分)14、分析：因为四边形ABCD是中心对称图形，所以A点和C点，B点和D点是对称点，则线段AC过点O，BD也过点O，且AC、BD都被点O平分，所以四边形ABCD是平行四边形证明：四边形ABCD关于点O成中心对称图形，AC、BD都过点O，且OA=OC，OB=OD，（中心对称的基本性质）四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）15、证明：如图，过M作DMBC且使DM=AN，连结ND，则四边形AMDN为平行四边形，AM=DN，MDN=MAC连结BD，由DM=AN=CM，BM=AC，得RtBMDRtACM，则BD=AM=DN，BDM=AMCBDN=BDMMDN=AMCMAC=90°BDM为等腰直角三角形BPM=DNB=45°