动能定理的典型例题.doc

“动能定理”的典型例题 【例1】质量为m=2kg的物体，在水平面上以v1= 6m/s的速度匀速向西运动，若有一个F=8N、方向向北的恒定力作用于物体，在t=2s内物体的动能增加了 A28J B64J C32J D36J E100J【分析】物体原来在平衡力作用下西行，受向北的恒力F作用后将做类似于平抛的曲线运动(见图)物体在向北方向上的加速度2s后在向北方向上的速度分量故2s后物体的合速度所以物体在2s内增加的动能为也可以根据力对物体做动能定理来计算由于在这个过程中，可以看作物体只受外力F作用，在这个力方向上的位移外力F对物体做的功W =Fs= 8×8J=64J，故物体动能的增加【答】B【说明】由上述计算可知，动能定理在曲线运动中同样适用，而且十分简捷有的学生认为，物体在向西方向上不受外力，保持原动运能不变，向北方向上受到外力后，向北方向上的动能增加了即整个物体的动能增加了64J，故选B必须注意，这种看法是错误的动能是一个标量(不同于动量)，不能分解外力对物体做功引起物体动能的变化，是对整个物体而言的，它没有分量式(不同于物体在某方向上不受外力，该方向上动量守恒的分量式)上述计算结果的巧合是由于v2与v1互成90°角的缘故【例2】一个物体从斜面上高h处由静止滑下并紧接着在水平面上滑行一段距离后停止，量得停止处对开始运动处的水平距离为s(见图)，不考虑物体滑至斜面底端的碰撞作用，并认为斜面与水平面对物体的动摩擦因数相同，求摩擦因数【分析】以物体为研究对象，它从静止开始运动，最后又静止在平面上，整个过程中物体的动能没有变化，即Ek2=Ek1=0可以根据全过程中功与物体动能的变化上找出联系【解】物体沿斜面下滑时，重力和摩擦力对物体做功(支持力不做功)，设斜面倾角为，斜坡长L，则重力和摩擦力的功分别为WG= mgsinL，Wf1= -mgcosL在平面上滑行时仅有摩擦力做功(重力和支持力不做功)，设平面上滑行距离为s2，则Wf2= -mgs2整个运动过程中所有外力的功为W=WG+Wf1+Wf2，=mgsinL - umgcosL- mgs2根据动能定理，W=Ek2-Ek1，式中s1为斜面底端与物体初位置间水平距离，故【说明】本题也可运用牛顿第二定律结合运动学公式求解物体沿斜面下滑时的加速度物体在平面上滑行时的加速度比较这两种解法，可以看到，应用动能定理求解时，只需考虑始末运动状态，无需关注运动过程中的细节变化(如从斜面到平面的运动情况的变化)，显得更为简捷本题也为我们提供了一种测定动摩擦因数的方法厢所受阻力不变，对车厢的牵引力应增加 A1×103N B2×103NC4×103N D条件不足，无法判断【分析】矿砂落入车厢后，受到车厢板摩擦力f的作用，使它做加速运动，经时间t后矿砂的速度达到车厢的速度v=2m/s,这段时间内矿砂的位移因此选t内落下的矿砂m为研究对象，以将接角车箱板和达到速度v=2m/s两时刻为始末两状态时，动能增量由功与动能变化的关系得在这过程中，车厢板同时受到矿砂的反作用f，其大小也为4×103N，方向与原运动方向相反，所以，为保持车厢的匀速运动需增加的牵引力为【答】C【说明】常有人误认为矿砂落入车厢内，矿砂的位移就是车厢的位移s =vt，于是得车厢应增加的牵引力大小为这是不正确的，因为在矿砂将接触车厢板到两者以共同速度v=2m/s运动的过程中，车厢和矿砂做两种不同的运动，矿砂的速度小于车厢的速度，它们之间才存在着因相对滑动而出现的滑动摩擦力也正是由于滑动摩擦力的存在，车厢所增加的牵引力做的功并没有完全转化为矿砂的动能，其中有一部分消耗在克服摩擦做功而转化为热能!iedtxx(stylebkzd', 1107P02.htm')【例4】一辆车通过一根跨过定滑轮的绳PQ提升井中质量为m为物体，如图a所示绳的P端拴在车后的挂钩上，Q端拴在物体上设绳的总长不变、绳的质量、定滑轮的质量和尺寸，滑轮上的摩擦都忽略不计开始时，车在A点，左右两侧绳都已绷紧并且是竖直的，左侧绳绳长为H提升时，车加速向左运动，沿水平方向从A经过B驶向C设A到B的距离也为H车过B点时的速度为vB求在车由A移到B的过程中，绳Q端的拉力对物体做的功【分析】汽车从A到B把物体提升的过程中，物体只受到拉力和重力的作用，根据物体速度的变化和上升高度，由动能定理即得【解】以物体为研究对象，开始时其动能Ek1=0随着车的加速拖动，重物上升，同时速度也不断增加当车子运动到B点时，重物获得一定的上升速度vQ，这个速度也就是收绳的速度，它等于车速沿绳子方向的一个分量(图b)，即于是重物的动能增为在这个提升过程中，重物受到绳中拉力T、重力mg物体上升的高度和重力的功分别为于是由动能定理得即所以绳子拉力对物体做的功【说明】必须注意，速度分解跟力的分解一样，两个分速度的方向应该根据运动的实际效果确定车子向左运动时，绳端(P)除了有沿绳子方向的运动趋势外(每一瞬间绳处于张紧的状态)，还参予了绕O点的转动运动(绳与竖直方向间夹角不断变化)，因此还应该有一个绕O点转动的速度，这个速度垂直于绳长方向所以车子运动到B点时的速度分解图应如图6所示，由此得拉绳的速度Vb1(即提升重物的速度vQ)与车速vB的关系为【例5】在平直公路上，汽车由静止开始作匀速运动，当速度达到vm后立即关闭发动机直到停止，v-t图像如图所示设汽车的牵引力为F，摩擦力为f，全过程中牵引力做功W1，克服摩擦力做功W2，则 AF：f = 1：3 BF：f = 4：1CW1：W2= 1：1 DW1：W2 = 1：3【分析】在t = 01s内，汽车在牵引力F和摩擦力f共同作用下作匀加速运动，设加速度为a1由牛顿第二定律F-f = ma1在t=l4s内，汽车仅受摩擦力作用作匀减速滑行，设加速度为a2，则-f = ma2由于两过程中加速度大小之比为在前、后两过程中，根据合力的动能定理可知， WF=Wf1+Wf2=Wf。即全过程中牵引力做功（W1=WF）和汽车克服摩擦力做功（W2=Wf）相等【答】BC【说明】为了比较两个功的关系，还可以从全过程考虑：因为汽车在始、末两状态都处于静止，则EK=0，所以整个过程中各个力做功之和W=0，于是立即可得W1=Wf（即W1=W2）这种从全过程上考虑的方法，是动能定理的一个应用特点，尤其在EK=0的情况，往往更为简捷，请加以体会【例6】质量为m的小球被系在轻绳一端，在竖直平面内作半径为R的圆周运动，运动过程中小球受到空气阻力的作用设某一时刻小球通过轨道的最低点，此时绳子的张力为7mg，此后小球继续作圆周运动，经过半个圆周恰能通过最高点，则在此过程中小球克服空气阻力所做的功为 【分析】设小球通过最低点A的速度为v1，绳子张力T1=7mg在最低点时，由绳子张力和小球重力的合力提供向心力，设小球恰通过最高点的速度为v2，此时绳子张力T2=0，正好由小球重力提供向心力，即小球由最低点运动到最高点B过程中，小球重力和空气阻力都对小球做负功，根据力对小球做的动能定理，由【答】C【例7】在光滑水平面上有一静止的物体现以水平恒力甲推这一物体，作用一段时间后，换成相反方向的水平恒力乙推这一物体当恒力乙作用时间与恒力甲作用时间相同时，物体恰好回到原处，此时物体的动能为32J则在整个过程中，恒力甲做的功和恒力乙做的功各等于多少?【分析】物体先作匀加速运动，后作匀减速运动回到原处，整个过程中的位移为零根据牛顿第二定律和运动学公式即可确定两个力的大小关系，然后对全过程中应用动能定理即可得解或者根据两个力作用时间相同、两个过程中的位移大小相等，由平均速度的大小相等找出两者末速度的关系，即可得解【解】方法1 物体从静止起受水平恒力F甲作用，做匀加速运动，经一段时间t后的速度为间t后回到原处整个时间内物体的位移为零设在F甲作用下物体的位移为s，对全过程由动能定理得所以，恒力甲和乙做的功分别为方法2 设恒力F甲作用时间t，使物体通过位移s后的速度为v1，恒力F乙物体回到原点的速度为v2，作用时间也是t前、后两段相同时间t内的位移大小相等，由得 v2=2v1，已知Ek2=32J，故Ek1=8J根据动能定理可知，恒力F甲和F乙做的功分别为W甲=Ek1=8J，W乙=Ek1=32J8J=24J【说明】本题可以利用v-t图，更直观地得到启发，设F甲作用时间t后物体的速度为v1，这就是匀加速运动的末速度接着在F乙作用下物体作匀减速运动，物体先按原方向运动，设经时间t0后速度减小为零，然后反向运动因此，物体运动过程的v-t图如图所示物体回到原点，意味着图线上下方与t轴间的面积相等设甲、乙两力作用时的加速度大小分别为a1、a2则v1=a1t，v2=a2（t2-t0），联立（1）、（2）两式得所以两力做功之比【例8】如图所示，轻质长绳水平地跨在相距2L的两个小定滑轮A、B上，质量为m的物块悬挂在绳上O点，O与A、B两滑轮的距离相等在轻绳两端C、D分别施加竖直向下的恒力F=mg，先托住物块、使绳处于水平拉直状态，然后静止释放物块，在物块下落过程中，保持C、D两端的拉力F不变（1）当物块下落距离h为多大时，物块的加速度为零？（2）在物块下落上述距离的过程中，克服C端恒力F做功W为多少？（3）求物块下落过程中的最大速度vm和最大距离H【分析】下落至加速度为零时，AO、BO两绳的合力应等于重力mg，此时AOB=120°，于是即可算出下落距离和C、D两端上升距离，克服C端恒力的功即可求出在物块的下落过程中，AO、BO两绳中拉力不断变化开始时，其重力大于两绳拉力的合力，物块加速下落，速度增大；当重力等于两绳拉力的合力时，下落加速度为零，速度达最大值vm；以后，重力小于两绳拉力的合力，物块减速下落，直至v=0时，达下落的最大距离H由于物块作的是变加速运动，所以必须根据动能定理才可求出最大距离【解】（1）物块下落时受到三个力的作用：重力mg、绳AO、BO的拉力F当绳拉力的向上合力R等于重力mg时，物块下落的加速度为零由于F恒为mg、所以a=0时，三力互成120°夹角如图所示，于是，由图可知，下落距离（2）物块下落h时，C、D两端上升距离所以物块克服C端恒力F做功（3）由上面的分析可知，物块下落h时的速度就是最大速度根据动能定理得最大速度当物块下落最大距离H时，C、D两端上升的距离为同理，由mgH-2Fh=0,【例9】质量为m的物体A以速度v0在平台上运动，滑到与平台等高、质量为M的静止小车B上小车B在光滑水平地面上，物体A与B之间动摩擦因数为不计A的体积，为使A在小车B上不致滑出，试问小车B的长度L至少为多少（见图）？【分析】A滑上B后，A受到B的摩擦力作匀减速运动，速度逐渐减小；B受到A的摩擦力而作匀加速运动，速度逐渐增大如A滑到B的最右端时，两者刚好速度相同，处于相对静止，A就不致从B上滑出把物体A、B作为一个系统，它们之间的相互作用力就是内力，系统在水平方向不受外力，动量守恒根据动量守恒算出两者相对静止时的速度后，便可隔离两物体，分别从牛顿第二定律、动量定理或动能定理这几条线索去考虑【解】设物体A、B相对静止时的共同速度为v，由于A、B在相互作用的过程水平方向不受外力，动量守恒则有设在这段过程中小车的位移为s，则物体A的位移为s+L（见图），可以由多种方法求解：（1）用牛顿第二定律结合运动学公式解：对物体Amg=maA， aA=g对小车Bmg=MaB， aB=mgM两者相对静止时因此，（2）用动能定理解：两式相加并代入解得的v，得（3）用动量定理解：设从A滑上小车B，到两者相对静止的时间为t，则因此，（4）运用v-t图线解：作出物体A与小车B的v-t图（见图）小车长L，数值上等于图中划有斜线的三角形面积【说明】本题的关键是通过对运动过程的分析，找出A不致从B上滑出的条件题中综合了力和运动关系的三条线索以及运动图像，因此，本题知识容量较大，应很好体会【例10】在光滑水平面上，有一质量m1=20kg的小车，通过一根几乎不可伸长的轻绳与另一个质量为m2=25kg的拖车相连接一质量m3=15kg的物体放在拖车的平板上物体与平板间的滑动摩擦因数为=0.20开始时，拖车静止，绳未拉紧，如图所示，小车以v0=3ms的速度向前运动求：（1）当m1、m2、m3以同一速度前进时，速度的大小（2）物体在拖车平板上移动的距离（g取10ms2）【分析】1把小车、拖车和物体作为一个系统，由水平方向动量守恒可得共同前进的速度2物体获得共同前进的速度，可认为经历了两个过程：先是小车与拖车相互作用；然后是（小车+拖车）与物体的作用解（1）由小车、拖车和物体三者水平方向动量守恒，m1v0=（m1+m2+m3）u，得三者一起运动的速度大小为（2）小车向前运动时，轻绳将逐渐伸直因为轻绳从伸直到拉紧的时间极短，在这极短时间内绳中产生的张力远大于物体对拖车的摩擦力，可以认为仅是小车与拖车间发生了相互作用对小车与拖车由水平方向动量守恒m1v0=（m1+m2）v12，得绳刚拉紧时两者的共同速度此后，由于物体和拖车间形成了相对速度，拖车对物体产生摩擦力f（f=m3g），使物体向前（与v12同向）作加速运动，物体对拖车的摩擦力f（f=f）使拖车（包括小车）作减速运动，直至物体和拖车（包括小车）以共同速度u运动在这个过程中，设拖车（包括小车）对地面的位移为s2、物体对地面的位移为s3对拖车位移为d，如图所示根据动能定理对拖车和小车由此解得拖车和物体的位移分别为所以，物体在拖车平板上移动的距离【说明】根据物体间发生相对运动时，因摩擦损失的机械能是相互间的一对摩擦力做功的结果，数值上等于摩擦力与相对位移的乘积由能的转化和实恒立即可求出物体在平板上的滑移距离!iedtxx(stylebkzd', 1107P03.htm')【例11】如图所示，一质量为M、长为L的长方形木板B放在光滑的水平地面上，在其右端放一质量为m的小木块A，mM现以地面为参考系，给A和B以大小相等、方向相反的初速度（如图），使A开始向左运动、B开始向右运动，但最后A刚好没有滑离B板以地面为参考系，（1）若已知A和B的初速度大小为v0，求它们最后的速度的大小和方向（2）若初速度的大小未知，求小木块A向左运动到达的最远处（从地面上看）离出发点的距离【分析】（1）把A、B两物体作为一个系统，它们之间相互作用的摩擦力为内力，系统在水平方向不受外力，相互作用的任一时刻都遵守动量守恒定律A恰好有滑离B板，表示A到达B板左端时，两者具有共同的速度（2）小木块A的对地速度从最初向左的v0变到最后向右的共同速度，必是先向左减速至零，后向右从零加速在这个过程中，水平方向仅受摩擦力作用，根据动能定理（或牛顿运动定律）即可求解【解】（1）设A、B两者最后的共同速度为u取向右为正方向，由动量定恒得Mv0mv0=（Mm）u所以最后的速度大小为由于Mm，u0，最后的速度方向向右（2）设小木块A从向左的速度v0减速到零通过的路程为S1,从速度为零向右加速到共同速度u通过的路程为S2，如图（a）所示在这两个过程中，作用在小木块A上的摩擦力f的方向始终向右如图（b）所示对小木块A，由动能定理得长木板B则一直向右运动，设它从开始运动到两者获得共同速度u经过的路程为L，同理由动能定理得或又由几何关系可知联立式（1）（4），并代入u的值，即得小木块向左运动的最远处离出发点的距离【说明】本题也可以利用v-t图求解通过对A、B两物体的运动过程和受力分析可知，两物体在水平方向受到大小、方向恒定的摩擦力作用，分别作着加速度大小、方向恒定的匀加速运动，它们的v-t图都是一条倾斜直线，达到共同速度后一起作匀速运动，是一条平行t轴的直线若以向右的方向为正方向，则A、B开始运动的速度分别为v0，v0，它们的v-t图如图中AC和BC所示图中D点对应的时间t1表示A从v0减速至零的时间；E点对应的时间t2表示两者从开始运动到达到共同速度的时间三角形OAD的面积表示A向左运动达最远处距离（SOAD=S1），三角形CDE的面积表示A的速度从零起向右加速至u通过的距离（SCDE=S2）；梯形OBCE的面积表示木板B从开始运动到与A相对静止右行的距离（SOBCE=S）三段距离之间有关系式又由CDEOAD，联立式（1）（5），同样可解得