第3章刚体力学基础.doc

第3章 刚体力学基础一、目的与要求1确切理解描述刚体平动和定轴转动的基本物理定义及性质，并掌握角量与线量的关系。2确切理解和掌握力矩、转动惯量的概念及计算方法，掌握刚体定轴转动的动力学方程，熟练应用刚体定轴转动定律求解刚体定轴转动及与质心联动问题。3理解刚体转动动能概念。掌握力矩的功，刚体的重力势能，刚体的动能定理和机械能守恒定律。4确切理解角动量概念，并能对含有定轴转动刚体在内的系统正确应用角动量定理及角动量守恒定律。5了解进动现象和基本描述。二、内容提要1刚体的基本运动刚体的平动：刚体运动时，在刚体内所作的任一条直线始终保持和自身平行。其特点为：对刚体上任两点和，它们的运动轨迹相似，。因此描述刚体的平动时，可用其上任一质点的运动来代表。刚体的定轴转动：刚体内各质元均作圆周运动，且各圆心在同一条固定不动的直线上。刚体的平面平行运动：刚体上每一质元均在平行于某一固定平面的平面中。2力矩和转动惯量力矩：使刚体产生角加速度的外来作用转动惯量：刚体转动惯性大小的量度对于质量连续分布的刚体转动惯量的平行轴定理：转动惯量的垂直轴定理：3刚体定轴转动定律：刚体所受的外力对转轴的力矩之代数和等于刚体对该轴的转动惯量与刚体的角加速度的乘积、均相对于同一转轴。4刚体定轴转动的动能定理力矩的功：转动动能：动能定理：机械能守恒定律：系统（包括刚体）只有保守力作功时，系统的动能（包括转动动能）与势能之和为常量，即常量5刚体定轴转动的角动量定理及其守恒定律角动量定理：对一固定轴的合外力矩等于刚体对该轴的角动量对时间的变化率，即角动量守恒定律：当时，常量。6刚体的平面平行运动动能：作平面平行运动的动能等于质心的平动动能与刚体绕过质心的瞬时轴的转动动能之和三、例题3-1 一轻绳绕于半径为的圆盘边缘，在绳端施以的拉力，圆盘可绕水平固定光滑轴转动，圆盘质量为，圆盘从静止开始转动，试求（1）圆盘的角加速度及转动的角度和时间的关系。（2）如以质量的物体挂在绳端，再计算圆盘的角加速度及转动的角度和时间的关系。分析 本题是刚体绕定轴转动问题，应用转动定律即可求出圆盘的角加速度，对转动定律积分可求解。解 （1）圆盘所受的合外力矩为对圆盘用转动定律，有因而角加速度为(1)由于，且时，积分（1）式，有得(2)而，且时，积分（2）式，有可得转动角度和时间的关系为（2）设为绳子的张力，对圆盘，由转动定律有(4)对物体，由牛顿定律，有(5)而(6)联立（4）、（5）、（6）式，即可解得转动角度与时间的关系为(7)由，且时，。通过对（7）式积分，即可得转动角度与时间的关系为(8)说明 本题的第二问是典型的刚体与质点连接的联体问题，可采用隔离研究，对质点用牛顿定律，对刚体用转动定律，并注意与（1）问的区别。同时，从（7）式可明显看出，这类问题也可将系统看成一个转动惯量为的刚体，运用转动定律求解。3-2 长为，质量分布不均匀的细杆，其线密度为（、为常量），细杆可绕轴在铅直平面内转动，如图所示，忽略轴的摩擦力，将杆从水平位置释放，试求杆转到铅直位置时，杆所具有的角速度。分析 这是一个刚体绕定轴转动问题。当求细杆重力对轴的力矩时，因杆质量不均匀，要先恰当地求出元力矩，通过积分求，然后采用转动定律形式，积分即可求。解 设时刻杆与垂线间的夹角为，由于杆的质量不均匀，求重力对轴的力矩时，可在杆上取线元，该线元对轴的力矩为对轴的总力矩为 细杆的质量不均匀，因此其对轴的转动惯量为 根据转动定律，有积分变量替换代入上式化简得初始条件时，当转到时，积分上式得说明 本题有多种解法。题中给出了用转动定律求解的方法，也可用动能定理，机械能守恒定律求解。读者可自己考虑。3-3 一均质细杆，长为，质量为，可绕通过一端的水平轴转动，如图。一质量为的子弹以速度射入细杆，子弹射入点离点的距离为，试求（1）杆刚开始运动时的角速度及可摆到的最大角度。（2）求轴上的横向力为零时，子弹射入的位置（即打击中心位置）。分析 子弹射入细杆过程中，子弹、细杆系统角动量守恒；细杆摆动时，机械能守恒，由两守恒定律可求及。子弹射入细杆，细杆轴受力，轴受横向力的冲量应等于子弹、细杆系统动量的改变，横向力时，即可求出打击中心位置。解 （1）子弹射入细杆过程极其短暂，此过程中杆的位置还来不及变化，故子弹和细杆这个系统的重力对定轴无力矩，轴力当然也无力矩，故这个系统在子弹射入过程中对定轴的角动量守恒(1)射入后子弹与杆共同摆动过程中，系统机械能守恒，取子弹射入处为势能零点 (2)联立（1）、（2）可解得杆的角速度及可摆到的最大角度分别为（2）将子弹和细杆视为一个系统，则系统受的外力为，如图，设子弹打在距轴处，根据动量定理 (3)系统对轴角动量守恒，有 因而(4)将（4）式代入（3）式当时，则解此方程得此即打击中心的位置。说明 子弹和细杆组成的系统受到外界对细杆转轴的作用力，故系统动量不守恒，这一点需特别注意，但由于该作用力通过转轴，不产生力矩，系统角动量守恒，并且因该力通过转轴，其力矩的功（实际上也就是力的功）为零，系统机械能守恒，综合角动量守恒，机械能守恒求解本题。另外，打击中心即为使杆在轴处沿打击方向横向力为零时的打击点。3-4 一质量为的子弹，穿过与均匀细杆连接的物体后，速度由减至，设杆可绕过点的固定轴在竖直平面内转动，杆长为，杆与物体的质量均为，如图，开始时，杆与物体静止于铅垂位置，物体的大小可以忽略不计，子弹与物体作用过程极短，试求，欲使物体与杆可以在竖直平面内完成圆周运动，子弹的速度不能小于多少？分析 子弹、物体系统对轴角动量守恒，物体绕轴转动机械能守恒，物体与杆恰能完成圆周运动的条件是其转到垂直位置时的动能为零，由此求解本题。解 假定子弹穿过物体后，物体与杆的角速度为，物体与杆转动过程中，由机械能守恒及物体与杆恰能完成圆周运动的条件，有解得子弹穿过物体，子弹、杆、物体组成系统对轴角动量守恒，因此解得所以说明 本题综合运用角动量守恒和机械能守恒求解，其关键在于分析守恒条件，子弹和细杆组成的系统在细杆转轴处受外力作用，但此力力矩为零，因此其力矩的功也为零，因而角动量、机械能守恒。3-5 如图，有一长度为，质量为的均匀细杆静止水平放在摩擦系数为的水平桌面上，它可绕通过其端点且与桌面垂直的固定光滑轴转动，另一质量为水平运动的小滑块从侧面沿垂直于杆的方向与杆的另一端相碰撞，并被反向弹回，碰撞时间极短。已知小滑块与细杆碰撞前后的速率分别为和，求（1）碰撞后杆绕轴转动的角速度；（2）碰撞后从杆开始转动到停止转动的过程中所需的时间。分析 滑块与细杆碰撞角动量守恒，由此求细杆转动的，此后，细杆受摩擦力矩作用转速逐渐减为零，由摩擦力矩，根据角动量定理即可求出时间。解 （1）以杆和滑块为研究系统。由于碰撞时间极短，杆所受到的摩擦力矩远小于滑块的冲力矩，故可认为合外力矩为零，因此系统的角动量守恒，即(1)解得（2）碰后杆在转动过程中所受的摩擦力矩为(2)由角动量定理得(3)由式（1）、（2）、（3）联立解得说明 本题需注意两点：（1）在处理碰撞问题时，通常因碰撞时间极短，摩擦力矩远小于碰撞产生的冲力矩，角动量守恒；（2）棒各处摩擦力矩不同，首先要写出微元力矩，即，通过积分求摩擦力矩。3-6 如图，两个半径分别为和的圆柱体，转动惯量分别为和，分别可绕其轴转动。最初大圆柱的角速度为，小圆柱不转动，现将小圆柱向右平移，碰到大圆柱后由于摩擦力的作用而被带着转动，最后两圆柱无滑动地各自以恒定角速度沿相反方向转动。试求小圆柱和大圆柱的最终角速度。分析 大圆柱与小圆柱接触后，由于摩擦力矩作用，大圆柱转速减小，小圆柱转速变大，最后稳定。对两圆柱分别应用角动量定理，由两圆柱摩擦力相等，稳定后接触点线速度相等，即可求出稳定后两圆柱角速度。解 两圆柱体从接触到稳定只受摩擦力，其一对摩擦力，对两圆柱体分别应用角动量定理(1)(2)注意到。由（1）、（2）式可得(3)两圆柱稳定后，其接触点线速度相等，即(4)由（3）、（4）式可解得小圆柱最终角速度：，大圆柱最终角速度：。说明 两柱体从开始接触到稳定过程中，均受到外力矩作用，这一外力矩就是摩擦力矩，因此角动量不守恒，只能对两柱体分别使用角动量定理求解。两柱体达到稳定后，两柱体不再有相对滑动。因此，接触点处线速度相同，故可得（4）式。3-7 如图所示，长为的均匀细杆水平地放置在桌面上，质心离桌边缘的距离为，从静止开始下落。已知杆与桌边缘之间的摩擦系数为。试求：杆开始滑动时的临界角。分析 细杆滑动前以点为轴在重力矩作用下转动，细杆质心做以点为圆心的圆周运动，根据转动定律及质心运动定律即可求出点摩擦力与角关系，细杆开始滑动的临界条件为。解 无滑动时，杆绕过点的固定轴做定轴转动，由转动定律有(1)由平行轴定理求细杆绕点转动时的转动惯量(2)无滑动时，杆绕点转动，杆上各点做圆周运动，对质心，由牛顿运动定律得(3)(4)杆绕点转动，只有重力作功，机械能守恒，有得(5)将式（5）代入式（3），并利用式（2），得(6)将式（1）代入式（4），并利用式（2），得(7)开始滑动的临界条件为(8)因此，由式（6）、（7）、（8），有式中为临界角，整理可得说明 在一般涉及转轴对刚体的作用力的问题中，除了要应用转动定律外，一般还要用到质心运动定理，如本题。3-8 一长为的均匀薄窄平板，一端靠在摩擦略去不计的垂直墙壁上，另一端放在摩擦亦略去不计的水平地板上。开始时，木板静止并与地板成角，当松开木板后，木板下滑，试求木板脱离墙壁时，木板与地面间的夹角为多大？分析 木板运动可看成木板质心平动和绕质心的转动，木板下滑过程中，墙壁对其作用力，不作功，机械能守恒，由此可得木板绕质心转动的角速度与角关系：。对木板由质心运动定律结合可得或与的关系。木板脱离墙壁的条件为或，由此求得木板脱离墙壁时与地面的夹角。解 取板初始位置时的质心为坐标原点，建立坐标如图。对木板，由质心运动定理有要使木板脱离墙壁，则即木板在脱离墙壁前受到三个力作用；墙壁给板的作用力，地板给板的作用力和木板重力，如图所示。在任一时刻板质心的位置坐标为(1)(2)因此任一时刻板的质心速度、分别为(3)(4)质心加速度在轴上的分量为 (5)可取板和地球为研究系统，在板下滑过程中，除保守内力外，其余力均不作功，故系统的机械能守恒，有其中将式（3）和式（4）代入上式，得解出将式（2）代入上式，得(6)故(7)将式（6）和式（7）代入式（5），有 当木板脱离墙壁时，即于是可得木板脱离墙壁时，木板与地面间夹角为说明 应用机械能守恒定律时，需注意的是，木板的动能包括质心运动动能和绕质心的转动动能。另外，也应注意木板脱离墙壁的条件或。3-9 将质量为的均匀金属丝弯成一半径为的圆环，其上套有一质量等于的小珠，小珠可在此圆环上无摩擦地运动，这一系统可绕固定在地面上的竖直轴转动，如图所示。开始时，小珠（可看作质点）位于圆环的顶部处，系统绕轴旋转的角速度为，求：当小珠滑到与环心同一水平的处及环的底部处时，环的角速度值，以及小珠相对环和相对地面的速度值。分析 小珠与圆环组成系统绕轴转动角动量守恒，由此可解得小珠滑到、点时圆环的转动角速度、。同时，系统机械能守恒可解得小珠在、点相对圆环的速度、。小珠相对地面速度为两速度合成。解 取圆环、小珠为系统，在小珠下落过程中，系统所受外力对轴的力矩为零，故系统对轴角动量守恒，设小珠落至、处时环的角速度分别为、，则有(1)(2)式中为圆环对轴的转动惯量，圆环绕过中心且垂直环面的轴的转动量为，根据垂直轴定理(3)由（1）（3）式解得(4)(5)取小珠、环及地球为系统，在小珠下落过程中，外力做功为零，系统中又无非保守内力做功，所以系统的机械能守恒。设小珠落至、处时，相对于环的速度分别为、，则有(6)(7)由（4）（7）式，解得小珠在、处相对于环的速度分别为(8)(9)小珠相对于环作圆周运动，所以的方向与轴平行向下，的方向与轴垂直向左。小珠落到处时，环上处相对于地面速度为，方向垂直纸面向里。故小珠在处相对于地面的速度大小为(10)把（4）、（8）式代入（10）式可得环上处相对于地面的速度恒为零，所以小珠在处相对于地面的速度，即为相对于环的速度，故有说明 对于本题要注意，这是一个包含有刚体和质点的系统。实际上对所有的质点系，只要外力对某轴的力矩之和为零，则质点系关于该轴角动量守恒，只要无非保守力作功，系统机械能守恒。3-10 如图，一实心圆柱体在一倾角为的斜面上作无滑动滚动。设摩擦系数为，求使该实心圆柱体只滚不滑时，的取值范围。如果和可调节，能否使圆柱体在无滑下滚过程中质心保持匀速运动。分析 圆柱体无滑下滚过程中，根据质心运动定律及绕质心轴转动定律，结合纯滚条件可解得摩擦力与角关系。纯滚时，摩擦力，由此可限定角取值范围。由上也可得质心与关系并由此可判断无滑下滚过程中质心的运动状态。解 设实心圆柱体的半径为，其对中心轴的转动惯量，其受力如图。质心沿斜面平动（以沿斜面向下为正）有(1)在垂直斜面方向有(2)绕质心的转动有(3)只滚不滑的条件是(4)由（1）、（2）、（3）、（4）式可得(5)(6)欲使物体只滚不滑，则必须有所以(7)即将代入，即得要保证只滚不滑，则由（6）式知(8)由（7）式知(9)从（1）式知(10)将（8）式代入（10）式得此时调节只能改变，但不会为零，故不能使质心以匀速无滑下滚。说明 这是一个典型的刚体平面平行运动。此类刚体的平面平行运动，其运动可看成质心的平动和绕通过质心轴的转动，其求解过程一般为（1）对质心平动应用质心运动定律；（2）对绕过质心轴的转动应用转动定律；然后结合运动的特点求解。其中，对质心运动的分析和描述非常重要。3-11 三个质量都为的小球，和小球分别固定于一长为的刚性轻质（其质量可忽略不计）细杆两端，并置于光滑水平面上，小球以速度与小球对心弹性碰撞，与方向夹角为。求碰后（1）棒的角速度；（2）小球损失的动能。分析 取球与由细杆相连的、球为系统，碰撞前后系统动量守恒，对质心角动量守恒，同时动能守恒，由三守恒定律即可求棒绕质心转动的角速度，而小球碰撞前后的速度也可求出，从而可求球损失的动能。解 （1）由、三小球组成的系统，在碰撞过程中，系统的角动量、动能和动量都守恒。和对心碰撞，设其碰后速度为，显然与在同一直线上，同时设碰后，质心速度为，转动角速度为，则角动量守恒（对质心）。(1)动能守恒(2)动量守恒(3)化简以上三式得(4)(5)(6)由（4）、（6）两式得(7)联立（5）、（6）两式，并考虑到（7）式得(8)将（8）代入（4）式即得棒的角速度为（2）小球损失的动能为而则而为小球原有的动能。因而，可见小球D损失的动能为原有动能的。说明 小球和细杆组成的系统不受外力，当然也不受外力矩作用，因而动量、角动量守恒，同时小球的碰撞为弹性碰撞，动能也守恒。需要注意的是在刚体定轴转动中，由于刚体受轴的作用力，刚体的动量一般不守恒，但本题无此轴力的作用。同时，从结果我们可看出细杆既作平动（以质心速度表示），又作绕质心的转动，转动角速度为。3-12 如图所示，将一个质点沿一个半径为的光滑半球形碗的内面水平地投射，碗保持静止。设是质点恰好能达到碗口所需要的初速率。试求出作为的函数，是用角度表示的质点的初位置。分析 质点运动过程中，对轴角动量守恒，同时机械能也守恒，由两守恒定律可求解本题。解 设小球于点以投射，此时对轴的角动量为其中则当质点到达碗口时，角动量为由于小球所受的力与轴在同一平面内，则合外力矩，所以角动量守恒。即又全过程中仅重力作功，机械能守恒 所以说明 由此题可以看出，用守恒定律求解题非常方便。3-13 如图，半径为的乒乓球，绕质心轴的转动惯量，为乒乓球的质量，以一定的初速度在粗糙的水平面上运动，开始时球的质心速度为，初角速度为，两者的方向如图所示，已知乒乓球与地面之间的摩擦系数为，试求乒乓球开始作纯滚运动所需的时间及纯滚时的质心速度。分析 乒乓球在整个运动过程中都受到摩擦力作用，大小为是定值，方向向左。开始时，乒乓球质心向右运动且绕质心逆时针转动，摩擦力阻止质心运动的同时也阻止其绕质心逆时针转动，使质心速度和角速度越来越小。若质心初速度较大时，当减为零时，质心速度还末为零，乒乓球继续向右运动，此时在摩擦力作用下，乒乓球开始顺时针转动，因此时顺时针转动的较小，乒乓球还是又滚又滑。此后，由于摩擦力作用，质心速度继续减小，但同时顺时针转动的角速度不断增大，直到满足条件时，乒乓球开始纯滚运动，因此，利用质心运动定理和转动定律即可求解乒乓球开始作纯滚运动所需时间及纯滚时质心速度，另外，也可在选择好恰当参考点下，用角动量守恒定律可求出纯滚时质心的速度，进而求出纯滚所需时间。解法一 如图的水平向右为质心速度的正方向，设如图的逆时针转动为角速度的正方向，在球又滚又滑阶段，滑动摩擦力为定值，由质心运动定理，有初条件为时，代入积分上式得(1)由转动定律初条件为时，代入积分上式得(2)又因纯滚条件为(3)设达到纯滚的时间为，负号表示纯滚时，乒乓球滚动方向与规定方向相反，把（1）、（2）式，代入（3）式，得将代入得把代入（1）式，得出开始纯滚时质心速度为 解法二 利用角动量守恒定律。如图，取开始时乒乓球与地面的接触点为参考点，设角动量的正方向为垂直图面向里，因乒乓球不受外力矩，故角动量守恒，球对参考点的角动量等于质心角动量与绕质心轴的角动量的矢量和。开始时的角动量为，开始纯滚时的角动量为，由角动量守恒，有即因纯滚时满足条件故纯滚时的质心速度满足即设达到纯滚所需时间为，则因即故从上可知，当，即时，即球达到纯滚后质心继续向右运动，顺时针转动，当时，即球达到纯滚后质心向左运动，逆时针转动。说明 对于刚体的平面平行运动，我们总是将其分为质心的平动及绕质心的转动两部分，本题也不例外。质心的平动应用质心运动定律，转动应用转动定律，加上运动的特殊约束（如本题的纯滚）就可求解一般的刚体平面运动问题。本题中的解法二巧妙选择了参考点，用角动量守恒也同样可求解。四、习题3.1 如图，用实验方法测定飞轮对于其转轴的转动惯量。飞轮的半径为，今在飞轮上绕一细绳，绳的末端挂一质量为的重锤，让重锤自高度处落下，测得下落时间，为消除轴承摩擦所引起的摩擦力矩的影响，再用质量为的重锤作第二次试验。此重锤自同一高度处下落的时间为，假设摩擦力矩是个常量，与重锤的重量无关，求飞轮的转动惯量。3.2 如图所示，一质量为的均质方形薄板，其边长为，铅直放置着，它可以自由地绕其一固定边转动。若有一质量为，速度为的小球垂直于板面碰在板的边缘上。设碰撞是弹性的，试分析碰撞后，板和小球的运动情况。3.3 以力将一块粗糙平面压在轮上，平面与轮之间的滑动摩擦系数为，轮的初角速度为，问转过多少角度时轮即停止转动？已知轮的半径为R，质量为，可看作均质圆盘，轴的质量不计。3.4 两轮、分别绕通过其中心的垂直轴同向转动，角速度分别为，。已知两轮的半径与质量分别为，试求两轮对心衔接（即啮合）后的角速度。3.5 一质量为，半径为的圆盘形转台以角速度绕过中心且垂直台面的轴转动，转轴的摩擦略去不计，有一质量为的蜘蛛垂直地落在转台的边缘上。试求：（1）转台新的角速度为多少？（2）若蜘蛛慢慢地爬向转台中心，当蜘蛛离转台中心的距离为时，转台的角速度为多少？3.6 质量为，长为的一根棒，可在竖直平面内自由运动，如图。假如棒在水平线上方角的位置从静止开始运动，试计算当棒摆过水平方向时作用于支点的力。3.7 一根长，质量为的均质细杆竖直在地面上，如果此杆以下端接地处为转轴转动而倒下，如图所示，则杆的上端到达地面时速率为多少？3.8 半径为，质量为的匀质圆盘以匀角速度绕通过盘心，垂直盘面的水平轴转动，圆盘边缘绕有轻绳，绳的下端系着一个放在地面上的质量为的物体，起初绳是松驰的，试求绳被拉紧后物体上升的最大高度。3.9 如图所示，一具有圆形周边，质量对其中心对称分布的物体（如实心圆柱体、空心圆筒、球等），在一倾角为的斜面上无滑滚动。设摩擦系数为，求使该物体只滚不滑时，的取值范围，并讨论空心圆筒、实心圆柱体和球等具体情况。3.10 在光滑的桌面上有一质量为，长的细杆，一质量为的小球沿桌面以速率垂直地撞击在细杆的一端（如图）。设碰撞是完全弹性的，求碰后球和杆的运动情况。在什么条件下细杆旋转半圈后会第二次撞在小球上。3.11 如图两个完全相同的均匀球，球的质量均为，一个球无滑动地作水平滚动，以速度撞向另一个静止的小球，假定摩擦力足够小，使得它在碰撞过程中的作用可以忽略，而碰撞可以看成是完全弹性的。（1）在碰撞后足够长的时间之后，每个球又作无滑动的滚动，试求这时每个球的速度。（2）初始能量中由于摩擦力而转换为热能的比率是多少？3.12 如图所示，均匀细杆长，可绕通过中心的固定水平轴在铅垂面内自由转动。开始时，细杆静止于水平位置，一质量与细杆相同的蜘蛛以速度垂直落到细杆的长度处，落下后立即向端点爬去，试问：（1） 为使细杆以匀角速度转动，蜘蛛沿细杆爬行的速度应是多少？（2） 为使蜘蛛在细杆转到铅直位置前能爬到端点，蜘蛛下落的速度最大值是多少？