三角函数的奇偶性与单调性.doc
3.3三角函数的奇偶性与单调性【知识网络】1正弦、余弦、正切函数的奇偶性、对称性；正弦、余弦、正切函数的的单调性【典型例题】例1(1) 已知，函数为奇函数，则a（）（A）0（B）1（C）1（D）±1(1)A 提示：由题意可知，得a=0（2）函数的单调增区间为()A BC D(2)C 提示：令可得（3）定义在R上的函数既是偶函数又是周期函数，若的最小正周期是，且当时，则的值为 ( )A. B. C. D. (3)B 提示：（4）如果是奇函数，则 (4)由（）已知函数满足以下三个条件： 在上是增函数以为最小正周期是偶函数试写出一满足以上性质的一个函数解析式(5)提示：答案不唯一，如还可写成等例2判断下列函数的奇偶性（）； (2 ) ； (3 ) ； (4 ) 解：（1）的定义域为，故其定义域关于原点对称，又为奇函数（2）时，而， 的定义域不关于原点对称，为非奇非偶函数。（3）的定义域为R，又 为偶函数。（4） 由得，又 ，故此函数的定义域为 ，关于原点对称，此时 既是奇函数，又是偶函数。例3已知:函数 (1)求它的定义域和值域； (2)判断它的奇偶性； (3)求它的单调区间； （4）判断它的周期性,若是周期函数,求它的最小正周期.解:(1).由 定义域为, 值域为(2).定义域不关于原点对称,函数为非奇非偶函数（3）的递增区间为 递减区间为(4).是周期函数,最小正周期T.例4已知函数，求:(I) 函数的最大值及取得最大值的自变量的集合；(II) 函数的单调增区间解(I)当,即时, 取得最大值.函数的取得最大值的自变量的集合为. (II) 由题意得: 即: 因此函数的单调增区间为.【课内练习】1函数f(x)=sin(2x+)+cos(2x+)的图像关于原点对称的充要条件是 （）A=2k，kZ B=k，kZ C=2k，kZ D=k，kZ1D 提示： 令可得2在中，若函数在0，1上为单调递减函数，则下列命题正确的是（A） （B）（C） （D）2C 提示：根据所以3.同时具有性质“ 最小正周期是； 图象关于直线对称； 在上是增函数”的一个函数是( ) A B C D 3D 提示：由性质(1)和(2)可排除 A和C ,再求出的增区间即可4设函数，若，则下列不等式必定成立的是 （）A B C D 4B提示：易知，且当x时，为增函数又由，得，故 |，于是5.判断下列函数奇偶性（1）是 ；（2）是 ； （3）f（x）=是 5（1）偶函数（）非奇非偶函数（）奇函数提示：先判断函数的定义域是否关于原点对称，然后用奇函数和偶函数的定义判断6.若是以5为周期的奇函数，且，则= 6 -4 提示：五个函数中，同时满足且的函数的序号为7提示：不满足不满足8求下列函数的单调区间.(1) (2) 解:(1).原函数变形为令,则只需求的单调区间即可.,()上即,()上单调递增,在,上即,上单调递减故的递减区间为:递增区间为:. (2)原函数的增减区间即是函数的减增区间,令由函数的图象可知:周期且 在上,即上递增, 在即在上递减故所求的递减区间为,递增区间为()已知为奇函数，且当时，（） 当时，求的解析式；（） 当时，求的解析式解：（）当时，则，又为奇函数，所以（） 当时，为奇函数，所以由（）知10已知函数是上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上是单调函数，求的值解：由是上的偶函数，得，即，展开整理得：，对任意都成立，且，所以又，所以由的图象关于点对称，得取，得，所以，所以，即；综上所得，作业本A组函数y=xcosx的部分图象是（）1.D提示：y=xcosx为奇函数，且当.2函数y=2sin（2x）（x0，）为增函数的区间是 （ ）A.0，B.， C.， D.，2C提示：由y=2sin（2x）=2sin（2x）其增区间可由y=2sin（2x）的减区间得到，即2k+2x2k+，kZ.k+xk+，kZ.令k=0，故选C.若是周期为的奇函数，则可以是 （ ）A.sinxB.cosxC.sin2xD.cos2x3B4.已知，则4-17 提示:5已知的一条对称轴为轴,且.求= .5提示：由可得已知函数（1）画出的图象，并写出其单调区间、最大值、最小值；（2）判断是否为周期函数.如果是，求出最小正周期.解：（1）实线即为的图象.单调增区间为2k+，2k+，2k+，2k+2（kZ），单调减区间为2k，2k+，2k+，2k+（kZ），f（x）max=1，f（x）min=.（2）f（x）为周期函数，T=2.7.比较下列各组中两个值的大小：（1），；（2），解：（1），又及在内是减函数，可得（2），而在上递增，8.是定义在上的偶函数，当时，；当 时，的图象是斜率为，在轴上截距为2的直线在相应区间上的部分.（1）求，的值；（2）求的解析式，并作出图象，写出其单调区间.解：（1）当x（，2时，y=f（x）=x2，又f（x）是偶函数，f（2）=f（2）=2.又x0，时，y=f（x）=cosx，f（）=f（）=.（2）y=f（x）=单调增区间为，0，2.单调减区间为2，0，。 B组1函数是奇函数的充要条件是（ ）ABCD1D 提示：由奇函数的定义可得2函数y = xcosxsinx在下面哪个区间内是增函数 （ ）A.（，） B.（，2） C.（，） D.（2，3）2B 提示：利用导数判断3设是一个钝角三角形的两个锐角，则下列四个不等式中不正确的是（A） （B） （C） （D）3D 提示：取特值，如取4给出下列命题：正切函数的图象的对称中心是唯一的；y=|sinx|、y=|tanx|的周期分别为、；若x1x2，则sinx1sinx2；若f（x）是R上的奇函数，它的最小正周期为T，则f（）=0.其中正确命题的序号是_. 4 提示：正切函数的对称中心是；y=|sinx|、y=|tanx|的周期都是正弦函数在定义域上不是单调函数；5设函数。若是奇函数，则_5 提示 由可得6已知函数(1) 这个函数是否为周期函数?为什么?(2) 求它的单调增区间和最大值.解:(1)是以为周期的周期函数.(2) 当时,增区间为,最大值为;当,增区间为,最大值为7.设函数，图象的一条对称轴是直线(1) 求;(2) 求函数的单调增区间;(3) 证明直线与函数的图象不相切.解:(1)是函数的图象的一条对称轴 (2)由(1)知,因此 由题意得 所以函数 的单调增区间为.(3)证明:,所以曲线的切线斜率取值范围为-2,2,而直线的斜率为,所以直线与函数的图象不相切.8已知偶函数的最小值是0，求的最大值及此时的集合解：因为是偶函数，所以对任意，都有即即，所以由解得或此时，当时，最大值为，不合题意最小值为，舍去；当时，最小值为，符合题意，故当时，有最大值为，自变量的集合为
