东北师大附属中学高三第一轮复习导学案平面向量的概念与线性运算.docx
平面向量概念与线性运算(教案)A一、 知识梳理：1. 向量的有关概念(1).向量:既有 ,又有 的量叫向量;通常记为 ;长度为 的向量是零向量,记作: ; 的向量,叫单位向量.(2).平行向量(或共线向量)记作: ;规定:零向量与任何向量 .(3).相等向量:(4).相反向量:2.向量 加法与减法(1).向量加法按 法则或 法则;向量加运算律:交换律: ;结合律: (2).向量减法作法:3.实数与向量的积(1). 实数与向量a的积是一个向量,记作a,它的长度与方向规定如下：长度： 方向： (2)运算律 4.共线定理:5.平面向量基本定理:6.基底: 二、题型探究探究一：平面向量的基本概念例1给出下列命题：若|，则=；若A，B，C，D是不共线的四点，则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；若=，=，则=；=的充要条件是|=|且/； 若/，/，则/；其中正确的序号是 。 解析：（1）不正确两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同；正确； ， 且，又 A，B，C，D是不共线的四点， 四边形 ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则，且，因此，。正确； =， ，的长度相等且方向相同；又， ，的长度相等且方向相同， ，的长度相等且方向相同，故。 不正确；当/且方向相反时，即使|=|，也不能得到=，故|=|且/不是=的充要条件，而是必要不充分条件； 不正确；考虑=这种特殊情况； 综上所述，正确命题的序号是。点评：本例主要复习向量的基本概念。向量的基本概念较多，因而容易遗忘。为此，复习时一方面要构建良好的知识结构，另一方面要善于与物理中、生活中的模型进行类比和联想。例2：设为单位向量，（1）若为平面内的某个向量，则=|·(2) 若与a0平行，则=|·；（3）若与平行且|=1，则=。上述命题中，假命题个数是（ ）A0B1C2D3解析：向量是既有大小又有方向的量，与|模相同，但方向不一定相同，故（1）是假命题；若与平行，则与方向有两种情况：一是同向二是反向，反向时=|，故（2）、（3）也是假命题。综上所述，答案选D。点评：向量的概念较多，且容易混淆，故在学习中要分清，理解各概念的实质，注意区分共线向量、平行向量、同向向量等概念。探究二：平面向量的线性运算例2：如图所示，已知正六边形ABCDEF，O是它的中心，若=，=，试用，将向量， 表示出来。（1）解析：根据向量加法的平行四边形法则和减法的三角形法则，用向量，来表示其他向量，只要考虑它们是哪些平行四边形或三角形的边即可。因为六边形ABCDEF是正六边形，所以它的中心O及顶点A，B，C四点构成平行四边形ABCO，所以，=，= =+，由于A，B，O，F四点也构成平行四边形ABOF，所以=+=+=2+，同样在平行四边形 BCDO中，()2，。点评：其实在以A，B，C，D，E，F及O七点中，任两点为起点和终点，均可用 ，表示，且可用规定其中任两个向量为，另外任取两点为起点和终点，也可用，表示。探究三：平面向量共线定理例3：如图所示,ABC中,点M是BC的中点,点N在AC边上,且AN=2NC,AM与BN相交于点P,求AP：PM的值.解:设=e1, e2,则=-3e2-e1, 2e1+e2,APM和BPN分别共线,存在R,使=-e1-3e2, =2e1+e2.故=(+2)e1+(3+)e2,而2e1+3e2,由平面向量基本定理得，即AP:PM=4:1.三、方法提升1、向量的线性运算可以结合图形，利用三角形法则或平行四边形法则，特别是有向线段表示向量运算时，要利用“首尾相接”或“起点相同”来化简；2、证明三点共线问题，可用向量共线定理来解决。四、反思感悟 五、课时作业1.(2010四川)设点M是线段BC的中点,点A在直线BC外, =16,|则|=( )A.8 B.4 C.2 D.1解析:由可知,则AM为RtABC斜边BC上的中线,因此,|选C.2.已知ABC中,点D在BC边上,且则r+s的值是( ) C.-3 D.0解析: 又r=,r+s=0.故选D.3.平面向量a,b共线的充要条件是( )A.a,b方向相同 B.a,b两向量中至少有一个为0C.存在R,使b=a D.存在不全为零的实数1,2,使1a+2b=0解析:a,b共线时,a,b方向相同或相反,故A错.a,b共线时,a,b不一定是零向量,故B错.当b=a时,a,b一定共线,若b0,a=0.则b=a不成立,故C错.排除A、B、C,故选D.4.已知OAB是平面上的三个点,直线AB上有一点C,满足则等于( )解析:故选A.5.设DEF分别是ABC的三边BC、CA、AB上的点,且则与A.反向平行B.同向平行 C.不平行D.无法判断解析:故选A.6.已知a,b是不共线的向量, =a+b, =a+b,(,R),那么A、B、C三点共线的充要条件为()A.+=2 B.-=1 C.=-1 D.=1解析:对充要条件的问题,要注意从充分性和必要性两个方面进行分析论证.由A、B、C三点共线a+b=ma+mb(-m)a=(m-1)b.因为a,b不共线,所以必有故可得=1.反之,若=1,则=所以 (a+b)=所以A、B、C三点共线.故选D.7、关于非零向量a ，b ，有下列四个命题 “|a|+|b |=|a+b|”的充要条件是“a 与b方向相同”； “|a|+|b |=|a-b|”的充要条件是“a 与b方向相反”； “|a|+|b |=|a-b|”的充要条件是“a 与b有相等的模”；“|a|-|b |=|a-b|”的充要条件是“a 与b方向相同”；其中真命题的个数是（A） 1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个二填空题:(本大题共4小题,每小题6分,共24分,把正确答案填在题后的横线上.)8.若点O是ABC所在平面内的一点,且满足,则ABC的形状为_.解析:故ABC为矩形的三个顶点,ABC为直角三角形.答案:直角三角形9.在平行四边形ABCD中,EF分别是边CD和BC的中点,若=+u其中,uR,则+u=_.解析:设则=b-a,代入条件得=u=,+u=.答案:10.如图,平面内有三个向量其中与的夹角为120°,与的夹角为30°,且|=|=1,| |=,若= (,R),则+的值为_解析:过C作与的平行线与它们的延长线相交,可得平行四边形,由BOC=90°,AOC=30°,|,得平行四边形的边长为2和4,故+=2+4=6.答案:611.如图,在ABC中,点O是BC的中点,过点O的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N,若则m+n的值为_.解析:由于MN的任意性可用特殊位置法:当MN与BC重合时知m=1,n=1,故m+n=2.答案:212、已知O、G、H在ABC所在的平面内，且|OA|=|OB|=|OC|，GA+GB+GC=0 ，HAHB=HBHC=HAHC ，则点O、G、H分别是ABC的 心， 心， 心。13、已知点D在ABC的边BC上，且BD=DC ，设AB=a ，BC=b ，证明：AD=a+b1+ 。
