《高等数学》课程复习大纲.doc

高等数学学位课程学习资料继续教育学院高等数学学位课程复习大纲一、考试要求本课程是一门专业课，要求学生在学完本课程后，能够牢固掌握本课程的基本知识，并具有应用所学知识说明和处理实际问题的能力。据此，本课程的考试着重基本知识考查和应用能力考查两个方面，包括掌握、理解、应用三个层次。各层次含义如下：掌握：指学习后应当记住的内容，包括概念、原则、方法的含义等。这是最低层次的要求。理解：指在掌握的基础上，全面把握基本概念、基本原则、基本方法，并能表达其基本内容和基本原理，能够分析和说明相关问题的区别与联系。这是较高层次的要求。应用：指能够用学习过的知识分析、计算和处理涉及一两个知识点或多个知识点的问题，包括简单应用和综合应用。二、考试方式闭卷笔试，时间120分钟三、考试题型选 择 题：9 填 空 题：21 计 算 题：56 应 用 题：8证 明 题：6四、考核的内容和要求（基本要求、重点、难点）（一）函数、极限、连续基本要求：理解函数的概念，了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性，理解复合函数的概念，了解反函数的概念，掌握基本初等函数的性质及其图形，会建立简单实际问题中的函数关系式。理解极限的概念，掌握极限的四则运算法则，会用两个重要极限（）求极限，了解无穷小、无穷大，以及无穷小的阶的概念，会用等阶无穷小求极限。理解函数在一点连续的概念，了解间断点的概念，并会判断间断点的类型，了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质（介值定理和最大、最小值定理）。重 点：函数的概念、性质；等价无穷小的概念；极限的运算；连续的性质。难 点：函数的记号及所涉及到的函数值的计算；极限中一些定理的论证方法；极限存在性的判定，连续性的判断。（二）一元函数微分学基本要求：理解导数和微分的概念，理解导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间的关系。掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，了解微分四则运算法则和一阶微分形式不变性。了解高阶导数的概念，会求简单函数高阶导数。会求隐函数和参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数。理解罗尔（Rolle）定理和拉格朗日（Lagrange）定理。理解函数的极值概念，并掌握运用导数判断函数的单调性和求极值的方法。会用导数判断函数图形的凹凸性；会求拐点；会求水平和铅直渐近线。会求简单的最大值和最小值的应用问题。会用罗必塔（L¢hospita）法则求未定式的极限。重 点：导数和微分计算；基本初等函数的求导公式；隐函数和参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数。函数高阶导数求法；罗尔（Rolle）定理和拉格朗日（Lagrange）定理的运用；用导数判断函数的单调性和求极值；罗必塔（L¢hospita）法则求未定式的极限。难 点：复合函数的求导法；隐函数和参数方程所确定的函数的导数。中值有关问题。（三）一元函数积分学基本要求： 掌握原函数和不定积分的概念，理解不定积分的基本性质，掌握基本积分公式，掌握定积分的概念和基本性质，了解定积分中值定理，了解积分上限的函数及其导数，掌握牛顿莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式，理解不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法，了解反常(广义)积分，定积分的应用（重点几何应用）。重 点：不定积分的基本公式，换元积分法与分部积分法。用定积分计算面积、体积、弧长。难 点：分部积分法、反常积分计算法、变上限函数及其求导。定积分的应用。（四）空间解析几何与向量代数基本要求： 理解空间直角坐标系、理解向量的概念及其表示。掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积），了解两个向量垂直、平行的条件。掌握单位向量，方向余弦、向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向量运算的方法。掌握平面的方程和直线的方程及其求法，会利用平面、直线的相互关系解决有关问题。理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，了解以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。了解空间曲线的参数方程和一般方程。了解曲面的交线在坐标平面上的投影。重 点：向量的运算（线性运算、数量积、向量积）；两个向量垂直、平行的条件；向量方向余弦、向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向量运算；平面的方程和直线的方程及其求法。难 点：平面的方程和直线的方程及其求法。（五） 多元函数微分法及其应用基本要求： 理解多元函数的概念，了解二元函数的极限与连续性的概念，以及在有界域上连续函数的性质。理解偏导数和全微分的概念。掌握复合函数一阶偏导数的求法，会求复合函数的二阶偏导数。会求隐函数的偏导数，理解曲线的切线和法平面及曲面的切平面与法线，并会求它们的方程。理解多元函数极值和条件极值的概念，会求二元函数的极值，了解求条件极值的拉格朗日乘数法，会求一些简单的最大值和最小值的应用问题。重 点：计算二元函数的偏导数和全微分；复合函数一阶偏导数和二阶偏导数的求法；隐函数的偏导数求法；曲线的切线和法平面及曲面的切平面与法线的求法，二元函数的极值。难 点：复合函数的二阶偏导数；求隐函数的偏导数。（六）多元函数重积分学基本要求： 掌握二重积分与三重积分的概念、性质、计算和应用，理解两类曲线积分的概念、性质及计算，了解两类曲线积分的关系，掌握格林(Green)公式。重 点：二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标），格林（Green）公式。难 点：三重积分的计算方法（直角坐标、柱面坐标、球面坐标），两类曲线积分的计算。(七) 无穷级数基本要求： 理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数基本性质及收敛的必要条件。掌握几何级数和p-级数的收敛性。了解正项级数的比较审敛法，掌握正项级数的比值审敛法。了解交错级数的莱布尼兹定理。了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系。了解函数项级数的收敛及和函数的概念。掌握比较简单的幂级数收敛区间的求法。了解幂级数在收敛区间内的一些基本性质。会利用ex 、sinx、cosx、ln(1+x)和(1+x)n的麦克劳林(Maclaurin)展开式将一些简单函数间接展开成幂级数。重 点：无穷级数收敛、发散的判断，幂级数收敛区间的求法（区间端点的收敛性不作要求），简单幂级数的和函数。难 点：任意级数的绝对收敛与条件收敛的判别，函数展开成幂级数。（八）常微分方程基本要求： 了解微分方程、解、通解、初始条件和特解等概念。掌握变量可分离的方程的解法。会解齐次方程和伯努利(Bernoulli)方程并从中领会用变量代换求解方程的思想。会用降阶法解方程：、和。理解二阶线性微分方程解的结构。掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并了解高阶常系数齐次线性微分方程的解法。会求自由项形如：的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解。会用微分方程解一些简单的几何问题。重 点：掌握变量可分离的方程及一阶线性方程的解法；二阶常系数非齐次线性微分方程的解法。难 点：降阶法解方程：和；自由项形如：的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解；用微分方程解一些简单的几何问题。五、参考教材1、同济大学应用数学系编，高等数学（第五版，第六版），高等教育出版社。2、马志敏主编，高等数学附册高等数学学习辅导与习题选解，高等教育出版社。六、复习样题1、求下列函数的定义域：（1）；（2）若的定义域为0，1，求函数的定义域。2、求函数的间断点并判断其类型。3、若在上连续，且存在，证明在上有界。4、若函数在上连续，且，试证明至少存在一个，使得。5、计算下列极限：（1）；（2）；（3）；（4）。6、若，存在，求。7、研究函数在处的连续性与可导性。8、求下列函数的导数及微分：（1）；（2）。9、设是由方程确定的隐函数，求。10、设，求。11、若曲线由方程确定，求曲线在处的切线方程和法线方程。12、设函数在上可导，且，在（0，1）内。证明在（0，1）内有且有一点，使得。13、试确定a，使函数处取得极值，并问是极大值还是极小值？求该极值。14、求曲线的凹凸区间及拐点。15、设函数在上二阶导数连续，且。令（1）确定的值，使在上二阶导数连续；（2）证明对（1）所确定的值在上一阶导数连续。16、某煤油厂需要制作一批容积为V的带盖的圆柱形油桶，试问如何选择油桶的尺寸才能使用料最省？17、已知，求。18、计算极限：。19、设函数在上连续，且。令。证明：（1）；（2）在上有且只有一个实根。20、设函数在上连续，求，使满足：。21、计算曲线与所围的面积（含轴正向部分）。22、已知曲线与直线在点处相切，其中。（1）求之值，使曲线，所围面积最小；（2）对于所求之值，求。23、过点作抛物线的切线，该切线与上述抛物线及轴围成一平面图形，求此平面图形绕轴旋转一周所得的旋转体的体积。24、求曲线的全长。25、计算下列积分：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）。26、设a+3b和7a5b垂直，a4b和7a2b垂直，求非零向量a与b的夹角。27、设M1(2，3，1)，M2(1，1，3)，求向量的模及方向余弦、方向角。28、已知的三个顶点的坐标分别为：A(1，2，3)、B(3，4，5)、C(2，4，7)。求：(1)的面积；(2)所在的平面方程；(3)AB边上的中线CD所在的直线方程。29、求平行于平面且与坐标平面所构成的四面体的体积为1个单位的平面方程。30、分别写出满足下列条件的直线方程：(1)经过点(1，0，3)且垂直于平面；(2)经过点(2，1，5)且平行于y轴；(3)经过点(4，3，2)且与两平面和都平行。31、设，求。32、求函数的二阶偏导数。33、求函数的全微分。34、设，求常数a，使.35、设，求。36、求空间曲面处的切平面方程和法线方程。37、求空间曲线：处的切线方程和法平面方程。38、求内接于半径为a的球，且有最大体积的长方体。39、计算下列积分：（1）计算，其中是由直线所围成的闭区域。（2）交换累次积分及积分次序。（3）计算。（4）计算，其中是由三个坐标面及平面x+y+z=1所围成的有界闭区域。（5）计算，其中为与所围成的空间闭区域。（6）,其中为圆周、直线及轴在第象限中所围的闭区域的边界。（7）计算，其中L为抛物线上从点的一段有向曲线弧。（8）计算，其中为常数，L为由点到原点的上半圆周。40、计算旋转抛物面分球面的三部分之比？41、判断下列级数是否收敛？是绝对收敛还是条件收敛？（1）；（2）；（3）为常数，；（4）。42、求下列幂级数的收敛区间：（1）；（2）。43、求下列级数的和函数：（1）；（2）。44、将下列函数展开成幂级数：（1），；（2）。45、解下列方程：（1）；（2），（3），；（4）；（5）。46、设二阶导数连续，且满足方程，求。