最大值最小值问题.doc

3.2导数在实际问题中的应用3.2.2最大值、最小值问题【课前自主预习】【学习目标】1.掌握最大值与最小值的概念；2.理解掌握最值与极值的区别与联系；3.能够利用导数去求函数的最值1.有关函数的最值问题。（重点）2.最值常与函数的极值以及函数的值域等结合考察。（难点）。3.最值与函数的极值。（易混点）【学习脉络】请沿着以下脉络预习：最值的定义利用导数求最值最值与极值的关系 从最值与极值的概念出发，思考最值与极值区别与联系【自主预习】1、最大值、最小值的概念： . .2、设函数在上连续，在内可导，则求在上的最大值与最小值的步骤如下： . .答案提示：1、参考课本2、求在内的极值；将的各极值与、比较得出函数在上的最值。【预习自测】1下列说法正确的是( )A函数的极大值就是函数的最大值 B函数的极小值就是函数的最小值C函数的最值一定是极值 D在闭区间上的连续函数一定存在最值解析:D;2函数y=f(x)在区间a,b上的最大值是M，最小值是m,若M=m,则f(x) ( )A等于0B大于0 C小于0D以上都有可能解析:A;3.设y=|x|3,那么y在区间3，1上的最小值是 .解析:1;4. 已知函数在区间上的最大值与最小值分别为，则 .解析:32; 解得： 为极大值，为极小值。计算 ， 5. 求在区间上的最大值与最小值解：令，解得列表：递减递增从上表可知，函数的最大值是，最小值是【课堂合作探究】知能点一：函数在区间上的最值问题。【指点迷津】函数在给定区间上连续可导，必有最大值和最小值，因此，在求闭区间上函数的最值时，只需求出函数在开区间内的极值，然后与端点处函数值进行比较即可【典型例题】例1求下列函数的最值： (1)； (2)【思路分析】利用求最值的一般步骤,要注意应用适当的计算方法,保证运算的正确性.【解析】(1)，令，得，又(2)，令，得，又【规律小结】(1)准确求导; (2)研究函数的单调性,正确的求出极值及端点值 (3)比较大小,有时需要讨论【知一反三】1、函数的最大值为（ ）A B C D解析: A;2、求函数的最值.解析:函数定义域为，当时，令，解得，又，知能点二：通过最值求参数的取值范围 【指点迷津】由于参数的取值范围不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值得变化；可以从导函数值为零时自变量的大小或通过比较函数值的大小等方面进行参数分解的确定。【典型例题】设，函数若函数，在处取得最大值，求的取值范围【思路分析】利用求最值的方法确定a的值，注意对a的讨论【解析】解：由题设，当在区间上的最大值为时，即故得反之，当时，对任意，而，故在区间上的最大值为综上，的取值范围为 【规律小结】若函数的最大值中含有参变量，需对参数进行讨论。【知一反三】1、已知t为常数，函数在区间0，3上的最大值为2，则t=_。解析：1；2.已知是实数，函数。求在区间上的最大值。解析：令，解得，当，即时，在上单调递增，从而当，即时，在上单调递减，从而当，即时，在上单调递减，在上单调递增，从而综上所述， 【课时训练】1函数y=，在1，1上的最小值为( )A0B2 C1D解析：A；2函数y=的最大值为( )AB1 CD解析： A；3.函数在区间上的最小值为（ ）A B C D解析：D； 得而端点的函数值，得4设f(x)=ax36ax2+b在区间1，2上的最大值为3，最小值为29，且a>b,则( )Aa=2,b=29Ba=2,b=3 Ca=3,b=2 Da=2,b=3解析：B；5. 设，当时，恒成立，则实数的取值范围为 。解析：； 时，6.函数上的最大值是 .最小值是 .解析:,0;7. 在区间上的最大值与最小值解析：令，解得，列表：递增递减递增从上表可知，函数的最大值是，最小值是8. 设，函数的最大值为，最小值为，求常数，解析：，解得，列表：递增递减递增由表格可知，所以，所以的最大值为，所以又，所以的最小值为，所以【百尺竿头】已知为正实数，且满足关系式，求的最大值解析:解法一：，由解得设当时， 令，得或（舍），又，函数的最大值为即的最大值为解法二：由得，设，设，则 令，得或，此时即当时，【规律小结】进行一题多解训练，是一种打开思路，激发思维，巩固基础，沟通联系的重要途径，但要明确解决问题的策略、指向和思考方法，需要抓住问题的本质，领悟真谛，巧施转化，方可快捷地与熟悉的问题接轨，在实现转化的过程中，关键是要注意变量的取值范围必须满足题设条件，以免解题陷于困境，功亏一篑【备课百宝箱】对数函数中导数的应用【高考目标定位】一、考纲点击（1）理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用。（2）理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点。（3）知道对数函数是一类重要的函数模型。（4）了解指数函数y=ax与对数函数互为反函数（）二、热点提示（1）对数函数在高考的考查中，重点是图象、性质及其简单应用，同时考查数学思想方法，以考查分类讨论、数形结合及运算能力为主。（2）以选择、填空的形式考查对数函数的图象、性质；也有可能与其他知识结合，在知识交汇点处命题，以解答形式出现，属中低档题。【考纲知识梳理】一、对数的概念（1）对数的定义如果，那么数叫做以为底，的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数。（2）几种常见对数表格 1对数形式特点记法一般对数底数为常用对数底数为10自然对数底数为e 2、对数的性质与运算法则（1）对数的性质（）：，。（2）对数的重要公式：换底公式：；，推广。（3）对数的运算法则：如果，那么；R）；。3、对数函数的图象与性质图象性质（1）定义域：（0,+）（2）值域：R（3）当x=1时，y=0即过定点（1，0）（4）当时，；当时，（4）当时，；当时，（5）在（0,+）上为增函数（5）在（0,+）上为减函数注：确定图中各函数的底数a，b，c，d与1的大小关系提示：作一直线y=1，该直线与四个函数图象交点的横坐标即为它们相应的底数。0<c<d<1<a<b.4、反函数指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函数，它们的图象关于直线y=x对称。【热点难点精析】一、对数的化简与求值对数的化简与求值的基本思路（1） 利用换底公式及，尽量地转化为同底的和、差、积、商运算；（2） 利用对数的运算法则，将对数的和、差、倍数运算，转化为对数真数的积、商、幂再运算；（3） 约分、合并同类项，尽量求出具体值。例1计算（1）；（2）；（3）解：（1）原式 ；（2）原式 ；（3）分子=；分母=；原式=。二、比较大小1、相关链接（1）比较同底的两个对数值的大小，可利用对数函数的单调性来完成。a>1,f(x)>0.g(x)>0,则logaf(x)>logag(x)f(x)>g(x)>0;0<a<1,f(x)>0,g(x)>0,则logaf(x)>logag(x) 0<f(x)<g(x)（2）比较两个同真数对数值的大小，可先确定其底数，然后再比较。若a>b>1，如图1.当f(x)>1时，logbf(x)>logaf(x);当0<f(x)<1时，logaf(x)> logbf(x).若1>a>b>0,如图2。当f(x)>1时，logbf(x)> logaf(x);当1>f(x)>0时，logaf(x)> logbf(x).若a>1>b>0。当f(x)>1时，则logaf(x)> logbf(x);当0<f(x)<时，则logaf(x)<logbf(x).（3）比较大小常用的方法作差（商）法；利用函数的单调性；特殊值法（特别是1和0为中间值）2、例题解析例对于，给出下列四个不等式：；其中成立的是（ ）（A）与（B）与（C）与（D）与分析：从题设可知，该题主要考查与两个函数的单调性，故可先考虑函数的单调性，再比较大小。解答：选D。0<a<1,a<,1+a<1+,即正确。三、对数函数性质应用1、相关链接（1）对数函数的性质是每年高考必考内容之一，其中单调性和对数函数的定义域是热点问题。其单调性取决于底数与“1”的大小关系。（2）利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”。即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决。（3）与对数函数有关的复合函数的单调性的求解步骤确定定义域；弄清函数是由哪些基本初等函数复合而成的，将复合函数分解成基本初等函数y=f(u),u=g(x)分别确定这两个函数的单调区间；若这两个函数同增或同减，则y=f(g(x)为增函数，若一增一减，则y=f(g(x)为减函数，即“同增异减”。2、例题解析例设函数.(1)求的单调区间;(2)若当时,(其中)不等式恒成立,求实数的取值范围;(3)试讨论关于的方程:在区间上的根的个数.解 （1）函数的定义域为. 1分由得; 2分 由得, 3分则增区间为,减区间为. 4分(2)令得,由(1)知在上递减,在上递增, 6分由,且, 8分时, 的最大值为,故时,不等式恒成立. 9分(3)方程即.记,则.由得;由得.所以g(x)在0,1上递减，在1，2上递增.而g(0)=1，g(1)=2-2ln2，g(2)=3-2ln3，g(0)g(2)g(1) 10分所以，当a1时，方程无解；当3-2ln3a1时，方程有一个解，当2-2ln2aa3-2ln3时，方程有两个解；当a=2-2ln2时，方程有一个解；当a2-2ln2时，方程无解. 13分字上所述，a时，方程无解；或a=2-2ln2时，方程有唯一解；时，方程有两个不等的解.14分 注：解决对数函数问题，首先要看函数的定义域，在函数的定义域内再研究函数的单调性，判断时可利用定义，也可利用复合函数单调性的判断。对于恒成立问题注意等价思想的应用。四、对数函数的综合应用例1（12分）已知过原点O的一条直线与函数的图象交于A、B两点，分别过A、B作y，轴的平行线与函数的图象交于C、D两点。（1） 证明点C、D和原点O在同一直线上；（2） 当BC平行于x轴时，求点A的坐标。分析：（1）证明三点在同一条直线上只需证明；（2）解方程组得，代入解析式即可求解。解答：（1）设点A，B的横坐标分别为、，由题设知>1，>1则点A、B的纵坐标分别为、。因为A、B在过点O的直线上，所以，点C、D的坐标分别为（，）、（，）由于OC的斜率为=，OD的斜率为，由此可知，即O、C、D在同一直线上。注：在解答过程中易出现三点共线不会证或找不到与关系无法进行正确地转化，并且求解坐标进忽略函数定义域的情况，导致此种错误的原因是：没有正确地理解题意，没有熟练地掌握三点共线与斜率相等的关系，或对、的范围没有搞清楚。（2）由于BC平行于轴，知=，即得=，代入，得由于，知故考虑，解得，于是点A的坐标为（，）注：本题是典型的在知识交汇点处的命题，若用传统方法设直线方程，解方程组求交点必然思路受阻，而充分利用函数图象和性质及解析几何的思想方法会使问题迎刃而解。例2设A、B是函数图象上两点, 其横坐标分别为a和a+4, 直线l: x=a+2与函数图象交于点C, 与直线AB交于点D（1）求点D的坐标；（2）当ABC的面积大于1时, 求实数a的取值范围解：（1）易知D为线段AB的中点, 因A(a, ), B(a+4, )，所以由中点公式得D(a+2, )（2）SABC=S梯形AACC+S梯形CCBB- S梯形AABB= 其中A,B,C为A,B,C在x轴上的射影由SABC= >1, 得0< a<22