《第七节正弦定理和余弦定理》教案.doc

正弦定理和余弦定理适用学科数学适用年级高三适用区域新课标课时时长60分钟知 识 点使用正弦定理要注意的问题解的个数问题已知两边和其中一边的对角问题已知两角一边问题三角形的面积公式使用余弦定理要注意的问题已知两边与夹角问题已知三边问题正、余弦定理的综合运用教学目标掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.教学重点1、正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用；2、在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；3、三角形各种类型的判定方法教学难点正、余弦定理的灵活应用教学过程课堂导入三角形是最基本的几何图形三角形中的数量关系，有着极其广泛的应用在初中，我们已经能够借助于锐角三角函数解决有关直角三角形的测量问题在实际工作中，我们还会遇到许多其它的测量问题，这些仅用锐角三角函数就不够了如：1怎样在航行途中测出海上两个岛屿之间的距离？2怎样测量底部不可到达的建筑物的高度？3怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度？4怎样测出海上航行的轮船的航速和航向？5怎样确定航向，才能在航速一定的情况下，尽快与一运动的物体(如轮船)相遇？等等研究这些问题显然需要明白三角形中的边长与角度之间的数量关系，那么本次课我们就来发现并掌握三角形中的边长与角度之间的数量关系，并将它们融入已有的知识体系复习预习回忆在三角函数中学过的公式A. 三角函数诱导公式： B. 三角函数的两角和或差公式： C. 三角函数的二倍角公式： D. 三角函数的辅助角公式： 知识讲解考点1 正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容2Ra2b2c22bccos A ;b2a2c22accos_B ;c2a2b22abcos_C变形形式a2Rsin A，b2Rsin_B，c2Rsin_Csin A，sin B，sin C(其中R是ABC外接圆半径) abcsin_Asin_Bsin_Casin Bbsin A，bsin Ccsin B，asin Ccsin Acos A cos B cos C解决三角形的问题已知两角和任一边，求另一角和其他两条边已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角.已知三边，求各角；已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角考点2 在ABC中，已知a、b和A时，解的情况A为锐角A为钝角或直角图形关系式absin Absin Aabababab解的个数一解两解一解一解无解例题精析【例题1】【题干】在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.(1)求的值；(2)若cos B，ABC的周长为5，求b的长 【解析】(1)由正弦定理，设k，则，所以，即(cos A2cos C)sin B(2sin Csin A)cos B，化简可得sin(AB)2sin(BC)又因为ABC，所以sin C2sin A.因此2.(2)由2得c2a.由余弦定理及cos B得b2a2c22accos Ba24a24a2×4a2.所以b2a.又abc5，从而a1.因此b2.【例题2】【题干】在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C.(1)求角A的大小；(2)若sin Bsin C，试判断ABC的形状【解析】2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C，得2a2(2bc)b(2cb)c，即bcb2c2a2，cos A，A60°.(2)ABC180°，BC180°60°120°.由sin Bsin C，得sin Bsin(120°B)，sin Bsin 120°cos Bcos 120°sin B.sin Bcos B，即sin(B30°)1.又0°B120°，30°B30°150°，B30°90°，即B60°.ABC60°，ABC为正三角形【例题3】【题干】已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，acos Casin Cbc0.(1)求A；(2)若a2，ABC的面积为，求b，c.【解析】(1)由acos Casin Cbc0及正弦定理得sin Acos Csin Asin Csin Bsin C0.因为BAC，所以sin Asin Ccos Asin Csin C0.由于sin C0，所以sin.又0A，故A.(2)ABC的面积Sbcsin A，故bc4.而a2b2c22bccos A，故b2c28.解得bc2.【例题4】【题干】(2012·江西高考)(本小题满分12分)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知A，bsincsina.(1)求证：BC；(2)若a，求ABC的面积【解析】(1)证明：由bsincsina，应用正弦定理，得sin Bsinsin Csinsin A，sin Bsin Csin Bcos B，(3分)整理得sin Bcos Ccos Bsin C1，即sin(BC)1，(5分)由于0<B，C<，从而BC.(6分)(2)BCA，因此B，C.(8分)由a，A，得b2sin ，c2sin ，(10分)所以ABC的面积Sbcsin Asinsincossin.(12分)课堂运用【基础】1(2012·上海高考)在ABC中，若sin2Asin2Bsin2C，则ABC的形状是()A钝角三角形B直角三角形C锐角三角形 D不能确定解析：选A由正弦定理得a2b2c2，故cos C0，所以C为钝角2在ABC中，AC，BC2，B60°，则BC边上的高等于()A. B.C. D.解析：选B由余弦定理得：()222AB22×2AB·cos 60°，即AB22AB30，得AB3，故BC边上的高是ABsin 60°.3在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知8b5c，C2B，则cos C()A. BC± D.解析：选A由C2B得sin Csin 2B2sin Bcos B，由正弦定理及8b5c得cos B，所以cos Ccos 2B2cos2 B12×21.【巩固】4(2012·福建高考)已知ABC的三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为_解析：依题意得，ABC的三边长分别为a，a,2a(a0)，则最大边2a所对的角的余弦值为.答案：5在ABC中，D为边BC的中点，AB2，AC1，BAD30°，则AD的长度为_解析：延长AD到M，使得DMAD，连接BM、MC，则四边形ABMC是平行四边形在ABM中，由余弦定理得BM2AB2AM22AB·AM·cosBAM，即1222AM22·2·AM·cos 30°，解得AM，所以AD.答案：【拔高】6已知A、B、C为ABC的三个内角，其所对的边分别为a、b、c，且2cos2cos A0.(1)求角A的值；(2)若a2，bc4，求ABC的面积解：(1)由2cos2cos A0，得1cos Acos A0，即cos A，0<A<，A.(2)由余弦定理得，a2b2c22bccos A，A，则a2(bc)2bc，又a2，bc4，有1242bc，则bc4，故SABCbcsin A.7(2012·江苏高考)在ABC中，已知·3·.(1)求证：tan B3tan A；(2)若cos C，求A的值解：(1)因为·3·，所以AB·AC·cos A3BA·BC·cos B，即AC·cos A3BC·cos B，由正弦定理知，从而sin Bcos A3sin Acos B，又因为0AB，所以cos A0，cos B0，所以tan B3tan A.(2)因为cos C，0C，所以sin C，从而tan C2，于是tan(AB)2，即tan(AB)2，亦即2.由(1)得2，解得tan A1或，因为cos A0，故tan A1，所以A.课程小结(1)在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在ABC中，A>Ba>bsin A>sin B.(2)在ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式absin Absin A<a<baba>b解的个数一解两解一解一解