第二章平面向量小结与复习.doc

第二章 平面向量章末复习（第2课时）教学目标重点：平面向量数量积的定义及其坐标表示；数量积的几何意义、向量法在平面几何中的应用难点：用向量法解决平面几何问题时，如何建立平面几何与平面向量之间的联系能力点：在运用向量方法解决平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题过程中，进一步发展学生的运算能力和解决实际问题的能力 教育点：提高学生的认知水平，为学生塑造良好的数学认识结构自主探究点：例题及变式的解题思路的探寻易错点：(1)忽视两向量垂直的概念是针对两非零向量的而致错；(2)对两向量夹角的定义理解不清致错；(3)把数的乘法的消去律运用在向量的数量积运算上而致错；(4)混淆点的坐标与向量的坐标致错学法与教具1学法：讲授法、讨论法 2教具：投影仪一、【知识结构】 平面向量平面向量的数量积数量积的性质数量积的定义数量积的运算律数量积的几何意义几何中的应用平面向量应用举例物理中的应用二、【知识梳理】1平面向量的数量积(1)数量积的定义已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积(inner product)（或内积），记作，即，其中是与的夹角(2)数量积的几何意义数量积等于的长度与在方向上的投影的乘积，或等于的长度与在方向上的投影的乘积(3)数量积的性质当与同向时，；当与反向时，；特别地，所以通常记作(4)数量积的运算律已知向量、和实数，则：；(5)数量积的坐标表示已知两个非零向量，则由此可得：或；设为、的夹角，则2平面几何中的向量方法用向量法解决平面几何问题的“三步曲”：(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；(3)把运算结果“翻译”成几何关系在上述步骤中，把平面几何问题转化为向量问题是解决问题的关键一步，转化方法大致有两种思路：第一，选取恰当的基向量；第二，建立坐标系3向量法在物理中的应用向量有丰富的物理背景，向量的物理背景是位移、力、速度等，向量的数量积的物理背景是力所做的功因此，用向量可以解决一些物理问题向量在物理中的应用，实际上是把物理问题转化为向量问题，然后通过向量运算解决向量问题，最后再用所获的结果解释物理现象用向量法解决物理问题时，应作出相应的图形，以帮助我们建立数学模型三、【范例导航】例1（2012天津）在ABC中，A=90°，AB=1，AC=2设点P，Q满足 ，.若，则 .【分析】由题意可知，根据，解方程可以求得的值.【解答】如图，设 ，则，又，由得，即所以.【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的运算，属于中档题.变式训练1(2011·江苏卷10)已知是夹角为的两个单位向量， 若，则的值为 答案：解析：，解得.例2(2012·江苏9)如图，在矩形中，点为的中点，点在边上，若，则的值是 【分析】根据所给的图形，把已知向量用矩形的边所在的向量来表示，求出要用的向量的模，表示出要求得向量的数量积，注意应用垂直的向量的数量积等于0，得到结果.【解答】因为，所以，.所以.【点评】本题主要考查平面向量的数量积的运算.解题的关键是要把要用的向量表示成已知向量的和的形式.变式训练2(2012·湖南文15)如图4，在平行四边形ABCD中 ，APBD，垂足为P，且= 答案：18解析：设，则，所以，例3.证明：对于任意的、，恒有不等式【分析】此题形式对学生较为熟悉，在不等式证明部分常用比较法证明，若利用向量知识求证，则关键在于根据其形式与数量积的坐标表示产生联系，故需要构造向量【解答】设，,则，因为，所以所以.【点评】此题证法难点在于向量的构造，若能恰当构造向量，则利用数量积的性质容易证明结论这一技巧应要求学生注意体会变式训练3.如图，在平面直角坐标系中，以原点为圆心，单位长度为半径的圆上有两点，试用、两点的坐标表示的余弦值.答案：解析：因为,所以，那么，.四、【解法小结】1准确把握平面向量数量积的重要性质：设，(1)，既可以用来证明两向量垂直，也可以由垂直进行有关计算；(2)与可用来求向量的模，以实现实数运算向向量运算的相互转化(3)不仅可以用来直接计算两向量、的夹角，也可用来求直线的夹角(向量的夹角与向量所在直线的夹角有区别)，还可利用夹角的取值情况建立方程或不等式用于求参数的值或范围2向量解决几何问题就是把点、线、平面等几何元素直接归纳为向量，对这些向量借助于它们之间的运算进行讨论，然后把这些计算的结果 翻译成关于点、线、平面的相应结果，可以简单表述为“形到向量向量的运算数到形”.3明确和掌握用向量研究物理问题的相关知识： (1)力、速度、加速度、位移的合成、力的分解就是向量的加减法，运动的叠加亦用到向量的合成；(2)动量是数乘向量；(3)功即是力与所产生的位移的数量积.五、【布置作业】必做题：1（2012·辽宁卷）已知两个非零向量a，b满足|ab|ab|，则下面结论正确的是()Aab BabC|a|b| Dabab2（2012·上海卷） 在平行四边形ABCD中，A，边AB、AD的长分别为2、1.若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足，则·的取值范围是_3（2012·北京卷）已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为_ _.·的最大值为_4在边长为1的正三角形中，则_.必做题答案：1因为22a·b0，所以ab，答案选B.点评：本小题主要考查向量的数量积以及性质解题的突破口为对于模的理解，向量的模平方就等于向量的平方2令n(0n1)，则(1n)，在平行四边形ABCD中，n，(1n)，所以·(n)·(1n)n22n5，而函数f(n)n22n5在0,1上是单调递减的，其值域为2,5，所以·的取值范围是2,53以D为坐标原点，与所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系，如图所示，可知E(x,1)，0x1，所以(x,1)，(0,1)，可得·x×01×11.因为(1,0)，所以·x，因为1x0，所以(·)max1.4=点评：利用数量积的定义求解时，务必要注意两向量夹角的大小.两向量夹角的定义前提是两向量的起点要重合，对于本题要特别注意：向量的夹角不是，而是.选做题：1已知向量是以点A(3，1)为起点，且与向量（3，4）垂直的单位向量，求的终点坐标.2如图，在中，与交于，证明：.选做题答案：1.设的终点坐标为,则,由题意由得：（313）代入得25215O2O9O解得 的终点坐标是（点评：向量的坐标表示是终点坐标减去起始点的坐标，所以向量的坐标与点的坐标既有联系又有区别，二者不能混淆2.本题选自学生自主学习丛书·数学P122，例2.六、【教后反思】1本教案的亮点是：(1)用结构图呈现本章知识，直观简明；(2)知识梳理部分十分详实且分类明晰；(3)例题具有典型性且解法总结到位，变式练习有效，讲练结合教学效果明显；(4)在作业的布置上，选择了部分高考题，对学生理解、巩固知识能够起到良好的作用2本教案的弱项是：(1)有关平面向量数量积的应用涉及题目较少，如夹角的计算、模的计算等；(2)向量法在物理中的应用没有涉及到，有待于进一步补充