工程数学-线性代数（第五版）（同济）知识要点.pdf
知知 识识 要要 点点 一、内容提要一、内容提要 1. 矩阵的概念矩阵的概念 (1) 矩阵的定义矩阵的定义 定义定义 1 由由由由 m m n n 个数个数个数个数 a aij ij ( ( i i = 1, = 1, , , m m; ; j j = 1, = 1, , , n n) )排成排成排成排成 m m 行行行行 n n 列的数表列的数表列的数表列的数表叫做叫做 m 行行 n 列列矩阵矩阵矩阵矩阵, 简称简称 mn 矩阵矩阵矩阵矩阵. 这这 mn 个个数叫做矩阵的数叫做矩阵的元素元素元素元素, aij 叫做矩阵叫做矩阵 A 的的第第第第 i i 行第行第行第行第 j j 列列列列元素元素元素元素. . 元素是实数的矩阵叫做元素是实数的矩阵叫做实矩阵实矩阵实矩阵实矩阵,元素是复数元素是复数的矩阵叫做的矩阵叫做复矩阵复矩阵复矩阵复矩阵, (1)式也简记为式也简记为 A = (aij)mn 或或 A = (aij) ,mn 矩阵矩阵 A 也记作也记作 Amn . (2) 方阵、列矩阵、行矩阵方阵、列矩阵、行矩阵 对对 (1) 式式, 当当 m = n 时时, A 称为称为 n n 阶方阵阶方阵阶方阵阶方阵. 当当 m = 1 时时, A 称为称为行矩阵行矩阵行矩阵行矩阵. 当当 n = 1 时时, A 称为称为列矩阵列矩阵列矩阵列矩阵. (3) 同型矩阵和相等矩阵同型矩阵和相等矩阵 两个矩阵的行数相等、列数也相等时两个矩阵的行数相等、列数也相等时, 就称就称它们是它们是同型矩阵同型矩阵同型矩阵同型矩阵.如果如果 A = (aij) 与与 B = (bij) 是同型是同型矩阵矩阵, 并且它们的对应元素相等并且它们的对应元素相等,即即 aij = bij (i = 1, , m; j = 1, , n), 那么就称那么就称 A 与与 B 相等相等相等相等, 记作记作A=B. (4) 零矩阵、单位矩阵零矩阵、单位矩阵 元素都是零的矩阵称为零矩阵元素都是零的矩阵称为零矩阵,记作记作 O. 主对角线上的元素都是主对角线上的元素都是 1 , 其他元素都是其他元素都是 0 的的 n 阶方阵阶方阵, 叫做叫做 n 阶单位矩阵阶单位矩阵, 简记作简记作 E 或或 I. 2. 矩阵的运算矩阵的运算 (1) 矩阵运算的定义矩阵运算的定义 设设 A = (aij)sn , B = (bij)tm 为两个矩阵为两个矩阵, 当当 s = t, n = m 时时,它们为同型矩阵它们为同型矩阵, 其加法运算定义其加法运算定义为为 A + B = (aij + bij),A + B 称为称为 A 与与 B 的的和和和和. 当当 n = t 时可以作乘法时可以作乘法: AB = (cij)sm , 其中其中( i = 1,2, , s ; j = 1, 2, , m),AB 称为称为 A A 与与与与 B B 的积的积的积的积. 设设 k 为实数为实数, 定义定义 kA = (kaij),则称则称 kA 为为 A A 与数与数与数与数 k k 的乘积的乘积的乘积的乘积. (2) 矩阵的运算性质矩阵的运算性质 ( (i) i) 矩阵的加法满足矩阵的加法满足矩阵的加法满足矩阵的加法满足 交换律交换律交换律交换律: A + B = B + A, 结合律结合律结合律结合律: (A + B) + C = A + (B +C). (ii) (ii) 矩阵的乘法满足结合律矩阵的乘法满足结合律矩阵的乘法满足结合律矩阵的乘法满足结合律 (AB)C = A(BC). ( (iii) iii) 矩阵的乘法和加法满足分配律矩阵的乘法和加法满足分配律矩阵的乘法和加法满足分配律矩阵的乘法和加法满足分配律 A(B + C) = AB + AC， (B + C)A = BA + CA. (iv) (iv) 数乘矩阵满足数乘矩阵满足数乘矩阵满足数乘矩阵满足 ( k + l)A = kA +lA， k(A + B) = kA + kB， k(lA) = (kl)A， k(AB) = (kA)B = A(kB). (3) 方阵的幂方阵的幂 设设 A 是是 n 阶方阵阶方阵, 定义定义 A1 = A, A2 = AA, , Ak+1 = Ak A,其中其中 k 为正整数为正整数. (4) 方阵的行列式方阵的行列式 由由 n 阶方阵阶方阵 A 的元素所构成的行列式的元素所构成的行列式, 叫做叫做方阵方阵方阵方阵 A A 的行列式的行列式的行列式的行列式, 记作记作 | |A| | 或或 det A. 3. 一些特殊的矩阵一些特殊的矩阵 ( (1) 设设 A 为为 mn 矩阵矩阵,把它的行换成同序号把它的行换成同序号的列得到的新矩阵的列得到的新矩阵,叫做叫做 A 的的转置矩阵转置矩阵转置矩阵转置矩阵, 记作记作 A 或或AT . 矩阵的转置也是一种运算矩阵的转置也是一种运算,若运算可行若运算可行,则有则有 (AT)T = A , (A + B)T = AT + BT , (A)T = AT , (AB)T = BTAT . ( (2) 设设 A 为为 n 阶方阵阶方阵,若满足若满足 AT = A , 则称则称 A 为为对称矩阵对称矩阵对称矩阵对称矩阵; 若满足若满足 AT = - - A , 则称则称 A 为为反称矩反称矩反称矩反称矩阵阵阵阵. ( (3) 设设 A 为为 n 阶方阵阶方阵,若满足若满足 A2 = A, 则称则称 A 为为幂等矩阵幂等矩阵幂等矩阵幂等矩阵; 若满足若满足 A2 = E, 则称则称 A 为为对合矩阵对合矩阵对合矩阵对合矩阵;若满足若满足 AAT = ATA = E, 则称则称 A为为正交矩阵正交矩阵正交矩阵正交矩阵. ( (4) 行列式行列式 |A| 的各元素的代数余子式的各元素的代数余子式 Aij 所所构成的方阵构成的方阵叫做方阵叫做方阵 A 的的伴随矩阵伴随矩阵伴随矩阵伴随矩阵. 伴随矩阵具有伴随矩阵具有重要性质重要性质重要性质重要性质: AA = A A =| |A| |E. ( (5) 主对角线以下主对角线以下(上上)元素全为零的方阵称元素全为零的方阵称为为上上上上( (下下下下) )三角形矩阵三角形矩阵三角形矩阵三角形矩阵. ( (6) 除了主对角线以外除了主对角线以外, 其他元素全为零的其他元素全为零的方阵称为方阵称为对角矩阵对角矩阵对角矩阵对角矩阵. 4. 逆矩阵的概念逆矩阵的概念 ( (1) 设设 A 为为 n 阶方阵阶方阵,如果存在矩阵如果存在矩阵 B , 使使AB = BA = E, 则称矩阵则称矩阵 A 是是可逆可逆可逆可逆的的(或或非奇异的、非奇异的、非奇异的、非奇异的、非退化的、满秩的非退化的、满秩的非退化的、满秩的非退化的、满秩的），且矩阵），且矩阵 B 称为称为 A 的的逆矩阵逆矩阵逆矩阵逆矩阵. 若有逆矩阵若有逆矩阵,则则 A 的逆矩阵是唯一的的逆矩阵是唯一的,记作记作 A- -1 . ( (2) 相关定理及性质相关定理及性质 (i) 方阵方阵 A 可逆的充要条件是可逆的充要条件是 |A| 0 . (ii) 若矩阵若矩阵 A 可逆可逆, 则则 A- -1 = A / |A|. (iii) (A- -1)- -1 = A， (A)- -1 = A- -1 / ( 0 )， (AT)- -1 = (A- -1)T . (iv) 若同阶方阵若同阶方阵 A 与与 B 都可逆都可逆, 那么那么 AB 也也可逆可逆, 且且 (AB)- -1 = B- -1A- -1 . 5. 矩阵的分块运算矩阵的分块运算 矩阵的分块主要目的在于简化运算及便于论矩阵的分块主要目的在于简化运算及便于论证证, 其运算法则同普通矩阵类似其运算法则同普通矩阵类似. 二、基本要求与重点、难点二、基本要求与重点、难点 熟练地掌握矩阵的加法、数乘及乘法运算以熟练地掌握矩阵的加法、数乘及乘法运算以及运算律，正确掌握可逆矩阵的定义，会判别一及运算律，正确掌握可逆矩阵的定义，会判别一个矩阵是否为可逆矩阵并能准确地求出一个矩阵个矩阵是否为可逆矩阵并能准确地求出一个矩阵的逆矩阵，包括利用矩阵的分块进行运算和求逆的逆矩阵，包括利用矩阵的分块进行运算和求逆. 重点重点 （）（）矩阵的运算及其性质；矩阵的运算及其性质； （）（）逆矩阵的概念及其求法逆矩阵的概念及其求法. 难点难点 逆矩阵的求法及其相关概念逆矩阵的求法及其相关概念.基本要求基本要求本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.
