工程数学-线性代数（第五版）（同济）知识要点 (4).pdf
知知 识识 要要 点点 一、内容提要一、内容提要 1. n 维向量维向量 (1)(1) (2)(2) 向量的相等向量的相等向量的相等向量的相等, , 零向量零向量零向量零向量, , 负向量负向量负向量负向量. (3)(3) 向量的线性运算向量的线性运算向量的线性运算向量的线性运算 若若 = (a1 , a2 , , an), = (b1 , b2 , , bn), 则则 + (a1 + b1 , a2 + b2 , , an + bn) ; (a1 , a2 , , an ) , 其中其中 R . (4)4) 线性运算满足下列八条规律线性运算满足下列八条规律线性运算满足下列八条规律线性运算满足下列八条规律: + = + ; ( + ) + = + ( + ) ; + 0 = ; + (- - ) = 0 ; 1 = ; ( ) = () ; ( + ) = + ; ( + ) = + ,其中其中 , , 为为 n 维向量维向量 , , R. 2. 线性相关与线性无关线性相关与线性无关 (1)(1) 线性组合、线性表示、线性相关线性组合、线性表示、线性相关线性组合、线性表示、线性相关线性组合、线性表示、线性相关 设有设有 n 维向量组维向量组 A: 1, 2 , , m , B: 1 , 2 , , s , 对于向量对于向量 , 如果有一组数如果有一组数 1 , 2 , ,m ,使使 = = 1 1 1 1 + + 2 2 2 2 + + + + m m m m ,则称向量则称向量 是向量组是向量组 A 的的线性组合线性组合线性组合线性组合, 或称或称 可可由由 A 线性表示线性表示线性表示线性表示. 如果存在一组不全为零的数如果存在一组不全为零的数 k1 , k2 , , km ,使使 k k1 1 1 1 + + k k2 2 2 2 + + + + k km m m m = 0 = 0 ,则称向量组则称向量组 A 线性相关线性相关线性相关线性相关, 否则称否则称 A 线性无关线性无关线性无关线性无关. 如如果果向向量量组组 A 中中的的每每一一个个向向量量都都能能由由向向量量组组B 中中的的向向量量线线性性表表示示 , 则则称称向向量量组组向向量量组组 A A 能能由由向向量量组组能能由由向向量量组组B B 线线性性表表示示线线性性表表示示 .如如果果 A 能能由由 B 线线性性表表示示 , 且且 B 也也能能由由 A 线性表示线性表示 , 则称则称 A 与与 B 等价等价等价等价 . 向量组之间的等价关系具有向量组之间的等价关系具有反身性反身性反身性反身性、对称对称对称对称性性性性、传递性传递性传递性传递性 . (2) (2) 线性相关的性质线性相关的性质线性相关的性质线性相关的性质 定定理理 1 向向量量组组 1, 2 , , m (m2) 线线性性相相关关的的充充要要条条件件是是该该向向量量组组中中至至少少有有一一个个向向量量可由其余可由其余 m - - 1 个向量线性表示个向量线性表示. 定理定理 2 设设 1, 2 , , m 线性无关线性无关, 而而 1, 2 , , m , 线性相关线性相关, 则则 能由能由 1, 2 , , m 线性表示线性表示, 且表示式是唯一的且表示式是唯一的. (3)(3) 线性相关性的判定定理线性相关性的判定定理线性相关性的判定定理线性相关性的判定定理 定理定理 3 若若 1, 2 , , r 线性相关线性相关, 则则 1, 2 , , r , r+1, , m 也线性相关也线性相关. 定定理理 4 r 维维向向量量组组的的每每个个向向量量添添上上 n - - r 个个分分量量,成成为为 n 维维向向量量组组,若若 r 维维向向量量组组线线性性无无关关,则则 n 维维向向量量组组也也线线性性无无关关. 反反之之, 若若 n 维维向向量量组组线性相关线性相关, 则则 r 维向量组亦线性相关维向量组亦线性相关. 定理定理 5 m 个个 n 维维向量组成的向量组向量组成的向量组, 当维当维数数 n 小于向量个数小于向量个数 m 时一定线性相关时一定线性相关. 3. 向量组的秩向量组的秩 (1) (1) 定义定义定义定义 设有向量组设有向量组 T , 如果如果 (i) 在在 T 中中有有 r 个个向向量量 1, 2 , , r 线线性性无无关关; (ii) T 中中任任意意 r+1 个个向向量量(如如果果 T 中中有有 r+1 个个向向量量的的话话)都都线线性性相相关关. 那那么么称称 1, 2 , , r 是是向向量量组组 T 的的一一个个最最大大线线性性无无关关向向量量组组最最大大线线性性无无关关向向量量组组, 简简称称最最大大无无最最大大无无关关组组关关组组; 数数 r 称称为为向向量量组组 T 的的秩秩秩秩. 并并规规定定: 只只含含零零向向量的向量组的秩为量的向量组的秩为 0. (2) (2) 性质性质性质性质 性性质质性性质质1 1 向向量量组组线线性性无无关关的的充充要要条条件件是是它它所所含向量个数等于它的秩含向量个数等于它的秩. 性性质质性性质质 2 2 设设矩矩阵阵 A 的的某某个个 r 阶阶子子式式 D 是是 A 的的最最高高阶阶非非零零子子式式, 则则 D 所所在在的的 r 个个行行向向量量即即是是矩矩阵阵A的的行行向向量量组组的的一一个个最最大大无无关关组组; D 所所在在的的 r 个个列列向向量量即即是是矩矩阵阵 A 的的列列向向量量组组的的一一个个最最大大无无关关组组. 性质性质性质性质 3 3 R(A) = A 的行秩的行秩 = A 的列秩的列秩. 性性质质性性质质 4 4 设设向向量量组组 A: 1, 2 , , r 是是向向量量组组 T 的的一一个个最最大大无无关关组组, 则则向向量量组组 A 与与向向量量组组 T 等价等价. 定理定理定理定理 6 6 设有两个向量组设有两个向量组 A: 1, 2 , , r , B: 1 , 2 , , s ,如如果果 A 能能由由 B 线线性性表表示示, 且且向向量量组组 A 线线性性无无关关, 则则 A 所所含含向向量量个个数数 r 不不大大于于 B 所所含含向向量量个个数数 s, 即即 r s . 推论推论推论推论 1 1 设向量组设向量组 A 的秩为的秩为 r1,向量组向量组 B 的秩的秩为为 r2 , 若若 A 能由能由 B 线性表示线性表示, 则则 r1 r2 . 推论推论推论推论 2 2 等价的向量组有相同的秩等价的向量组有相同的秩. 4. 向量空间向量空间 (1)(1) 设设 V 为为 n 维向量的集合维向量的集合, 如果集合如果集合 V 非非空空 且集合且集合 V 对于加法及数乘两种运算封闭对于加法及数乘两种运算封闭,那么就称那么就称集合集合 V 为为向量空间向量空间向量空间向量空间. 所谓所谓封闭封闭封闭封闭, 是指对是指对 V , V 及及 k R,有有 + V , k V . (2)(2) 由向量组由向量组 1, 2 , , m 所生成的向量所生成的向量空空间为间为 L L=x x= =k k1 1 1 1 + + k k2 2 2 2 + + + + k km m m m | | k k1 1 , , , , k km m R.R. (3)(3) 设有向量空间设有向量空间 V1 及及 V2 , 若若 V1 V2 , 就就称称V1 是是 V2 的子空间的子空间. (4)(4) 设设 V 为向量空间为向量空间, 如果如果 r 个向量个向量 1, 2 , , r V , 且满足且满足 (i) 1, 2 , , r 线性无关线性无关; (ii) V 中任一向量都可由中任一向量都可由 1, 2 , , r 线线性性表表示示. 那那么么, 向向量量组组 1, 2 , , r 就就称称为为向向量量空空间间V的的一一个个基基基基, r 称称为为向向量量空空间间 V 的的维维数数, 并并称称 V 为为 r 维维向量空间向量空间向量空间向量空间. 二、基本要求与重点、难点二、基本要求与重点、难点 基本要求基本要求基本要求基本要求 1. 1. 掌握掌握 n 维向量的概念维向量的概念, 能熟练地进行向量能熟练地进行向量的线性运算的线性运算. 2. 2. 掌掌握握线线性性组组合合、线线性性表表示示、线线性性相相关关、线线性性无无关关、最最大大无无关关组组等等概概念念. 能能熟熟练练地地判判断断向向量量组的线性相关性组的线性相关性, 求出其最大无关组求出其最大无关组. 3. 3. 掌掌握握向向量量组组的的秩秩、 矩矩阵阵的的秩秩、矩矩阵阵的的等等价价等概念等概念, 会求向量组的秩和矩阵的秩会求向量组的秩和矩阵的秩. 4. 4. 掌掌握握线线性性方方程程组组解解的的结结构构,会会求求方方程程组组的的解解. 重点重点 线性相关、线性无关、最大无关组、线性相关、线性无关、最大无关组、秩等概念秩等概念; 判断线性相关性及求秩的方法判断线性相关性及求秩的方法. 难难点点 线线性性相相关关、线线性性无无关关的的概概念念及及其其判判定定法法.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.
