线性代数及其应用电子教案3.3.pdf

3 向量组的秩 上页下页铃结束返回首页v最大无关组及向量组的秩 设有向量组A 如果在A中能选出r个向量a1 a2 ar 满足: (1)向量组A0 a1 a2 ar线性无关 (2)向量组A中任意r1个向量都线性相关 那么向量组A0称为向量组A的一个极大无关组 极大无关组所含向量的个数r称为向量组A的秩 记作RA 只含零向量的向量组没有最大无关组 规定它的秩为0 上页下页铃结束返回首页补充例题 v最大无关组及向量组的秩 设有向量组A 如果在A中能选出r个向量a1 a2 ar 满足: (1)向量组A0 a1 a2 ar线性无关 (2)向量组A中任意r1个向量都线性相关 那么向量组A0称为向量组A的一个最大无关组 最大无关组所含向量的个数r称为向量组A的秩 记作RA 只含零向量的向量组没有最大无关组 规定它的秩为0 向量组的最大无关组一般不是唯一的 例如 已知 a1(1 1 1)T a2(0 2 5)T a3(2 4 7)T 因为a1 a3和a2 a3都是线性无关组 而a1 a2 a3线性相关 所以a1 a3和a2 a3都是向量组a1 a2 a3的最大无关组 下页上页下页铃结束返回首页补充例题 今后向量组A a1 am的秩RA也记为R(a1 am)v定理1 矩阵的秩等于它的列向量组的秩 也等于它的行向量组的秩 设A( a1 a2 am) R(A)r 并设r阶子式Dr0 (i) 由Dr0知Dr所在的r列向量构成的矩阵的秩为r,故此r列向量线性无关 (ii) 从A中任取r+1个列向量,由于其r1阶子式均为零 知r1个列向量构成的矩阵的秩小于r+1,故所有的r+1个列向量都线性相关 因此Dr所在的r列是A的列向量组的一个最大无关组 所以A的列向量组的秩等于r 类似可证矩阵A的行向量组的秩也等于R(A) 证明 下页注上页下页铃结束返回首页补充例题v定理2(最大无关组的等价定义) 设向量组A0 a1 a2 ar是向量组A的一个部分组 且满足 (1)向量组A0线性无关 (2)向量组A的任一向量都能由向量组A0线性表示 那么向量组A0便是向量组A的一个最大无关组 下页上页下页铃结束返回首页补充例题v定理2(最大无关组的等价定义) 设向量组A0 a1 a2 ar是向量组A的一个部分组 且满足 (1)向量组A0线性无关 (2)向量组A的任一向量都能由向量组A0线性表示 那么向量组A0便是向量组A的一个最大无关组 只要证向量组A中任意r1个向量线性相关 设b1 b2 br1是A中任意r1个向量 由条件(2)知这r1个向量能由向量组A0线性表示 所以有R(b1 b2 br1)R(a1 a2 ar)r 证 从而r1个向量b1 b2 br1线性相关 因此向量组A0是向量组A的一个最大无关组 下页上页下页铃结束返回首页补充例题 例1 设齐次线性方程组的全体解向量构成的向量组为S 求S的秩 解 线性方程组的通解为 因为 1 2的四个分量显然不成比例 故 1 2线性无关 又因为S能由向量组 1 2线性表示 所以 1 2是S的最大无关组 从而RS2 其中c1 c2为任意常数 把 上 式 记 作 xc1 1c2 2 知Sx| xc1 1c2 2 c1 c2R下页上页下页铃结束返回首页补充例题提示 今后记号R(a1 a2 am)既可理解为矩阵的秩 也可理解成向量组的秩 设向量组A a1 a2 am构成矩阵A(a1 a2 am) 则有RAR(a1 a2 am)R(A) (1)向量b能由向量组a1 a2 am线性表示的充要条件是 R(a1 a2 am)R(a1 a2 am b) (2)向量组b1 b2 bl能由向量组a1 a2 am线性表示的充要条件是 R(a1 a2 am)R(a1 a2 am b1 b2 bl)v改用向量组的秩陈述的几个定理 下页上页下页铃结束返回首页补充例题小结概念: 向量组的秩v性质:v定理1 矩阵的秩等于它的列向量组的秩 也等于它的行向量组的秩v定理2(最大无关组的等价定义)