三章优化模型.ppt

三章优化模型 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望 优化模型的数学意义优化模型的数学意义 优化问题是在工程技术、经济管理和科学研究等领域优化问题是在工程技术、经济管理和科学研究等领域中最常遇到的一类问题。设计师要求在满足强度要求等中最常遇到的一类问题。设计师要求在满足强度要求等条件下合理选择材料的尺寸；公司经理要根据生产成本条件下合理选择材料的尺寸；公司经理要根据生产成本和市场需求确定产品价格和生产计划，使利润达到最和市场需求确定产品价格和生产计划，使利润达到最大；调度人员要在满足物质需求和装载条件下安排从各大；调度人员要在满足物质需求和装载条件下安排从各供应点到各需求点的运量和路线，使运输总费用达到最供应点到各需求点的运量和路线，使运输总费用达到最低。低。本章讨论的是用数学建模的方法来处理优化问题：即本章讨论的是用数学建模的方法来处理优化问题：即建立和求解所谓的优化模型。注意的是建模时要作适当建立和求解所谓的优化模型。注意的是建模时要作适当的简化，可能使得结果不一定完全可行或达到实际上的的简化，可能使得结果不一定完全可行或达到实际上的最优，但是它基于客观规律和数据，又不需要多大的费最优，但是它基于客观规律和数据，又不需要多大的费用。如果在建模的基础上再辅之以适当的检验，就可以用。如果在建模的基础上再辅之以适当的检验，就可以期望得到实际问题的一个比较圆满的回答。期望得到实际问题的一个比较圆满的回答。本章介绍较为简单的优化模型，归结为微积分中的极本章介绍较为简单的优化模型，归结为微积分中的极值问题，因而可以直接使用微积分中的方法加以求解。值问题，因而可以直接使用微积分中的方法加以求解。当你决定用数学建模的方法来处理一个优化问题时，当你决定用数学建模的方法来处理一个优化问题时，首先要确定优化的目标，其次确定寻求的决策，以及决策首先要确定优化的目标，其次确定寻求的决策，以及决策受到哪些条件的限制。在处理过程中，要对实际问题作若受到哪些条件的限制。在处理过程中，要对实际问题作若干合理的假设。最后用微积分的进行求解。在求出最后决干合理的假设。最后用微积分的进行求解。在求出最后决策后，要对结果作一些定性和定量的分析和必要的检验。策后，要对结果作一些定性和定量的分析和必要的检验。一、存储模型一、存储模型 问题的提出问题的提出 工厂定期订购原料存入仓库供生产之用；车间一次加工厂定期订购原料存入仓库供生产之用；车间一次加工零件供装配线生产之用；商店成批订购各种商品，放工零件供装配线生产之用；商店成批订购各种商品，放进货柜以备零售；诸多问题都涉及到一个存储量为多大进货柜以备零售；诸多问题都涉及到一个存储量为多大的问题：存储量过大，会增加存储费用；存储量过小，的问题：存储量过大，会增加存储费用；存储量过小，会增加订货次数，从而增加不必要的订购费用会增加订货次数，从而增加不必要的订购费用.本节讨论在需求稳定的情况下，两个简单的存储模本节讨论在需求稳定的情况下，两个简单的存储模型型:不容许缺货和容许缺货的存储模型不容许缺货和容许缺货的存储模型.1.不容许缺货的存储模型不容许缺货的存储模型 例例 配件厂为装配线生产若干种部件配件厂为装配线生产若干种部件.轮换生产不同轮换生产不同的部件时因更换设备要支付一定的生产准备费用（与产的部件时因更换设备要支付一定的生产准备费用（与产量无关）量无关）.同一部件的产量大于需求时需支付存储费用同一部件的产量大于需求时需支付存储费用.已知某一部件的日需求量为已知某一部件的日需求量为100件，生产准备费为件，生产准备费为5000元元,存储费为每日每件一元存储费为每日每件一元.如果生产能力远大于需求，如果生产能力远大于需求，并且不容许出现缺货，试安排生产计划并且不容许出现缺货，试安排生产计划:即多少天生产即多少天生产一次（生产周期）、每次产量多少可使总费用最少？一次（生产周期）、每次产量多少可使总费用最少？分析分析 若每天生产一次，无存储费，生产准备金若每天生产一次，无存储费，生产准备金5000元，元，故每天的总费用为故每天的总费用为5000元；元；若若10天生产一次，每次生产天生产一次，每次生产1000件，准备金件，准备金5000元，存储费元，存储费900+800+100=4500元。平均每天元。平均每天950元。元。若若50天生产一次，每次生产天生产一次，每次生产5000件，准备金件，准备金5000元，存储费元，存储费4900+4800+100=122500元，平均每天元，平均每天2500元。元。以上分析表明以上分析表明:生产周期过短，尽管没有存储费，但生产周期过短，尽管没有存储费，但准备费用高准备费用高,从而造成生产成本的提高；生产周期过长从而造成生产成本的提高；生产周期过长,会造成大量的存储费用会造成大量的存储费用,也提高了生产成本也提高了生产成本.由此可以由此可以看到看到,选择一个合适的生产周期，会降低产品的成本；选择一个合适的生产周期，会降低产品的成本；从而赢得竞争上的优势。从而赢得竞争上的优势。模型假设模型假设 为处理上的方便，假设模型是连续型的，即周期为处理上的方便，假设模型是连续型的，即周期 ，产量产量 均为连续变量均为连续变量.1.每天的需求量为常数每天的需求量为常数 ；2.每次生产的准备费用为每次生产的准备费用为 每天每件的存储费为每天每件的存储费为3.生产能力无限大，即当存储量为零时，生产能力无限大，即当存储量为零时，件产品可以件产品可以立即生产出来立即生产出来.建模建模 设存储量为设存储量为 以以 递减，直到递减，直到 则有则有 在一个微小时间中段在一个微小时间中段 中，存储费为中，存储费为因而在一个周期中，总存储因而在一个周期中，总存储费用为费用为准备费用为准备费用为 ，故总费用为，故总费用为所以，每天的平均费用为所以，每天的平均费用为 模型求解模型求解 原问题转变为使原问题转变为使取极小值的问题。利用求极值的方取极小值的问题。利用求极值的方法，对法，对式求导，并令其为零式求导，并令其为零:即有即有:而而将将代入到代入到式，得最小的平均费用为式，得最小的平均费用为，被称为经济订货批量公式（被称为经济订货批量公式（EOQ公式）公式）.结果解释结果解释 由由，式可以看到，当式可以看到，当 （准备费用）提高时，生（准备费用）提高时，生产周期和产量都变大；当产周期和产量都变大；当 存储费增加时，生产周期和存储费增加时，生产周期和产量都变小；当需求量产量都变小；当需求量 增加时，生产周期变小而产量增加时，生产周期变小而产量变大。这些结果都是符合常识的。变大。这些结果都是符合常识的。以以 代入代入、式得式得 元元.注意的是：用此公式计算的结果与原题有一定的误注意的是：用此公式计算的结果与原题有一定的误差，原因在于变量选择的不同差，原因在于变量选择的不同.敏感性分析敏感性分析 讨论参数讨论参数 对生产周期对生产周期 的影响的影响.我们用相对改变量来衡量结果对参数的敏感程度我们用相对改变量来衡量结果对参数的敏感程度.对对 的敏感程度记为的敏感程度记为 定义式为定义式为再由再由 得得而而代入上式，得代入上式，得同理可得同理可得:即：即：每增加每增加 ，增加增加 每增加每增加 ，减减少少 注注 此模型也可适用于商店的进货问题此模型也可适用于商店的进货问题.3.容许缺货的模型容许缺货的模型 下面讨论的是容许缺货的问题下面讨论的是容许缺货的问题.为此做以下的假设为此做以下的假设:生产能力无限大（相对于需求量），容许缺货，每天生产能力无限大（相对于需求量），容许缺货，每天每件产品缺货造成的损失费为每件产品缺货造成的损失费为 但缺货量在下次补足。但缺货量在下次补足。建模建模 因存储量不足而造成缺货时，可以认为存储量因存储量不足而造成缺货时，可以认为存储量 为为负值（如图所示），周期仍记为负值（如图所示），周期仍记为 是每周期的存储是每周期的存储量，当量，当 时，时，故有故有在在 到到 这段缺货时间内需求率这段缺货时间内需求率不变，不变，按原斜率继续下降，按原斜率继续下降，由于规定缺货量需补足，所以在由于规定缺货量需补足，所以在 时数量为时数量为 的产品立即达，的产品立即达，使下周期初的存储量恢复到使下周期初的存储量恢复到 则每天的平均费用为则每天的平均费用为 与不容许缺货的模型相似，一个周期内的存储费是与不容许缺货的模型相似，一个周期内的存储费是 乘以图中三角形乘以图中三角形 的面积，缺货损失费是的面积，缺货损失费是 乘以三角形乘以三角形面积面积 加上准备费，得一周期内的总费用为加上准备费，得一周期内的总费用为 解模解模 为求使为求使 达到最小的达到最小的 在在中分别对中分别对求偏导，并令其为零，即求偏导，并令其为零，即由第二个方程由第二个方程,得得再由第一个方程再由第一个方程,得得即即再代入前一式再代入前一式,有有由于每周期的供货量为由于每周期的供货量为 有有记记与不容许缺货模型的结果与不容许缺货模型的结果、进行比较，得到进行比较，得到 结果分析结果分析 由由式知式知 再由再由知知 此说明周期及供货量应增加，周期初的存储量减少。此说明周期及供货量应增加，周期初的存储量减少。缺货损失费缺货损失费 越大，越大，越小（越接近越小（越接近1），从而），从而由此说明不容许缺货是容许缺货的特殊情况由此说明不容许缺货是容许缺货的特殊情况.二、生猪出售的最佳时机二、生猪出售的最佳时机 一饲养场每天投入一饲养场每天投入4元资金用于饲料、设备、人力，元资金用于饲料、设备、人力，估计可使一头估计可使一头80公斤重的生猪每天增加公斤重的生猪每天增加2公斤公斤.目前生目前生猪出售的市场价格为每公斤猪出售的市场价格为每公斤8元，但是预测每天会降低元，但是预测每天会降低0.1元元.问该场该什么时候出售这样的生猪，如果这样问该场该什么时候出售这样的生猪，如果这样的估计和预测有出入，对结果有多大的影响的估计和预测有出入，对结果有多大的影响.分析分析 造成价格变化的两大因素造成价格变化的两大因素1.资金投入使得成本增加；资金投入使得成本增加；2.市场因素使得价格降低市场因素使得价格降低.模型假设模型假设 每天投入每天投入4元资金使生猪体重每天增加常元资金使生猪体重每天增加常数数 公斤，生猪出售的价格每天降低常数公斤，生猪出售的价格每天降低常数 （0.1元）。元）。模型建立模型建立 记记 时间；时间；生猪体重；生猪体重；出售的价格；出售的价格；出售的收入；出售的收入；每天的投入；每天的投入；纯利润。则有纯利润。则有最后得纯利润为：最后得纯利润为：其中其中 求使求使 达到最大值的达到最大值的 模型求解模型求解 该问题是二次函数的极值问题。在上式对该问题是二次函数的极值问题。在上式对 求导，并求导，并令其为零，则有令其为零，则有得得 敏感性分析敏感性分析 因在上面的讨论中，参数因在上面的讨论中，参数 是预测的，下面讨论当是预测的，下面讨论当它们发生变化时对模型价格的影响。它们发生变化时对模型价格的影响。是是 的增函数，下图反映了的增函数，下图反映了 与与 的关系。的关系。1.设每天生猪价格的下降率设每天生猪价格的下降率 不变，研究不变，研究 变化变化对对 的影响。由的影响。由式，得式，得下表给出了下表给出了 与与 的数据关系。的数据关系。r1.51.61.71.81.92.02.12.2t02.54.76.78.41011.4 12.7r2.32.42.52.62.72.82.93.0t13.9151616.9 17.8 18.6 19.320 2.设每天生猪体重的增加设每天生猪体重的增加 公斤不变，研究公斤不变，研究 变化变化对对 的影响。由的影响。由式得式得即即 是是 的减函数。的减函数。g0.06 0.07 0.08 0.090.10.11 0.12 0.13 0.14 0.15t3022.9 17.5 13.3107.35.03.13.31.4用相对改变量来衡量结果对参数的敏感程度。用相对改变量来衡量结果对参数的敏感程度。对对 的敏的敏感程度记为感程度记为 定义式为定义式为由由式，得式，得再代入再代入式，得式，得将将 代入代入式，得式，得此说明此说明:若每天的体重增加若每天的体重增加 则出售时间推迟则出售时间推迟 类似可以定义类似可以定义 对对 的敏感度的敏感度由由式可得式可得当当 时，可得时，可得此说明价格每降低此说明价格每降低 则出售的时间提早则出售的时间提早 说明说明:该模型的建模和解模都较为简单该模型的建模和解模都较为简单.我们的注意我们的注意力是放在对模型的结果分析上力是放在对模型的结果分析上,即重点讨论敏感性分析即重点讨论敏感性分析上上.另外该模型还适用与其它与之类似的模型另外该模型还适用与其它与之类似的模型.三、报童问题三、报童问题 问题问题 报童每天清晨从邮局批进报纸进行零售，晚上报童每天清晨从邮局批进报纸进行零售，晚上将卖不掉的报纸返回邮局进行处理将卖不掉的报纸返回邮局进行处理.售出一份报纸可获售出一份报纸可获得相应的利润，而处理一份报纸会造成亏损得相应的利润，而处理一份报纸会造成亏损.为此要考为此要考虑报童如何确定每天的进货量以达到最大利润虑报童如何确定每天的进货量以达到最大利润.随机性的函数极值问题随机性的函数极值问题 模型假设模型假设 1.报童知道卖出各个数量的概率的大小报童知道卖出各个数量的概率的大小.2.设报童每天批进报纸设报童每天批进报纸 份，进价为份，进价为 元，卖价为元，卖价为 元，处理价为元，处理价为 元元.建模建模 由假设，报童每卖出一份报纸获利由假设，报童每卖出一份报纸获利 元，每处理元，每处理一份报纸亏损一份报纸亏损 元。当卖出量元。当卖出量 时，报童获利时，报童获利元，元，当卖出量当卖出量 时，报童获利时，报童获利元元.由大数定律，报童每天的平均收入因为每天收入的期望由大数定律，报童每天的平均收入因为每天收入的期望值来表示值来表示.设每天卖出设每天卖出 份报纸的概率为份报纸的概率为 因而期望收入为因而期望收入为从而问题转变为求出进货量从而问题转变为求出进货量 使期望收入使期望收入 达到最达到最大大.解模解模 为了用微积分的方法解决该问题，将变量连续化，从为了用微积分的方法解决该问题，将变量连续化，从而相应的概率函数而相应的概率函数 用连续型随机变量的概率密度用连续型随机变量的概率密度 来表示来表示.于是由连续性随机变量的数学期望公式于是由连续性随机变量的数学期望公式由极值存在的条件，对由极值存在的条件，对式求导并令其为零，再由含式求导并令其为零，再由含参变量积分的求导公式得参变量积分的求导公式得整理后得整理后得:即即:再由合比定理得再由合比定理得即即再由概率密度的性质再由概率密度的性质:从而上式为从而上式为 由于由于 是一个常数，当概率密度为已知时，可由是一个常数，当概率密度为已知时，可由式计算相应的式计算相应的 在统计学中数在统计学中数 又称为又称为 分位数分位数.数值数值 是卖出一份报纸的收益与处理一份报是卖出一份报纸的收益与处理一份报纸所造成亏损的比值。这个比值越大，进报量就应该纸所造成亏损的比值。这个比值越大，进报量就应该大一点，如果处理价大一点，如果处理价 变小，则应该少进一些变小，则应该少进一些.应用举例应用举例 设某报亭销售新民晚报，售价为设某报亭销售新民晚报，售价为 元，进价为元，进价为元，处理价为元，处理价为 元，销售量服从参数为元，销售量服从参数为 的指数的指数分布，求相应的进货量分布，求相应的进货量解解 由由即即在在Mathematic下计算积分，输入命令下计算积分，输入命令.IntegrateE(-0.015x)*0.015,x,0,74得积分值为得积分值为0.670441，即进报纸的份数近似为，即进报纸的份数近似为74.分析，若提高处理价，如处理价为分析，若提高处理价，如处理价为 元，则元，则输入命令：输入命令：IntegrateE(-0.015x)*0.015,x,0,92得积分值为得积分值为0.748421，即进货量为，即进货量为92.四、森林救火问题四、森林救火问题 问题问题 在森林发生火灾时，要派出消防人员去灭火在森林发生火灾时，要派出消防人员去灭火.需要选择合理的方案，使得救火的费用和森林被毁所造需要选择合理的方案，使得救火的费用和森林被毁所造成的损失达到最低成的损失达到最低.问题分析问题分析 设起火时间为设起火时间为 开始灭火，开始灭火，时火被扑灭，时火被扑灭，在整个灭火过程中，总费用由损失费与救援费构成，设在整个灭火过程中，总费用由损失费与救援费构成，设在时刻在时刻 时，森林被毁面积为时，森林被毁面积为 则被毁总面积为则被毁总面积为 考虑考虑 单位时间被毁面积，它表示的是火势单位时间被毁面积，它表示的是火势的蔓延程度，注意到的蔓延程度，注意到 时，火势越来越大，时，火势越来越大，时，火势逐渐减少，且时，火势逐渐减少，且 由此即得关系由此即得关系 假设假设 单位面积损失费为单位面积损失费为 ；当当 时，时，与时间成正比，即与时间成正比，即 称为蔓延速度；称为蔓延速度；派出派出 名消防队员进行灭火，每名队员的灭火速度为名消防队员进行灭火，每名队员的灭火速度为 ；则当；则当 时，有时，有每名消防队员单位时间的灭火费用为每名消防队员单位时间的灭火费用为 ，于是在灭，于是在灭火过程中，每名队员的费用为火过程中，每名队员的费用为 ；每名队员的一次性开支为每名队员的一次性开支为 注注 模型假设的意义：火势以起火点为中心，以均匀模型假设的意义：火势以起火点为中心，以均匀速度向四周呈圆形蔓延，蔓延的半径速度向四周呈圆形蔓延，蔓延的半径 与时间与时间 成正成正比。又被毁面积与比。又被毁面积与 成正比，故被毁面积成正比，故被毁面积 与与 成正成正比，从而比，从而 与与 成正比成正比.火过程中，每名队员的费用为火过程中，每名队员的费用为 ；每名队员的一次性开支为每名队员的一次性开支为 注注 模型假设的意义：火势以起火点为中心，以均匀模型假设的意义：火势以起火点为中心，以均匀速度向四周呈圆形蔓延，蔓延的半径速度向四周呈圆形蔓延，蔓延的半径 与时间与时间 成正成正比。又被毁面积与比。又被毁面积与 成正比，故被毁面积成正比，故被毁面积 与与 成正成正比，从而比，从而 与与 成正比。成正比。火过程中，每名队员的费用为火过程中，每名队员的费用为 ；每名队员的一次性开支为每名队员的一次性开支为 注注 模型假设的意义：火势以起火点为中心，以均匀模型假设的意义：火势以起火点为中心，以均匀速度向四周呈圆形蔓延，蔓延的半径速度向四周呈圆形蔓延，蔓延的半径 与时间与时间 成正成正比。又被毁面积与比。又被毁面积与 成正比，故被毁面积成正比，故被毁面积 与与 成正成正比，从而比，从而 与与 成正比。成正比。又，每名消防队员的灭火速度又，每名消防队员的灭火速度 为常量，它将火势的为常量，它将火势的蔓延速度压低为负值，因此蔓延速度压低为负值，因此由于由于 此说明要把火扑灭，应满足此说明要把火扑灭，应满足 名名消防队员。消防队员。记记 因因 即有即有 即即由此得由此得由定积分的几何意义，得由定积分的几何意义，得 建模建模 设派出设派出 名消防队员，则由前面讨论知名消防队员，则由前面讨论知:森林总损失森林总损失费为费为 开支费用为开支费用为 于是目于是目标函数为标函数为 解模解模 因因 作变换作变换 从而将目标函数化为从而将目标函数化为其中，其中，是一个与是一个与 无关的常量。两边对无关的常量。两边对 求导，并令求导，并令其为零，则有其为零，则有由于由于 解之得：解之得：而而 相应的极值点为相应的极值点为 从上式中可以看到，要扑灭火势就得派出从上式中可以看到，要扑灭火势就得派出 名消防名消防队员，并预计灭火需要的时间为队员，并预计灭火需要的时间为 分析分析参数参数 为已知，而为已知，而 由森林的类型，消防队由森林的类型，消防队员的素质等因素确定员的素质等因素确定.参数参数 的值，可从灭火的值，可从灭火现场的考察来估计现场的考察来估计.有人认为每名消防队员的救火速度为常量的假设是不有人认为每名消防队员的救火速度为常量的假设是不妥当的，因为当火势蔓延程度妥当的，因为当火势蔓延程度 大的时候消防队员的救大的时候消防队员的救火速度会小些，于是火速度会小些，于是 是是 的单调减函数，若假设的单调减函数，若假设或或于是用替换于是用替换 可得可得从而得到从而得到 的极值点为的极值点为五、变分法简介五、变分法简介 众所周知，平面上两点的距离以直线段最短，现在我众所周知，平面上两点的距离以直线段最短，现在我们用数学的方法来推导这一结论们用数学的方法来推导这一结论.设平面上两定点为设平面上两定点为 和和 这两点的这两点的连线的方程为连线的方程为 弧段弧段 的长为的长为 显然函数显然函数 还需满足条件还需满足条件:则原问题转变为求函数则原问题转变为求函数 使得使得成立并使成立并使弧长弧长 取最小值。取最小值。由于由于 故积分故积分当当 时取最小值，即该曲线为直线段时距离达到时取最小值，即该曲线为直线段时距离达到最小值。最小值。一、固定端点的简单泛函极值问题一、固定端点的简单泛函极值问题 设设 为函数类，若有法则，使在该法则之下，对为函数类，若有法则，使在该法则之下，对中的每一个元素都可以确定一个相应的数与之对应，中的每一个元素都可以确定一个相应的数与之对应，则称该法则为则称该法则为 上的一个泛函。上的一个泛函。例如，取例如，取 区间上的黎曼可积函数区间上的黎曼可积函数类，定义泛函类，定义泛函 为为在此定义之下，函数类在此定义之下，函数类 称为泛函的定义域，泛函一称为泛函的定义域，泛函一般记为般记为 考虑简单泛函考虑简单泛函其中，函数其中，函数 且且问题是求函数问题是求函数 满足条件满足条件，并使由，并使由式定式定义的泛函取得极小值或极大值。这样的问题称为泛函义的泛函取得极小值或极大值。这样的问题称为泛函极值问题。极值问题。假设函数假设函数 使泛函使泛函 取得极值，任取得极值，任意取得函数意取得函数 要求它满足条件要求它满足条件 若限制函数在若限制函数在 的范围中，则函的范围中，则函数数在在 时取得极值。时取得极值。由函数取得极值的必要条件，有由函数取得极值的必要条件，有 因因再由复合函数微分法，得再由复合函数微分法，得再由分部积分公式，第二项积分可化为再由分部积分公式，第二项积分可化为由由得得因而有因而有所以，所以，由函数由函数 的任意性及因子的任意性及因子 的连续性，的连续性，则有则有 是使泛函是使泛函 取得极值的函取得极值的函数应满足的方程。这个方程成为数应满足的方程。这个方程成为Eular方程。方程。注意到，注意到，Eular方程经展开后，成为方程经展开后，成为该方程为一个二阶常微分方程，方程的解还需满足条件该方程为一个二阶常微分方程，方程的解还需满足条件，即，即 二、固定端点的简单泛函的条件极值问题二、固定端点的简单泛函的条件极值问题 考虑简单泛函考虑简单泛函其中函数其中函数 且且及满足条件及满足条件求函数求函数 满足条件满足条件和和并使由并使由式定义的泛式定义的泛函取得极小值。这样的问题就称为泛函条件极值问题。函取得极小值。这样的问题就称为泛函条件极值问题。如同条件极值，泛函条件极值问题也可拉格朗日乘数如同条件极值，泛函条件极值问题也可拉格朗日乘数法加以解决。为此作辅助函数法加以解决。为此作辅助函数和辅助泛函和辅助泛函其中其中 为引入的待定常数。为引入的待定常数。得到的使泛函得到的使泛函 取极值的函数取极值的函数 即为即为原问题的解。原问题的解。六、生产安排问题六、生产安排问题泛函极值问题泛函极值问题 工厂与客户签定合同，规定工厂在时间工厂与客户签定合同，规定工厂在时间 内向客户提内向客户提供供 件产品。为了使工厂在生产过程中的费用达到最件产品。为了使工厂在生产过程中的费用达到最小，工厂应如何安排生产？小，工厂应如何安排生产？模型假设模型假设 1.工厂在单位时间内生产这类产品的生产费用是当时工厂在单位时间内生产这类产品的生产费用是当时产品增长率的函数产品增长率的函数;2.工厂必须按合同规定交付产品，提前交付或滞后交工厂必须按合同规定交付产品，提前交付或滞后交付都属违约，存储费与产量成正比。付都属违约，存储费与产量成正比。建模建模 设在时刻设在时刻 时开始生产，时开始生产，为时刻为时刻 时的累计时的累计产量，则由条件所设，有产量，则由条件所设，有 记在时刻记在时刻 时单位时间内所生产的产品费用为时单位时间内所生产的产品费用为 产产品增长率为品增长率为 即即由假设由假设1，有，有因而有因而有 令令其中其中 为比例常数，所以在时段为比例常数，所以在时段 内总的生产费用内总的生产费用为为记在记在 时刻单位时间内的产品存储费用为时刻单位时间内的产品存储费用为 由假设由假设2.有有 其中其中 为比例常数。于是在时间段为比例常数。于是在时间段 总存储费用为总存储费用为所以在时间段所以在时间段 总费用为总费用为即问题转变为求满足条件即问题转变为求满足条件的函数的函数 使得泛函使得泛函取取得极小值。得极小值。解模解模 由于被积函数为由于被积函数为 故相应的故相应的Eular方程为方程为与与构成一个二阶常微分方程的边际问题。方程的通构成一个二阶常微分方程的边际问题。方程的通解为解为再由初始条件再由初始条件 得得当生产计划为当生产计划为 时，工厂完成合同中的生产任务的总时，工厂完成合同中的生产任务的总费用最小。费用最小。分析分析 由于由于 所以所以 的图象为开口向上的经过原的图象为开口向上的经过原点一条抛物线。又由于当点一条抛物线。又由于当 时，时，所以只有所以只有在第一象限中的部分才是问题的解。在第一象限中的部分才是问题的解。1.若当若当 时，总有时，总有即有即有即有即有即即等价于等价于此说明，在条件此说明，在条件满足时，满足时，所规定的生产计划是最优所规定的生产计划是最优的计划。的计划。2.若若式不成立，即式不成立，即则必存在则必存在 使得使得 令令则平移曲线则平移曲线 在时间在时间 区间中，由区间中，由可完成相应的生产计划。可完成相应的生产计划。但此时要增加存储费但此时要增加存储费 这显然是不合理的。反之在区间这显然是不合理的。反之在区间 中不安排生中不安排生产，而从产，而从 开始生产，并到开始生产，并到 时完成生产计划。此时完成生产计划。此为最佳生产计划。为最佳生产计划。应用应用 例例1 设设 则则相应的生产方案为相应的生产方案为 例例2 设设 则则同样可以得到同样可以得到令令 即在区间即在区间 按按 安安排生产。排生产。思考：该问题解的意义是什么？思考：该问题解的意义是什么？七、商品的最优价格七、商品的最优价格条件泛函极值问题条件泛函极值问题 如何根据市场的变化确定商品的价格，以获得最大利如何根据市场的变化确定商品的价格，以获得最大利润，这是企业经营决策中的一个重要问题。润，这是企业经营决策中的一个重要问题。模型假设模型假设 根据供销平衡的原则，设产量和销售量均为根据供销平衡的原则，设产量和销售量均为 每件产每件产品的生产成本为品的生产成本为 价格为价格为 则总成本为则总成本为 销售销售收入为收入为 建模建模 在市场竞争的制约下，销售量是价格的减函数，即在市场竞争的制约下，销售量是价格的减函数，即此函数称为需求函数。因而在总成本不变的情况下，利此函数称为需求函数。因而在总成本不变的情况下，利润为润为从而问题转变为求从而问题转变为求 使使 达到最大。达到最大。解模解模 当销售价格当销售价格 不随时间变化而变化时，可采用求极值不随时间变化而变化时，可采用求极值的方法。即令的方法。即令即即 在经济学中，上式的左端称为边际收入，右边称为边在经济学中，上式的左端称为边际收入，右边称为边际成本，因此际成本，因此式所反映的一个重要的定律：最优经济式所反映的一个重要的定律：最优经济效益是当边际收入等于边际成本时取得。效益是当边际收入等于边际成本时取得。模型分析模型分析 设需求函数设需求函数 在该问题中，在该问题中，称为绝对需求量，表示向社会提供的称为绝对需求量，表示向社会提供的免费产品的需求量。而免费产品的需求量。而表示市场需求对价格的敏感程度。表示市场需求对价格的敏感程度。此时此时由此得到，由此得到，上式说明最优价格由两部分组成：第一部分为成本的上式说明最优价格由两部分组成：第一部分为成本的一半，另一部分与绝对需求量成正比，与敏感程度成反一半，另一部分与绝对需求量成正比，与敏感程度成反比。比。要求在一段时间要求在一段时间 内达到总销售量内达到总销售量 的情况。的情况。设价格设价格 为时间的函数。并设需求函数仍然为为时间的函数。并设需求函数仍然为则相应的总利润为则相应的总利润为且函数且函数 还需满足条件还需满足条件此是一个条件泛函极值问题。由拉格朗日乘数法，得此是一个条件泛函极值问题。由拉格朗日乘数法，得因被积函数因被积函数中未出现中未出现 故相应的故相应的Eular方程为方程为即即解得：解得：将将代入到条件代入到条件 得到得到因被积函数为常数，得因被积函数为常数，得即即所以，所以，解出解出 得得代入代入，有，有即即从从式中可以看到，最优价格与成本无关，若销售周期式中可以看到，最优价格与成本无关，若销售周期延长，则价格延长，则价格 可定得高一些；若销售量可定得高一些；若销售量 增多，则价增多，则价格格 可低一些。可低一些。考虑因滞销所产生的影响考虑因滞销所产生的影响 假设其它情况如同假设其它情况如同 此时由于因滞销而造成了损此时由于因滞销而造成了损失，因而成本不再是常量。而应该是时间的函数。失，因而成本不再是常量。而应该是时间的函数。设设 的相对增长率为的相对增长率为 即即注意到初始成本注意到初始成本解此微分方程解此微分方程、，得到解，得到解于是如同于是如同的讨论，总收益为的讨论，总收益为限制条件为限制条件为由此得到条件泛函为由此得到条件泛函为相应的相应的Eular方程为方程为即即解出解出 得得再代入限制条件再代入限制条件得得积分后得到，积分后得到，从而从而代入代入式，得到式，得到八、赛跑的最优速度安排八、赛跑的最优速度安排 问题问题 赛跑时运动员要根据自己的体力来合理安排速赛跑时运动员要根据自己的体力来合理安排速度是重要的技术问题。能充分发挥运动员的潜力。使得度是重要的技术问题。能充分发挥运动员的潜力。使得比赛的成绩有所提高。那么如何安排体能使比赛成绩达比赛的成绩有所提高。那么如何安排体能使比赛成绩达到最佳？到最佳？假设假设 1.运动员能发挥出的最大冲力是有限的。在除了其它运动员能发挥出的最大冲力是有限的。在除了其它因素的干扰下，每个运动员认为自己的最大冲力是常数。因素的干扰下，每个运动员认为自己的最大冲力是常数。2.在运动的时候，来自体外的阻力和来自体内的阻力在运动的时候，来自体外的阻力和来自体内的阻力存在，与速度成正比；存在，与速度成正比；3.在运动过程中，运动员通过呼吸从外界吸入氧气，在运动过程中，运动员通过呼吸从外界吸入氧气，然后通过体内的消化系统、血液系统等进行新陈代谢作然后通过体内的消化系统、血液系统等进行新陈代谢作用，为运动员提供能量。假定运动员足够强壮，使得这用，为运动员提供能量。假定运动员足够强壮，使得这种能量的提供速度在运动期间保持常量。种能量的提供速度在运动期间保持常量。4.运动员在运动过程中体内所存储的能量是逐渐减少运动员在运动过程中体内所存储的能量是逐渐减少的。对每个运动员来说，在平时能提供的体能可设为常的。对每个运动员来说，在平时能提供的体能可设为常量。这个量就是运动刚开始时体能的初始值。量。这个量就是运动刚开始时体能的初始值。建模建模 假设比赛距离为假设比赛距离为 运动员跑的时间为运动员跑的时间为 速度函数为速度函数为 则有则有则问题转变为求速度则问题转变为求速度 使得在赛跑距离使得在赛跑距离 一定时，一定时，赛跑时间赛跑时间 取得最小值。该问题等价于求速度函数取得最小值。该问题等价于求速度函数使得在赛跑时间一定时，赛跑的距离使得在赛跑时间一定时，赛跑的距离 取得最大值。取得最大值。记记 为运动员能够发挥出来的冲力函数。记为运动员能够发挥出来的冲力函数。记 为为运动员的最大冲力，则有运动员的最大冲力，则有 记记 为体内外的总阻力系数。由假设为体内外的总阻力系数。由假设2总阻力为总阻力为则由牛顿定律，有则由牛顿定律，有其中其中 为为运动员的质量。取为为运动员的质量。取 则则式可写为式可写为初始条件为初始条件为从而问题转变成如何控制函数从而问题转变成如何控制函数 使得在赛跑时间使得在赛跑时间一定时，由一定时，由和和所确定的赛跑距离所确定的赛跑距离 达到最大。达到最大。记记 为运动员的体能函数，为运动员的体能函数，为运动员体能的最为运动员体能的最大值，由假设大值，由假设4，知，知 为常量，且有为常量，且有 记记 为在单位时间内由氧的新陈代谢为运动员所提供为在单位时间内由氧的新陈代谢为运动员所提供能量，由假设能量，由假设3，为常量，单位时间内体能的变化为由为常量，单位时间内体能的变化为由氧的新陈代谢为运动员所提供能量和所消耗的能量（为氧的新陈代谢为运动员所提供能量和所消耗的能量（为获得速度获得速度 而所作的功而所作的功 ）的差，即）的差，即现在的问题是：寻找合适的函数现在的问题是：寻找合适的函数 使使得在赛跑时间得在赛跑时间 一定时，由一定时，由，所确定的赛跑距所确定的赛跑距离离 达到最大值。达到最大值。解模解模 把整个过程分成三个阶段：初始阶段、中间阶段和最把整个过程分成三个阶段：初始阶段、中间阶段和最后阶段。后阶段。1.初始阶段初始阶段 这个阶段的时间段为这个阶段的时间段为 其中其中 为待定的常量，且为待定的常量，且 在这个阶段中，赛跑的速度为在这个阶段中，赛跑的速度为 在这个阶段中，假设运动员是以全力赛跑的，即以最在这个阶段中，假设运动员是以全力赛跑的，即以最大的冲力在加速跑。此时即有大的冲力在加速跑。此时即有 从而方程从而方程为为由由和初始条件和初始条件 可解出可解出将将代入代入，则，则变成变成由由及初始条件可得及初始条件可得在在中应有中应有因因 及及由连续函数的零点定理，知存在某个时刻由连续函数的零点定理，知存在某个时刻 使得使得若运动员赛跑的时间若运动员赛跑的时间 则运动员应该以最大的冲则运动员应该以最大的冲力去赛跑，此时赛跑只有初始阶段，即力去赛跑，此时赛跑只有初始阶段，即如果让运动员用最大冲力去跑，而要保持如果让运动员用最大冲力去跑，而要保持 则则能跑的最大距离为能跑的最大距离为所以，若赛程不超过所以，若赛程不超过 则运动员应该以最大的冲力来则运动员应该以最大的冲力来跑才是最优策略。跑才是最优策略。2.最后阶段最后阶段 设此阶段为设此阶段为 其中其中 为待定参数，且为待定参数，且而赛跑速度为而赛跑速度为 假设在这个时段中运动员已经把全部存储的能量使用假设在这个时段中运动员已经把全部存储的能量使用完了，而是依靠在完了，而是依靠在 时获得的速度的惯性来冲刺。因此时获得的速度的惯性来冲刺。因此有有将将代入代入，得，得由条件由条件，得，得该方程可写成该方程可写成相应的解为相应的解为其中其中 为这个阶段的初始速度。为这个阶段的初始速度。3.中间阶段中间阶段 为了确定数值为了确定数值 设该阶段为设该阶段为 赛跑速赛跑速度为度为 现求取得最大赛程现求取得最大赛程 时的速度时的速度 由于在初始阶段和最后阶段的速度都已经有了相应的由于在初始阶段和最后阶段的速度都已经有了相应的表达式表达式和和，故赛程为，故赛程为其中其中 还满足还满足 由方程由方程及初始条件，得方程及初始条件，得方程当当 时得到时得到 现在的问题是，在条件现在的问题是，在条件满足的条件下，求泛函满足的条件下，求泛函的的极值。由极值。由Lagrange乘数法，作辅助泛函乘数法，作辅助泛函在上式中将与在上式中将与 无关的量略去，则可写成无关