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三章变形分析的系统论方法 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望3.5 变形体系统的运动稳定性分变形体系统的运动稳定性分析析3.5.1 系统的稳定性问题系统的稳定性问题稳定性是系统的主要特征之一。现代系统理论在研究系统的演化时，不可避免地要涉及到稳定性问题。稳定性概念也是工程实际中十分重要的概念。在变形监测中，一个重要的问题就是变形体系统的当前状态或以后状态是否稳定及其稳定度如何？系统的稳定性可从不同的侧面进行定义和评价，但这些定义的一个共同特征是：它们都是相对于一定的干扰而言的；稳定的变形系统在长期干扰下可能逐渐趋于不稳定状态，因而在小干扰作用下产生失稳破坏。下图显示了三种形式的平衡态；平衡态的稳定性示意图3.5 变形体系统的运动稳定性分变形体系统的运动稳定性分析析3.5.2 李雅普罗夫运动稳定性定义李雅普罗夫运动稳定性定义定义1：考虑动力系统方程，设在某一初始条件xi|t=t0=xi（0）下的特解为fi（t），i=1,2.n，称为未干扰运动。相对这个未干扰运动而言，系统的其它运动为受干扰运动。定义2：如果对于任意小的正数，总存在另一正数(,t0)使得对于所有的受干扰运动xi（t），i=1,2.n，当其在初始时刻t=t0满足：；而在所有tt0时满足：；则称未干扰运动fi（t）是李雅普罗夫意义下稳定的，否则李雅普罗夫意义下稳定的，否则称未干扰运动fi（t）是不稳定的。不稳定的。3.5 变形体系统的运动稳定性分变形体系统的运动稳定性分析析定义3：如果对于任意小的正数，在一个只依赖于而与t0无关的正数()，当 时，对所有的tt0都有 ，则称动态系统的未干扰运动fi（t）是一致的。定义4：如果未干扰运动fi（t）是李雅普罗夫意义下稳定的李雅普罗夫意义下稳定的，而且 ，则称未干扰运动fi（t）是渐进稳定的。定义5：如果未干扰运动fi（t）是李雅普罗夫意义下稳定的，并李雅普罗夫意义下稳定的，并且对于任一组初始值且对于任一组初始值xi|t=t0=xi（0）均有 ，则称未干扰运动fi（t）是全局（渐进）稳定的。3.5 变形体系统的运动稳定性分变形体系统的运动稳定性分析析定义6：如果未干扰运动fi（t）是李雅普罗夫意义下稳定的李雅普罗夫意义下稳定的，并且系统运动限制在某个空间区域G中，对任何初始值xi|t=t0=xi（0）均有 ，则称未干扰运动fi（t）是在区域G中全局（渐进）稳定的，或在区域G大范围稳定。从上述从上述李雅普罗夫运动稳定性定义可以看出，它要求：李雅普罗夫运动稳定性定义可以看出，它要求：（1）初始扰动范围很小；）初始扰动范围很小；（2）运动发生在无限长的时间上；）运动发生在无限长的时间上；（3）初始扰动之后没有其他外部扰动，即没有经常作）初始扰动之后没有其他外部扰动，即没有经常作 用的干扰。用的干扰。3.5 变形体系统的运动稳定性分变形体系统的运动稳定性分析析 动力系统运动稳定性研究的是微分方程解的性质，然而除了个别简单的微分方程可以求解外，大部分非线性方程是难以求解的。对此，李雅普罗夫在他的著名论文运动稳定性一般问题中提出了两种运动稳定性的判别方法。运动稳定性判别的级数展开法；运动稳定性判别的直接法；3.5.3 运动稳定性的判别方法运动稳定性的判别方法3.5 变形体系统的运动稳定性分变形体系统的运动稳定性分析析3.5.4 变形体系统运动稳定性分析变形体系统运动稳定性分析分析变形体系统运动稳定性方法分析变形体系统运动稳定性方法建立描述变形体系统运动的动力学模型；根据建立的动力学方程分析变形体系统的运动形式，确定无干扰运动；根据运动稳定性判别方法判别变形体系统的稳定性；