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线性空间及线性变换第1页，本讲稿共69页 (5)若 是线性空间V的一组基,则其中 表示由 生成的子空间.(6)若若W=V1+V2且且V1与与V2正交正交,则则W=V1V2.上面的结论可推广到多个子空间的情况上面的结论可推广到多个子空间的情况.(7)设线性变换设线性变换/A的特征多项式为的特征多项式为:则则V可分解为可分解为A的不变子空间的直和的不变子空间的直和V=V1 V2Vs,其中其中:是是A属于属于 的根子空间的根子空间.第2页，本讲稿共69页 2.子空间的性质子空间的性质 我们用我们用dimV表示线性空间表示线性空间V的维数的维数.(1)设设V1和和V2是线性空间是线性空间V的子空间的子空间,则则 dimV1+dimV2=dim(V1+V2)+dim(V1V2).(2)设设V1,V2,Vm是线性空间是线性空间V的真子空间的真子空间,则必则必存在存在 ,使使 ,(3)设设V1=L(u1,u2,um),v1,v2,vr是是V1中的中的r个个线性无关的向量线性无关的向量,且且r0,且 的首项系数为1.).若 =1,那么 ,于是f(A)=An=0,知A必为幂零矩阵,导致矛盾.可见 ,于是将 分解为一次因式的乘积,可得A的所有的初等因子,将A的所有的对应于特征值零的Jordan块组成块对角矩阵B,显然B是个幂零矩阵,而将A的所有的对应于非零特征值的Jordan块组成对角矩阵C,由于上三角阵C第38页，本讲稿共69页 显然显然J为为A的的Jordan标准形那么存在可逆矩阵标准形那么存在可逆矩阵P,使使得得:的主对角线上没有零元的主对角线上没有零元,显然显然C可逆可逆,令令 例例6.3.3(浙江大学浙江大学,2004年年)设设V=Pnn是是P上的线性上的线性空间空间.取定取定A,B,C,DPnn,对任意对任意XPnn,令令 (X)=AXB+CX+XD.求证求证:(1)是是V的线性变换的线性变换.(2)当当C=D=0,可逆的充要条件是可逆的充要条件是|AB|0.第39页，本讲稿共69页 (2)充分性充分性 证明证明:(1)显然有显然有 (X)V,知知 是是V上的线性变上的线性变换换,下面证明它必是线性的下面证明它必是线性的.即 为V上的线性变换.若若|AB|0,那么有那么有|A|0且且|B|0,则矩阵则矩阵A,B都可逆都可逆.若令若令Y=AXB,那么有那么有X=A-1YB-1,于是可令于是可令 -1(X)=A-1XB-1,易验证易验证 ,即有即有 可逆可逆.第40页，本讲稿共69页 特别地特别地,取取Y=In代入代入(I)式并在两边取行列式有式并在两边取行列式有|AXB|=10,显然可得显然可得|AB|0.证明证明:必要性必要性.必要性必要性:若若 可逆可逆,那么显然有那么显然有 为为V上的双射上的双射,且是满射且是满射,那么任取那么任取YV,存在存在XV使得使得AXB=Y (I)例例6.3.4(华中科技大学华中科技大学,2006年年)设设 是数域是数域P上上的的n维线性空间维线性空间V的线性变换的线性变换,W1,W2是是V的子空间的子空间,并并且且V=W1W2,证明证明:有逆变换的充分必要条件是有逆变换的充分必要条件是:若 有逆变换,那么 是个V上的双射,显然也是V上的同构变换,注意到同构变换不改变向量组的线性相关性那么显然有:第41页，本讲稿共69页 .即有 ,由 是个单射知 ,即有 ,由V是W1与W2的直和知 .即有 ,知 ,于是比较维数有:而若 ,那么存在 使得:也即有:充分性充分性:若若 且且V=W1W2,下面证下面证明明 必可逆必可逆.由由V=W1W2,不妨设不妨设dimW1=r,取取W1的一组基的一组基 和和W2的一组基的一组基 合合起来构成起来构成V的一组基的一组基.若一个空间中的一组向量线性若一个空间中的一组向量线性相关相关,那么这组向量在那么这组向量在 下的象也必线性相关下的象也必线性相关,那那么显然有么显然有 .若若 或或 ,将导致将导致 的的矛盾矛盾,于是必有于是必有 .第42页，本讲稿共69页 例例6.3.5(武汉大学武汉大学,2003年年)设设V1和和V2是向量空间是向量空间V的子空间的子空间,且且V=V1V2(即即V是是V1与与V2的直和的直和),若定若定义映射：义映射：注意到注意到 张成了空间张成了空间 ,由由 知知 必线必线性无关性无关,那么就构成了那么就构成了 的一个基的一个基.同理同理 构成了构成了 的一个基的一个基,由由V=W1W2 知这两组基合起来就构成了知这两组基合起来就构成了V的一组基的一组基,于是取于是取V上的变换上的变换 如下如下:将将V上的基上的基 依次映射到基依次映射到基 显然易验证 .即有即有 是是 的逆变换的逆变换.第43页，本讲稿共69页 证明证明:(1)f1,f2是是V的线性变换的线性变换.(2)f12=f1,f22=f2.(3)f1f2=f2f1=0(零变换零变换),f1+f2=idV(V的恒等变换的恒等变换).知知f1,f2都是都是V的线性变换的线性变换.证明证明:(1)对对 V和常数和常数k有有:第44页，本讲稿共69页即知即知f12=f1,f22=f2.即有即有:f1f2=f2f1=0,f1+f2=idV.(2),有：(3),有：且有：第45页，本讲稿共69页 下面证这个线性变换是唯一的下面证这个线性变换是唯一的.可见有可见有S=T,即得唯一性即得唯一性.例例6.3.6(重庆大学重庆大学,2003年年)设设e1,e2,en是是n维线维线性空间性空间Vn的一组基的一组基,对任意对任意n个向量个向量 ,证明证明:存在唯一的线性变换存在唯一的线性变换T使得使得 .证明证明:显然显然 ,由于由于e1,e2,en是它的一组是它的一组基基,那么那么 可写为可写为 =l1e1+l2e2+lnen (I)作作Vn上的线性变换上的线性变换T为为 ,那么那么显然有显然有T()=l1T(e1)+l2T(e2)+lnT(en)若还有一个线性变换若还有一个线性变换S满足满足 ,那那么对于么对于(I)中任取的中任取的 有有S()=l1S(e1)+l2S(e2)+lnS(en)第46页，本讲稿共69页 例例6.3.7(重庆大学重庆大学,2004年年)已知全体实的已知全体实的2维向量维向量关于下列运算构成关于下列运算构成R上的线性空间上的线性空间V:(a1,b1)+(a2,b2)=(a1+a2,b1+b2+a1a2);k(a,b)=(ka,kb+k(k-1)/2a2)(1)求求V的一组基的一组基.(2)定义变换定义变换/A(a,b)=(a,a+b),证明证明:/A是一个线性是一个线性变换变换,并求并求/A在在V的一组基下的矩阵表示的一组基下的矩阵表示.解解:(1)显然显然dimV=2,那么只要找到那么只要找到V中的两个线性中的两个线性无关的向量即可组成无关的向量即可组成V的一组基的一组基,考查考查V中的两个向中的两个向量量:e1=(1,0),e2=(0,1).下面证明它们是线性无关的下面证明它们是线性无关的,令它们的线性组合为令它们的线性组合为零零,有有:k1(1,0)+k2(0,1)=(0,0).于是有于是有:(k1,k1(k1-1)/2+k2)=(0,0).第47页，本讲稿共69页即有即有e1,e2线性无关线性无关,并组成并组成V的一组基的一组基.(2)任取任取(a,b),(c,d)V,kR,有有/A(a,b)+(c,d)=/A(a+c,b+d+ac)=(a+c,a+b+c+d+ac),/A(a,b)+/A(c,d)=(a,a+b)+(c,c+d)=(a+c,a+b+c+d+ac)即知即知/A(a,b)+(c,d)=/A(a,b)+/A(c,d).那么有:易推得:而第48页，本讲稿共69页 显然有显然有:/A(k(a,b)=k/A(a,b).即知即知/A是个线性变换是个线性变换.由由(1)知知e1,e2是是V的一组基的一组基,下面求线性变换下面求线性变换/A在在这组基下的矩阵表示这组基下的矩阵表示.由由/A(e1)=/A(1,0)=(1,1),不妨设不妨设(1,1)=l1e1+l2e2 解得解得:l1=l2=1.而显然而显然:/A(e2)=/A(0,1)=(0,1)=1(0,1),那么可得 于是有:即为为/A在基在基e1,e2下的矩阵表示下的矩阵表示.第49页，本讲稿共69页 例6.3.8(北京科技大学,2004年)如果 都是幂等 的线性变换.证明:(1)如果 ,则 也是幂等变换.(2)如果 是幂等变换,则 .证明:(1)若 ,那么 即 也是幂等变换.(2)(大连理工大学大连理工大学,2007年考过年考过)第50页，本讲稿共69页 如果 是幂等变换，则 .设全空间为V,且不妨设 为 的某个特征值,且对应于这个特征值的一个特征向量(是非零向量)为 ,那么由 ,有 .也即有 ,于是 ,那么 或 .于是 的特征值只能为1或0,那么记V1和V0分别为线性变换 的对应于特征值1和特征值0的特征子空间,那么 ,有:由知于是V=V1+V0.而若 ,那么有第51页，本讲稿共69页 于是有于是有V=V1V0.即有即有 ,那么那么V1V0=0.由 易得 ,存在 ,使得 等式(I)两边同时作用 有 注意到 ,且(I)式两边同时作用 有 那么由(II)易推得 注意到 的特征值只能有1和0,那么必有 (否则 就有特征值为-1,导致矛盾),于是就有:即有即有:.第52页，本讲稿共69页 例例6.3.9(华东师范大学华东师范大学,2002年年)设设/A为数域为数域K上的上的n维线性空间维线性空间V的一个线性变换的一个线性变换,满足满足/A2=/A,C为为/A在在V的某组基下的矩阵的某组基下的矩阵,且有且有r(C)=r.(1)证明证明:(i)A+E为为V的可逆线性变换的可逆线性变换;(ii)r(C)=tr(C).(2)试求试求|2E-C|.(E为单位矩阵或恒等变换为单位矩阵或恒等变换)证明证明:(1)(i)显然只要证明显然只要证明C+I是个可逆阵即可是个可逆阵即可.由/A2=/A可知C2=C.由对矩阵 作分块矩阵的初等变换可得r(C)+r(I-C)=n.若设r(C)=r,那么矩阵C对应于特征值1的线性无关的特征向量的个数为r个,对应于特征值0的线性无关的特征向量的个数为n-r个,将这些特征向量合并成可逆矩阵P,有:第53页，本讲稿共69页 即知即知C+I可逆可逆,那么那么/A+/E为为V上的可逆线性变换上的可逆线性变换.(ii)显然由显然由(I)式可得式可得:(2)由由(I)知知:那么有:显然有:第54页，本讲稿共69页考点考点4:特征值、特征向量、矩阵的对角化与矩阵的特征值、特征向量、矩阵的对角化与矩阵的幂幂考点点拨：对矩阵的特征值、特征向量的定义和性考点点拨：对矩阵的特征值、特征向量的定义和性质，以及利用矩阵的完全的特征向量系对角化并利质，以及利用矩阵的完全的特征向量系对角化并利用对角化形式计算矩阵的幂的考查用对角化形式计算矩阵的幂的考查,包含了将矩阵看包含了将矩阵看成是线性变换的情形成是线性变换的情形.例6.4.1(上海交通大学,2004年)对于数域P上的n维线性空间V,假设存在V上的线性变换 ,满足(1);(2)的秩小于 的秩.试证明:与 至少有一个公共的特征向量.分析分析:注意将线性变换转换成矩阵的形式以简化条件注意将线性变换转换成矩阵的形式以简化条件.第55页，本讲稿共69页 那么由题目条件可知那么由题目条件可知:CB=0,r(A)r(B).下面找出下面找出A和和C的一个公共的特征向量的一个公共的特征向量.由条件由条件CB=0知知,B的列向量全属于线性方程组的列向量全属于线性方程组Cx=0的解空间的解空间,那么显然有那么显然有B的列秩满足的列秩满足r(B)n-r(C).由由r(A)r(B)知知r(A)+r(C)n.证明证明:取定取定V中的一组基中的一组基e1,e2,en,不妨设不妨设 在这组基下的矩阵表示分别为在这组基下的矩阵表示分别为A,B,C.注意到注意到V1+V2 V,显然有显然有dim(V1+V2)dimV=n.第56页，本讲稿共69页 利用维数公式利用维数公式 dim(V1V2)=dimV1+dimV2-dim(V1+V2)0 证明证明:必要性显然必要性显然,下证充分性下证充分性.即存在非零向量即存在非零向量 V1V2,显然显然 就是属于就是属于A和和C的特征值为零的公共的特征向量的特征值为零的公共的特征向量.那么以那么以e1,e2,en为基为基,以以 为坐标的为坐标的V中的向量即为中的向量即为 与与 的一个公共的特征向量的一个公共的特征向量.例例6.4.2(浙江大学浙江大学,2006年年)设设A为实矩阵为实矩阵,证明存证明存在正交矩阵在正交矩阵G,使得使得G-1AG为上三角矩阵的充要条件为上三角矩阵的充要条件是是A的特征值均为实数的特征值均为实数.若若A的特征值全为实数的特征值全为实数,对对A的阶数的阶数n使用数学归纳使用数学归纳法法.n=1时结论显然成立时结论显然成立.第57页，本讲稿共69页 假设在n-1时结论成立,那么在A的阶数为n时,取A的一个特征值为 所对应的一个单位特征向量 ,显然有 ,那么将 扩充为n维列向量空间V的一组标准正交基为 ,将A看成是V上的线性变换,有:令正交阵 ,那么 .显然有矩阵显然有矩阵 与矩阵与矩阵A相似相似,那么它们有那么它们有着相同的特征值着相同的特征值,于是于是n-1阶矩阵阶矩阵A1的特征值必全为的特征值必全为实数实数.利用归纳假设利用归纳假设,存在正交矩阵存在正交矩阵P1使得使得P1-1A1P1=D为上三角矩阵为上三角矩阵,若令若令 ,显然显然G-1AG为上三角矩阵为上三角矩阵.第58页，本讲稿共69页 例例6.4.3(北京航空航天大学北京航空航天大学,2004年年)设设T是是n维线维线性空间性空间V的一个线性变换的一个线性变换,是是T的一个特征值的一个特征值,是是T的关于特征值的关于特征值 的特征子空间的特征子空间,证明证明:的维数的维数的的 重数重数 分析:也即特征值 的几何重数不超过其代数重数,在一般的高代书上都有解答.证明证明:设设dim =t,且有且有e1,e2,et是是 的一组基的一组基,由于由于 中的元素都是中的元素都是T的关于的关于 的特征向量的特征向量,那么那么有有:将将e1,e2,et扩充为扩充为V的一组基的一组基,记为记为e1,et,et+1,en,那么那么T在这组基下的矩阵表示为在这组基下的矩阵表示为:第59页，本讲稿共69页 注注:几何重数和代数重数的定义几何重数和代数重数的定义:显然n维空间V上的线性变换 有完全的特征向量系当且仅当 有n个线性无关的特征向量.设 是V上的线性变换,是 的一个特征值,V0是关于 的特征子空间,则称dimV0为 的度数(或几何重数),作为 的特征多项式根的重数称为 的重数(或代数重数).若 的任一特征值的重数等于度数,则称 有完全的特征向量系.其中其中,B是一个是一个n-t阶的方阵阶的方阵,而而A的特征多项式为的特征多项式为:这表明这表明 的重数至少为的重数至少为t,即即 的维数的维数 的重数的重数第60页，本讲稿共69页 例例6.4.4(北京航空航天大学北京航空航天大学,2005年年)设设A,B为为n阶阶矩阵矩阵,且且A有有n个互异的特征值个互异的特征值,则则A的特征向量恒为的特征向量恒为B的特征向量的充要条件是的特征向量的充要条件是AB=BA.解解:(1)必要性必要性 注意到注意到A有有n个互异的特征值个互异的特征值,那么意味着那么意味着A有完全有完全的特征向量系的特征向量系,不妨设不妨设A的一个完全特征向量系为的一个完全特征向量系为e1,e2,en,那么由题知那么由题知e1,e2,en也为也为B的特征向的特征向量量,那么不妨设那么不妨设:若令若令P=(e1,e2,en),可得可得:显然有:第61页，本讲稿共69页 (2)充分性充分性 若AB=BA,不妨设A的某个特征值 的某个特征向量为 ,那么显然A的特征子空间可写为 ,下面证明 必是B的一个特征向量 由由AB =BA =B =B 知必有知必有 ,注意到注意到 是个一维的空间是个一维的空间,那么存在某个数那么存在某个数 使使得得即即 必为必为B的一个特征向量的一个特征向量.例例6.4.5(武汉大学武汉大学,2006年年)设矩阵设矩阵A=,其中其中 是是n维列向量维列向量,是是 的转置的转置.又已知又已知 .(1)证明证明:A2=A.(2)证明证明:B=E+A+A2+An是可逆矩阵是可逆矩阵,并求并求B-1,这里这里E是是n阶单位矩阵阶单位矩阵.第62页，本讲稿共69页 (2)显然可求得显然可求得A为对称阵为对称阵,且且A的全部特征值为的全部特征值为0(n-1重重),1(一重一重).那么不妨设可逆阵那么不妨设可逆阵P使得使得A=Pdiag1,0,0P-1.于是有于是有B=E+A+A2+An=Pdiagn+1,1,1P-1 显然显然B为可逆阵为可逆阵,且有且有:证明:(1)显然有:第63页，本讲稿共69页 例例6.4.6(中山大学中山大学,2007年年)设设A是一个是一个nn实对称实对称矩阵矩阵,是是A的最大特征值的最大特征值.证明证明:证明:不妨设对称阵A的n个特征值为 由题知,而由A是对称阵显然存在正交矩阵Q使得:AQ=Q 设Q=,并取 显然有 构成n维列向量空间的一组基,那么向量 可由它线性表出,不妨设为:第64页，本讲稿共69页 注意到注意到:那么有:把 代入上式可得:第65页，本讲稿共69页 即有:考点考点4:线性变换的值域、核与逆线性变换的值域、核与逆考点点拨：对线性变换的值域、核的概念和性质考点点拨：对线性变换的值域、核的概念和性质,以以及线性变换的逆变换的考查及线性变换的逆变换的考查,包括对直和、可交换性、包括对直和、可交换性、不变子空间及特征子空间等一系列概念的综合考查不变子空间及特征子空间等一系列概念的综合考查.例6.5.1(上海交通大学,2005年)(1)假设V是数域P上的n维线性空间,而 是V上的线性变换,且满足 ,(其中IV是V的恒等变换,i,j=1,2,3,4).求证:是 的核 与 的核 的直和.第66页，本讲稿共69页 (2)假设假设n阶方阵阶方阵A,B,C,D关于矩阵乘法相互可以交关于矩阵乘法相互可以交换换.如果如果AC+BD=In,试证明试证明:r(AB)=r(A)+r(B)-n.解解:(1)首先证明是和首先证明是和.然后证明是直和然后证明是直和.即是直和即是直和.,由 可得:显然由 ,且 和 可交换,有:若 ,由可交换的条件可知:第67页，本讲稿共69页 (2)把把A,B,C,D看成是空间看成是空间Rn上的线性变换上的线性变换,那么利那么利用第用第(1)问中直和的结果问中直和的结果,可得可得dimker(AB)=dimker(A)+dimker(B)于是于是:n-r(AB)=n-r(A)+n-r(B).即有即有:r(AB)=r(A)+r(B)-n.于是于是V=V1+V2.例例6.5.2(浙江大学浙江大学,2004年年)设设 是线性空间是线性空间V的线的线性变换且性变换且 .令令V1=,V2=.证明证明:V=V1V2且对每个且对每个aV1有有 .证明:有 知:而 ,由第68页，本讲稿共69页 即有即有V1V2=0,于是于是V=V1V2.而若而若 V1V2,那么有那么有 V使得使得:那么:若若aV1,那么存在那么存在bV使得使得:于是:第69页，本讲稿共69页