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线性系统稳定性分线性系统稳定性分析析第1页，本讲稿共24页3.53.5线性系统稳定性分析线性系统稳定性分析 系统稳定性概念 稳定的充要条件 稳定性判断方法第2页，本讲稿共24页1.1.系统稳定性概念系统稳定性概念李李亚亚普普诺诺夫夫稳稳定定性性叙叙述述:若若线线性性控控制制系系统统在在扰扰动动影影响响下下其其动动态态过过程程随随着着时时间间的的推推移移逐逐渐渐衰衰减减并并趋趋于于零零（原原平平衡衡点点），则则称称系系统统渐渐近近稳稳定定，简简称称稳稳定定。若若系系统统在在扰扰动动影影响响下下，其其动动态态过过程程随随着着时时间间的推移而发散，则称系统不稳定。的推移而发散，则称系统不稳定。系系统统受受扰扰动动偏偏离离了了平平衡衡状状态态，当当扰扰动动消消除除后后系系统统能能够够恢恢复复到到原原来来的的平平衡衡状状态态，则则称称系系统统稳稳定定，反反之称系统不稳定。之称系统不稳定。第3页，本讲稿共24页2.2.线性系统稳定的充要条件线性系统稳定的充要条件线性系统稳定的充要条件：线性系统稳定的充要条件：闭环系统特征方闭环系统特征方程的所有根均具有负实部；或者说闭环传程的所有根均具有负实部；或者说闭环传递函数的极点均严格位于左半平面。递函数的极点均严格位于左半平面。系系统统的的稳稳定定性性只只与与系系统统自自身身结结构构参参数数有有关关，而而与与初初始始条条件件、外外作作用用大大小小无无关关；系系统统稳稳定定性性只只取取决决于于系系统统特特征征根根（闭闭环环极极点点），而而与与系系统统零零点无关。点无关。第4页，本讲稿共24页S平面特征根分布与稳定性关系第5页，本讲稿共24页 3.3.稳定性判断方法稳定性判断方法 l线性系统稳定充要条件线性系统稳定充要条件l奈奎斯特稳定性判据奈奎斯特稳定性判据l对数频率稳定性判据对数频率稳定性判据l李亚普诺夫稳定性判据李亚普诺夫稳定性判据l代数稳定判据代数稳定判据赫尔维茨稳定判据赫尔维茨稳定判据劳斯稳定判据劳斯稳定判据第6页，本讲稿共24页4.4.劳斯稳定判据劳斯稳定判据线性系统稳定的充要条件：线性系统稳定的充要条件：系统特征方程系统特征方程D(s)=a0sn+a1 sn-1+an-1s+an=0(a0 0)各项系数构成的劳斯表第一列各值均为正值各项系数构成的劳斯表第一列各值均为正值。ROUTHROUTH表中第一列出现变号的次数即是系统表中第一列出现变号的次数即是系统所包含的右半平面极点数。所包含的右半平面极点数。第7页，本讲稿共24页第8页，本讲稿共24页 例3-1试用劳斯判据判别系统的稳定性。解：列劳斯表该表第一列系数符号不全为正，因而系统是不稳定该表第一列系数符号不全为正，因而系统是不稳定的；且符号变化了两次，所以该方程中有二个根在的；且符号变化了两次，所以该方程中有二个根在S的右半平面。的右半平面。已知一调速系统的特征方程式为已知一调速系统的特征方程式为第9页，本讲稿共24页劳斯判据特殊情况 劳斯表某一行中的第一项等于零，而该行的其余各项不等于零或没有其余项。若劳斯表第一列中系数的符号有变化，其变化的次数就若劳斯表第一列中系数的符号有变化，其变化的次数就等于该方程在等于该方程在S S右半平面上根的数目，相应的右半平面上根的数目，相应的系统为不稳定。系统为不稳定。如果第一列如果第一列 上面的系数与下面的系数符号相同，则表示该方程上面的系数与下面的系数符号相同，则表示该方程中有一对共轭虚根存在，相应的系统也属中有一对共轭虚根存在，相应的系统也属不稳定。不稳定。是以一个很小的正数是以一个很小的正数来代替为零的这项来代替为零的这项解决的办法据此算出其余的各项，完成劳斯表的排列据此算出其余的各项，完成劳斯表的排列第10页，本讲稿共24页已知系统的特征方程式为试判别相应系统的稳定性。例3-2由于表中第一列由于表中第一列上面的符号与其下面系数的符号相同，表示上面的符号与其下面系数的符号相同，表示该该方方程中有一程中有一对对共共轭轭虚根存在，相虚根存在，相应应的系的系统为统为（临临界）界）不不稳稳定。定。解：列劳斯表第11页，本讲稿共24页改变一次改变一次例3-3第12页，本讲稿共24页改变一次改变一次解法2:第13页，本讲稿共24页劳斯表中出现全零行 用系数全为零行的上一行系数构造一个辅构造一个辅助多项式助多项式，并以这个辅助多项式导数的系数来代替表中系数为全零的行。完成劳斯表的排列。解决的办法这些大小相等、径向位置相反的根可以通过求解这个辅助方程式得到，而且其根的数目总是偶数的。相应方程中含有一些大小相等符号相反的实根或共轭虚根。相应的系统为不稳定。第14页，本讲稿共24页一个控制系统的特征方程为 列劳斯表显然这个系统处于临界(不)稳定状态。例3-4第15页，本讲稿共24页实际系统希望S左半平面上的根距离虚轴有一定的距离。为变量的特征方程式，然后用劳斯判据去判别该方程中是否有根位于垂线此法可以估计一个稳定系统的各根中最靠近右侧的根距离虚轴有多远，从而了解系统稳定的“程度”。代入原方程式中，得到以 稳定判据能回答特征方程式的根在S平面上的分布情况，而不能确定根的具体数据。解决的办法设右侧。Ruoth判据的应用判据的应用第16页，本讲稿共24页例题例题例题35第17页，本讲稿共24页例3-6C(S)R(S)-解第18页，本讲稿共24页解第19页，本讲稿共24页5.5.赫尔维茨稳定判据赫尔维茨稳定判据l稳定必要条件：稳定必要条件：特征多项式各项系数均大于零特征多项式各项系数均大于零。l赫尔维茨稳定判据：赫尔维茨稳定判据：线性系统稳定的充要条件：由系统特征方程线性系统稳定的充要条件：由系统特征方程D(s)=a0sn+a1 sn-1+an-1s+an=0 (a0 0)各各项项系系数数构构成成的的主主行行列列式式及及其其顺顺序序主主子子式式全全部部为正。为正。第20页，本讲稿共24页赫尔维茨赫尔维茨主行列式及其顺序主子式主行列式及其顺序主子式第21页，本讲稿共24页例3-7第22页，本讲稿共24页3-53-5总结：总结：ROUTHROUTH表中第一列出现表中第一列出现0 0l用极子数代替首列用极子数代替首列0 0元素，继续列写元素，继续列写routhrouth表。表。l用全用全0 0行上一行系数构造辅助方程；对辅助方程求导，用行上一行系数构造辅助方程；对辅助方程求导，用求导后的系数作为全零行系数，继续列写求导后的系数作为全零行系数，继续列写routhrouth表。表。l劳斯稳定判据：劳斯稳定判据：ROUTHROUTH表中第一列不变号。表中第一列不变号。l 若变号，变号的次数即为右半平面极点数。若变号，变号的次数即为右半平面极点数。lROUTHROUTH表中出现全为表中出现全为0 0的行的行l用劳斯判据去判别该方程中是否有根用劳斯判据去判别该方程中是否有根 位于垂线位于垂线右侧右侧。l线性系统稳定充要条件：线性系统稳定充要条件：l 闭环系统所有极点均具有负实部或着说所有极点均位于左半闭环系统所有极点均具有负实部或着说所有极点均位于左半s s平面。平面。第23页，本讲稿共24页作业作业l3-12（1）ROUTH判据l3-13 ROUTH判据应用l3-14 ROUTH判据应用第24页，本讲稿共24页