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线性代数讲义第三章第1页，本讲稿共95页第一节 n维向量的定义v 一、一、n n维向量的概念维向量的概念v 二、二、n维向量的表示方法维向量的表示方法v 三、三、向量空间向量空间第2页，本讲稿共95页定义定义1 1分量全为复数的向量称为分量全为复数的向量称为复向量复向量.分量全为实数的向量称为分量全为实数的向量称为实向量实向量，一、维向量的概念第3页，本讲稿共95页例如例如n维实向量维实向量n维复向量维复向量第第1个分量个分量第第n个分量个分量第第2个分量个分量第4页，本讲稿共95页二、维向量的表示方法 维向量写成一行，称为维向量写成一行，称为行向量行向量，也就是行，也就是行矩阵，通常用等表示，如：矩阵，通常用等表示，如：维向量写成一列，称为维向量写成一列，称为列向量列向量，也就是列，也就是列矩阵，通常用等表示，如：矩阵，通常用等表示，如：第5页，本讲稿共95页注意注意行向量和列向量总被看作是行向量和列向量总被看作是两个不同的两个不同的向量向量；行向量和列向量都按照行向量和列向量都按照矩阵的运算法则矩阵的运算法则进行运算；进行运算；当没有明确说明是行向量还是列向量时，当没有明确说明是行向量还是列向量时，都当作都当作列向量列向量；第6页，本讲稿共95页叫做叫做 维向量空间维向量空间 时，时，维向量没有直观的几何形象维向量没有直观的几何形象三、向量空间第7页，本讲稿共95页第二节第二节 向量组的线性相关性向量组的线性相关性v 一、向量、向量组与矩阵一、向量、向量组与矩阵v 二、线性相关性的概念二、线性相关性的概念v 三、线性相关性的判定三、线性相关性的判定第8页，本讲稿共95页 若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组成的集合叫做向量组例如例如一、向量、向量组与矩阵第9页，本讲稿共95页向量组向量组 ,，称为矩阵称为矩阵A的行向量组的行向量组第10页，本讲稿共95页 反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵矩阵.第11页，本讲稿共95页第12页，本讲稿共95页线性方程组的向量表示线性方程组的向量表示方程组与增广矩阵的列向量组之间方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应一一对应第13页，本讲稿共95页定义定义线性组合线性组合二、线性相关性的概念第14页，本讲稿共95页 向量向量 能能由向量组由向量组 线性表示线性表示第15页，本讲稿共95页定义定义向量组向量组 能由向量组能由向量组 线性表示线性表示向量组等价向量组等价注：等价的向量组具有性质：注：等价的向量组具有性质：（1）反身性：一个向量组与其自身等价；）反身性：一个向量组与其自身等价；（2）对称性：）对称性：（3）传递性：）传递性：第16页，本讲稿共95页注意注意定义定义则称向量组则称向量组 是线性相关的，否则称它线性无关是线性相关的，否则称它线性无关第17页，本讲稿共95页第18页，本讲稿共95页定理向量组定理向量组 （当（当 时）线性相关时）线性相关的充分必要条件是的充分必要条件是 中至少有一个向中至少有一个向量可由其余量可由其余 个向量线性表示个向量线性表示证明证明充分性充分性 设设 中有一个向量（比如中有一个向量（比如 ）能由其余向量线性表示能由其余向量线性表示.即有即有三、线性相关性的判定第19页，本讲稿共95页故故因因 这这 个数不全为个数不全为0，故故 线性相关线性相关.必要性必要性设设 线性相关，线性相关，则有不全为则有不全为0的数使的数使 第20页，本讲稿共95页因因 中至少有一个不为中至少有一个不为0，不妨设则有不妨设则有即即 能由其余向量线性表示能由其余向量线性表示.证毕证毕.第21页，本讲稿共95页线性相关性在线性方程组中的应用线性相关性在线性方程组中的应用结论结论第22页，本讲稿共95页定理定理2 2下面举例说明定理的应用下面举例说明定理的应用.证明证明（略）（略）第23页，本讲稿共95页解解例例第24页，本讲稿共95页解解例例分析分析第25页，本讲稿共95页第26页，本讲稿共95页证证第27页，本讲稿共95页第28页，本讲稿共95页注意：注意：第29页，本讲稿共95页第30页，本讲稿共95页第三节第三节 向量组的极大线性无关组向量组的极大线性无关组v 一、最大线性无关向量组一、最大线性无关向量组v 二、矩阵与向量组秩的关系二、矩阵与向量组秩的关系第31页，本讲稿共95页定义定义一、最大线性无关向量组第32页，本讲稿共95页注：注：第33页，本讲稿共95页定理定理2 2二、矩阵与向量组秩的关系定理定理推论：推论：第34页，本讲稿共95页第35页，本讲稿共95页第36页，本讲稿共95页第37页，本讲稿共95页事实上事实上第38页，本讲稿共95页练习：练习：第39页，本讲稿共95页第四节第四节 向量空间向量空间v 一、向量空间的概念一、向量空间的概念v 二、子空间二、子空间v 三、向量空间的基与维数三、向量空间的基与维数v 四、空间向量的坐标四、空间向量的坐标v 五、基变换与坐标变换五、基变换与坐标变换(不做要求不做要求)第40页，本讲稿共95页说明说明2 维向量的集合是一个向量空间维向量的集合是一个向量空间,记作记作 .一、向量空间的概念定义定义1 1设设 为为 维向量的集合，如果集合维向量的集合，如果集合 非空，非空，且集合且集合 对于加法及乘数两种运算封闭，那么就称对于加法及乘数两种运算封闭，那么就称集合集合 为向量空间为向量空间1集合集合 对于加法及乘数两种运算封闭指对于加法及乘数两种运算封闭指第41页，本讲稿共95页第42页，本讲稿共95页例例2 2 判别下列集合是否为向量空间判别下列集合是否为向量空间.解解第43页，本讲稿共95页例例3 3 判别下列集合是否为向量空间判别下列集合是否为向量空间.解解第44页，本讲稿共95页定义定义2 2 设有向量空间设有向量空间 及及 ，若向量空间，若向量空间，就说就说 是是 的子空间的子空间实例实例二、子空间设设 是由是由 维向量所组成的向量空间，维向量所组成的向量空间，一般地，一般地，为为第45页，本讲稿共95页那末，向量组那末，向量组 就称为向量的一个就称为向量的一个基基，称为向量空间称为向量空间 的维数的维数，并称并称 为为 维向量维向量空间空间三、向量空间的基与维数定义定义3 3 设设 是向量空间，如果是向量空间，如果 个向量个向量 ，且满足，且满足第46页，本讲稿共95页 （1）只含有零向量的向量空间称为）只含有零向量的向量空间称为0维向量空间，维向量空间，因此它没有基因此它没有基说明说明 （3）若向量组）若向量组 是向量空间是向量空间 的一的一个基，则个基，则 可表示为可表示为 （2）若把向量空间）若把向量空间 看作向量组，那末看作向量组，那末 的基的基就是向量组的最大无关组就是向量组的最大无关组,的维数就是向量组的的维数就是向量组的秩秩.第47页，本讲稿共95页四、空间向量的坐标四、空间向量的坐标定义定义4第48页，本讲稿共95页第49页，本讲稿共95页第50页，本讲稿共95页第51页，本讲稿共95页第52页，本讲稿共95页第53页，本讲稿共95页第54页，本讲稿共95页第55页，本讲稿共95页五、基变换与坐标变换五、基变换与坐标变换(不做要求不做要求)那么，同一个向量在不同的基下的坐标有什那么，同一个向量在不同的基下的坐标有什么关系呢？换句话说，随着基的改变，向量的坐么关系呢？换句话说，随着基的改变，向量的坐标如何改变呢？标如何改变呢？问题问题：在：在 维线性空间维线性空间 中，任意中，任意 个线性个线性无关的向量都可以作为无关的向量都可以作为 的一组基对于不同的的一组基对于不同的基，同一个向量的坐标是不同的基，同一个向量的坐标是不同的第56页，本讲稿共95页称此公式为基变换公式称此公式为基变换公式第57页，本讲稿共95页由于由于第58页，本讲稿共95页基变换公式基变换公式基变换公式基变换公式 矩阵矩阵 称为由基称为由基 到基到基 的过的过渡矩阵渡矩阵过渡矩阵过渡矩阵 是可逆的是可逆的第59页，本讲稿共95页若两个基满足关系式若两个基满足关系式二、坐标变换公式第60页，本讲稿共95页则有坐标变换公式则有坐标变换公式或或第61页，本讲稿共95页证明证明第62页，本讲稿共95页第63页，本讲稿共95页第64页，本讲稿共95页第65页，本讲稿共95页第66页，本讲稿共95页第67页，本讲稿共95页第五节第五节 欧氏空间欧氏空间(不做要求不做要求)v 一、内积的定义及性质一、内积的定义及性质v 二、向量的长度及性质二、向量的长度及性质v 三、正交向量组的概念及求法三、正交向量组的概念及求法v 四、正交矩阵与正交变换四、正交矩阵与正交变换第68页，本讲稿共95页定义定义1 1内积内积一、内积的定义及性质第69页，本讲稿共95页说明说明1 维向量的内积是维向量的内积是3维向量数量积维向量数量积的推广，但是没有的推广，但是没有3维向量直观的几何意义维向量直观的几何意义第70页，本讲稿共95页内积的运算性质内积的运算性质第71页，本讲稿共95页定义定义2 2 令令长度长度范数范数向量的长度具有下述性质：向量的长度具有下述性质：二、向量的长度及性质第72页，本讲稿共95页解解单位向量单位向量夹角夹角第73页，本讲稿共95页 正交的概念正交的概念 正交向量组的概念正交向量组的概念正交正交若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向量组为正交向量组量组为正交向量组三、正交向量组的概念及求法第74页，本讲稿共95页证明证明 正交向量组的性质正交向量组的性质第75页，本讲稿共95页例例1 1 已知三维向量空间中两个向量已知三维向量空间中两个向量正交，试求正交，试求 使使 构成三维空间的一个正交构成三维空间的一个正交基基.向量空间的正交基向量空间的正交基第76页，本讲稿共95页即即解之得解之得由上可知由上可知 构成三维空间的一个正交基构成三维空间的一个正交基.则有则有解解第77页，本讲稿共95页 规范正交基规范正交基例如例如第78页，本讲稿共95页第79页，本讲稿共95页 同理可知同理可知第80页，本讲稿共95页（1）正交化正交化，取，取 ，求规范正交基的方法求规范正交基的方法第81页，本讲稿共95页（2）单位化单位化，取，取第82页，本讲稿共95页例例 用施密特正交化方法，将向量组用施密特正交化方法，将向量组正交规范化正交规范化.解解 先先正交化正交化，取取施密特正交化过程施密特正交化过程第83页，本讲稿共95页再再单位化单位化，得规范正交向量组如下得规范正交向量组如下第84页，本讲稿共95页例例解解第85页，本讲稿共95页再把它们单位化，取再把它们单位化，取第86页，本讲稿共95页例例解解第87页，本讲稿共95页把基础解系正交化，即合所求亦即取把基础解系正交化，即合所求亦即取第88页，本讲稿共95页证明证明定义定义4 4定理定理四、正交矩阵与正交变换 为正交矩阵的充要条件是为正交矩阵的充要条件是 的列向量都的列向量都是单位向量且两两正交是单位向量且两两正交第89页，本讲稿共95页第90页，本讲稿共95页性质性质 正交变换保持向量的长度不变正交变换保持向量的长度不变证明证明例例 判别下列矩阵是否为正交阵判别下列矩阵是否为正交阵定义定义5 5 若若 为正交阵，则线性变换为正交阵，则线性变换 称为正称为正交变换交变换第91页，本讲稿共95页解解所以它不是正交矩阵所以它不是正交矩阵考察矩阵的第一列和第二列，考察矩阵的第一列和第二列，由于由于第92页，本讲稿共95页所以它是正交矩阵所以它是正交矩阵由于由于第93页，本讲稿共95页例例解解第94页，本讲稿共95页1 1将一组基规范正交化的方法：将一组基规范正交化的方法：先用施密特正交化方法将基正交化，然后再将先用施密特正交化方法将基正交化，然后再将其单位化其单位化五、小结2 2 为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立：为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立：第95页，本讲稿共95页