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机械振动的基本理论1第1页，本讲稿共36页引引引引 言言言言 振动振动振动振动是一种运动形态，是指物体在平衡位置附近是一种运动形态，是指物体在平衡位置附近是一种运动形态，是指物体在平衡位置附近是一种运动形态，是指物体在平衡位置附近作作作作往复运动往复运动往复运动往复运动。物理学知识的深化和扩展物理学知识的深化和扩展物理学知识的深化和扩展物理学知识的深化和扩展物理学中研究质点的物理学中研究质点的物理学中研究质点的物理学中研究质点的振动；工程力学研究研究系统的振动，以及工程构振动；工程力学研究研究系统的振动，以及工程构振动；工程力学研究研究系统的振动，以及工程构振动；工程力学研究研究系统的振动，以及工程构件和工程结构的振动。件和工程结构的振动。件和工程结构的振动。件和工程结构的振动。振动属于动力学第二类问题振动属于动力学第二类问题振动属于动力学第二类问题振动属于动力学第二类问题已知主动力求运动。已知主动力求运动。已知主动力求运动。已知主动力求运动。返回首页Theory of Vibration with Applications振动理论与应用振动理论与应用2第2页，本讲稿共36页 振动问题的研究方法振动问题的研究方法振动问题的研究方法振动问题的研究方法与分析其他动力学问题相与分析其他动力学问题相与分析其他动力学问题相与分析其他动力学问题相类似：类似：类似：类似：选择合适的广义坐标；选择合适的广义坐标；选择合适的广义坐标；选择合适的广义坐标；分析运动；分析运动；分析运动；分析运动；分析受力；分析受力；分析受力；分析受力；选择合适的动力学定理；选择合适的动力学定理；选择合适的动力学定理；选择合适的动力学定理；建立运动微分方程；建立运动微分方程；建立运动微分方程；建立运动微分方程；求解运动微分方程，利用初始条件确定积分常数。求解运动微分方程，利用初始条件确定积分常数。求解运动微分方程，利用初始条件确定积分常数。求解运动微分方程，利用初始条件确定积分常数。返回首页引引引引 言言言言Theory of Vibration with Applications振动理论与应用振动理论与应用3第3页，本讲稿共36页 振动问题的研究方法振动问题的研究方法振动问题的研究方法振动问题的研究方法与分析其他动力学问题不同与分析其他动力学问题不同与分析其他动力学问题不同与分析其他动力学问题不同的是：一般情形下，都选择平衡位置作为广义坐标的是：一般情形下，都选择平衡位置作为广义坐标的是：一般情形下，都选择平衡位置作为广义坐标的是：一般情形下，都选择平衡位置作为广义坐标的原点。的原点。的原点。的原点。研究振动问题所用的动力学定理：研究振动问题所用的动力学定理：研究振动问题所用的动力学定理：研究振动问题所用的动力学定理：矢量动力学基础中的动量定理；矢量动力学基础中的动量定理；矢量动力学基础中的动量定理；矢量动力学基础中的动量定理；动量矩定理；动量矩定理；动量矩定理；动量矩定理；动能定理；动能定理；动能定理；动能定理；达朗伯原理。达朗伯原理。达朗伯原理。达朗伯原理。分析动力学基础中的拉格朗日方程。分析动力学基础中的拉格朗日方程。分析动力学基础中的拉格朗日方程。分析动力学基础中的拉格朗日方程。返回首页引引引引 言言言言Theory of Vibration with Applications振动理论与应用振动理论与应用4第4页，本讲稿共36页振动概述振动概述振动概述振动概述所考察的系统既有惯性又有弹性。所考察的系统既有惯性又有弹性。所考察的系统既有惯性又有弹性。所考察的系统既有惯性又有弹性。运动微分方程中，既有等效质量，又有等效刚度。运动微分方程中，既有等效质量，又有等效刚度。运动微分方程中，既有等效质量，又有等效刚度。运动微分方程中，既有等效质量，又有等效刚度。振动问题的共同特点振动问题的共同特点 返回首页Theory of Vibration with Applications振动理论与应用振动理论与应用5第5页，本讲稿共36页 Theory of Vibration with Applications 返回首页Theoretical Mechanics 第第第第1 1 1 1章章章章 振动的基本理论振动的基本理论振动的基本理论振动的基本理论 1.1 振动系统振动系统 1.2 简谐振动简谐振动 1.3 周期振动的谐波分析周期振动的谐波分析 1.4 非周期函数的连续频谱非周期函数的连续频谱目 录 6第6页，本讲稿共36页 返回首页Theory of Vibration with Applications 1.1 1.1 振动系统振动系统 第第第第1 1 1 1章章章章 振动的基本理论振动的基本理论振动的基本理论振动的基本理论 7第7页，本讲稿共36页 返回首页Theory of Vibration with Applications 1.1 1.1 振动系统振动系统 振动系统一般可分为振动系统一般可分为连续系统或离散系统连续系统或离散系统。具有连续分布的质量与弹性的系统，称为连续弹性体系统。具有连续分布的质量与弹性的系统，称为连续弹性体系统。弹性体是具有无限多自由度的系统，它的振动规律要用时间和弹性体是具有无限多自由度的系统，它的振动规律要用时间和空间坐标的函数来描述，其运动方程是偏微分方程。空间坐标的函数来描述，其运动方程是偏微分方程。在一般情况下，要对连续系统进行简化，用适当的准在一般情况下，要对连续系统进行简化，用适当的准则将分布参数则将分布参数“凝缩凝缩”成有限个离散的参数，这样便得到成有限个离散的参数，这样便得到离散系统。所建立的振动方程是常微分方程。由于所具有的离散系统。所建立的振动方程是常微分方程。由于所具有的自由度数目上的区别，离散系统又称为自由度数目上的区别，离散系统又称为多自由度系统。多自由度系统。8第8页，本讲稿共36页 按系统的自由度划分：按系统的自由度划分：按系统的自由度划分：按系统的自由度划分：振动问题的分类振动问题的分类 单自由度单自由度单自由度单自由度振动振动振动振动一个自由度系统的振动。一个自由度系统的振动。一个自由度系统的振动。一个自由度系统的振动。多自由度多自由度多自由度多自由度振动振动振动振动两个或两个以上自由度系统的两个或两个以上自由度系统的两个或两个以上自由度系统的两个或两个以上自由度系统的 振振振振动。动。动。动。连续系统连续系统连续系统连续系统振动振动振动振动连续弹性体的振动。这种系统连续弹性体的振动。这种系统连续弹性体的振动。这种系统连续弹性体的振动。这种系统 具有具有具有具有无穷多个自由度。无穷多个自由度。无穷多个自由度。无穷多个自由度。返回首页振动概述振动概述振动概述振动概述Theory of Vibration with Applications 1.1 1.1 振动系统振动系统9第9页，本讲稿共36页 按系统特性或运动微分方程类型划分：按系统特性或运动微分方程类型划分：按系统特性或运动微分方程类型划分：按系统特性或运动微分方程类型划分：振动问题的分类振动问题的分类 线性振动线性振动线性振动线性振动系统的运动微分方程为线性方程的振动。系统的运动微分方程为线性方程的振动。系统的运动微分方程为线性方程的振动。系统的运动微分方程为线性方程的振动。非非非非线性振动线性振动线性振动线性振动系统的刚度呈非线性特性时，将得到系统的刚度呈非线性特性时，将得到系统的刚度呈非线性特性时，将得到系统的刚度呈非线性特性时，将得到非线性运动微分方程，这种系统的振动称为非线性振非线性运动微分方程，这种系统的振动称为非线性振非线性运动微分方程，这种系统的振动称为非线性振非线性运动微分方程，这种系统的振动称为非线性振动。动。动。动。返回首页Theory of Vibration with Applications 1.1 1.1 振动系统振动系统10第10页，本讲稿共36页 返回首页Theory of Vibration with Applications 1.1 1.1 振动系统振动系统 线性振动：相应的系统称为线性系统。线性振动：相应的系统称为线性系统。线性振动的一个重要特性是线性叠加原理成立。线性振动的一个重要特性是线性叠加原理成立。非线性振动：相应的系统称为非线性系统。非线性振动：相应的系统称为非线性系统。非线性振动的叠加原理不成立。非线性振动的叠加原理不成立。11第11页，本讲稿共36页 按激励特性划分：按激励特性划分：按激励特性划分：按激励特性划分：振动问题的分类振动问题的分类 自由振动自由振动自由振动自由振动没有外部激励，或者外部激励除去后，没有外部激励，或者外部激励除去后，没有外部激励，或者外部激励除去后，没有外部激励，或者外部激励除去后，系统自身的振动。系统自身的振动。系统自身的振动。系统自身的振动。受迫振动受迫振动受迫振动受迫振动系统在作为时间函数的外部激励下发生系统在作为时间函数的外部激励下发生系统在作为时间函数的外部激励下发生系统在作为时间函数的外部激励下发生的振动，这种外部激励不受系统运动的影响。的振动，这种外部激励不受系统运动的影响。的振动，这种外部激励不受系统运动的影响。的振动，这种外部激励不受系统运动的影响。自激振动自激振动自激振动自激振动系统由系统本身运动所诱发和控制的激励下系统由系统本身运动所诱发和控制的激励下系统由系统本身运动所诱发和控制的激励下系统由系统本身运动所诱发和控制的激励下发生的振动。发生的振动。发生的振动。发生的振动。参激振动参激振动参激振动参激振动激励源为系统本身含随时间变化的参数，激励源为系统本身含随时间变化的参数，激励源为系统本身含随时间变化的参数，激励源为系统本身含随时间变化的参数，这种激励所引起的振动。这种激励所引起的振动。这种激励所引起的振动。这种激励所引起的振动。返回首页振动概述振动概述振动概述振动概述Theory of Vibration with Applications 1.1 1.1 振动系统振动系统12第12页，本讲稿共36页 返回首页Theory of Vibration with Applications 1.2 1.2 简谐振动简谐振动 第第第第1 1 1 1章章章章 振动的基本理论振动的基本理论振动的基本理论振动的基本理论 13第13页，本讲稿共36页 返回首页Theory of Vibration with Applications 1.2 1.2 简谐振动简谐振动1.2.11.2.1简谐振动的表示简谐振动的表示1.用正弦函数表示简谐振动用正弦函数表示简谐振动用时间t的正弦（或余弦）函数表示的简谐振动。其一般表达式为一次振动循环所需的时间一次振动循环所需的时间T 称为周期；单位时间内振动循环称为周期；单位时间内振动循环的次数的次数f 称为频率。称为频率。周期T的单位为秒（s），频率f的单位为赫兹（Hz），圆频率 的单位为弧度/秒（rad/s）。振幅圆频率初相位14第14页，本讲稿共36页 返回首页Theory of Vibration with Applications 1.2 1.2 简谐振动简谐振动1.2.11.2.1简谐振动的表示简谐振动的表示图图描描述述了了用用正正弦弦函函数数表表示示的的简简谐谐振振动动，它它可可看看成成是是该该图图中中左左边半径为边半径为A的圆上一点作等角速度的圆上一点作等角速度 的运动时在的运动时在x轴上的投影。轴上的投影。如如果果视视x为为位位移移，则则简简谐谐振振动动的的速速度度和和加加速速度度就就是是位位移移表表达达式式关于时间关于时间t的一阶和二阶导数，即的一阶和二阶导数，即15第15页，本讲稿共36页 返回首页Theory of Vibration with Applications 1.2 1.2 简谐振动简谐振动1.2.11.2.1简谐振动的表示简谐振动的表示可见，若位移为简谐函数，其速度和加速度也是简谐函数，具可见，若位移为简谐函数，其速度和加速度也是简谐函数，具有相同的频率。有相同的频率。在相位上，速度和加速度分别超前位移在相位上，速度和加速度分别超前位移 和和 。重要特征重要特征:简谐振动的加速度大小与位移成正比，但方向总是简谐振动的加速度大小与位移成正比，但方向总是与位移相反，始终指向平衡位置。与位移相反，始终指向平衡位置。可得到加速度与位移有如下关系可得到加速度与位移有如下关系16第16页，本讲稿共36页 返回首页Theory of Vibration with Applications 1.2 1.2 简谐振动简谐振动1.2.11.2.1简谐振动的表示简谐振动的表示旋旋转转矢矢量量OM 的的模模为为振振幅幅A，角角速速度度为为圆圆频频率率 ，任任一一瞬瞬时时OM 在纵轴上的投影在纵轴上的投影ON 即为简谐振动表达式即为简谐振动表达式2.用旋转矢量表示简谐振动用旋转矢量表示简谐振动17第17页，本讲稿共36页 返回首页Theory of Vibration with Applications 1.2 1.2 简谐振动简谐振动1.2.11.2.1简谐振动的表示简谐振动的表示记 ,复数复数复数Z的实部和虚部可分别表示为的实部和虚部可分别表示为简谐振动的位移简谐振动的位移x与它的复数表示与它的复数表示z的关系可写为的关系可写为3.用复数表示简谐振动用复数表示简谐振动18第18页，本讲稿共36页 返回首页Theory of Vibration with Applications 1.2 1.2 简谐振动简谐振动1.2.11.2.1简谐振动的表示简谐振动的表示由于用复数表示的简谐振动的速度加速度为用复数表示的简谐振动的速度加速度为 也可写成是一复数，称为复振幅。它包含了振动的振幅和相角两个信是一复数，称为复振幅。它包含了振动的振幅和相角两个信息。用复指数形式描述简谐振动将给运算带来很多方便。息。用复指数形式描述简谐振动将给运算带来很多方便。19第19页，本讲稿共36页 返回首页Theory of Vibration with Applications 1.2 1.2 简谐振动简谐振动1.2.21.2.2简谐振动的合成简谐振动的合成 1.两个同频率振动的合成两个同频率振动的合成有两个同频率的简谐振动由于A1、A2的角速度相等，旋转时它们之间的夹角()保持不变，合矢量A也必然以相同的角速度 作匀速转动 20第20页，本讲稿共36页 返回首页Theory of Vibration with Applications 1.2 1.2 简谐振动简谐振动1.2.21.2.2简谐振动的合成简谐振动的合成 由矢量的投影定理由矢量的投影定理 A=A1+A2即两个同频率简谐振动合成的结果仍然是简谐振动，其角频率即两个同频率简谐振动合成的结果仍然是简谐振动，其角频率与原来简谐振动的相同，其振幅和初相角用上式确定。与原来简谐振动的相同，其振幅和初相角用上式确定。21第21页，本讲稿共36页 返回首页Theory of Vibration with Applications 1.2 1.2 简谐振动简谐振动1.2.21.2.2简谐振动的合成简谐振动的合成 2、两个不同频率振动的合成、两个不同频率振动的合成有两个不同频率的简谐振动有理数22第22页，本讲稿共36页 返回首页Theory of Vibration with Applications 1.2 1.2 简谐振动简谐振动1.2.21.2.2简谐振动的合成简谐振动的合成 当频率比为有理数时，合成为周期振动，但不是简谐振动，当频率比为有理数时，合成为周期振动，但不是简谐振动，合成振动的周期是两个简谐振动周期的最小公倍数。合成振动的周期是两个简谐振动周期的最小公倍数。合成的周期若 与 之比是无理数，则无这样一个周期。其合成振动是非周期的。若 ，对于 ，则有23第23页，本讲稿共36页 返回首页Theory of Vibration with Applications 1.2 1.2 简谐振动简谐振动1.2.21.2.2简谐振动的合成简谐振动的合成 令 式式中中的的正正弦弦函函数数完完成成了了几几个个循循环环后后，余余弦弦函函数数才才能能完完成成一一个个循循环环。这这是是一一个个频频率率为为 的的变变幅幅振振动动，振振幅幅在在2A与与零零之之间间缓缓慢地周期性变化。慢地周期性变化。它的包络线24第24页，本讲稿共36页 返回首页Theory of Vibration with Applications 1.2 1.2 简谐振动简谐振动1.2.21.2.2简谐振动的合成简谐振动的合成 这种特殊的振动现象称为这种特殊的振动现象称为“拍拍”，或者说，或者说“拍拍”是是一个具有慢变振幅的振动一个具有慢变振幅的振动 拍频 25第25页，本讲稿共36页 返回首页Theory of Vibration with Applications 1.3 1.3 周期振动的谐波分析周期振动的谐波分析 第第第第1 1 1 1章章章章 振动的基本理论振动的基本理论振动的基本理论振动的基本理论 26第26页，本讲稿共36页 返回首页Theory of Vibration with Applications 1.3 1.3 周期振动的谐波分析周期振动的谐波分析周期振动 展成傅氏级数一个周期 T中的平均值 n=1,2,3,n=1,2,3,基频27第27页，本讲稿共36页 返回首页Theory of Vibration with Applications 1.3 1.3 周期振动的谐波分析周期振动的谐波分析一个周期振动可视为频率顺次为基频 及整倍数的若干或无数简谐振动分量的合成振动过程。在振动力学中将傅氏展开称为谐波分析在振动力学中将傅氏展开称为谐波分析 周期函数的幅值频谱图，相位频谱图。周期函数的幅值频谱图，相位频谱图。周期函数的谱线是互相分开的，故称为离散频谱。周期函数的谱线是互相分开的，故称为离散频谱。28第28页，本讲稿共36页 返回首页Theory of Vibration with Applications 1.3 1.3 周期振动的谐波分析周期振动的谐波分析函数的频谱，说明了组成该函数的简谐成分，反映了该函数的频谱，说明了组成该函数的简谐成分，反映了该周期函数的特性。周期函数的特性。这种分析振动的方法称为频谱分析。这种分析振动的方法称为频谱分析。由于自变量由时间改变为频率，所以频谱分析实际上是由于自变量由时间改变为频率，所以频谱分析实际上是由时间域转入频率域。由时间域转入频率域。这是将周期振动展开为傅里叶级数的另一个物理意义。这是将周期振动展开为傅里叶级数的另一个物理意义。29第29页，本讲稿共36页 返回首页Theory of Vibration with Applications 1.3 1.3 周期振动的谐波分析周期振动的谐波分析周周期期振振动动的的谐谐波波分分析析以以无无穷穷级级数数出出现现，但但一一般般可可以以用用有有限限项项近似表示周期振动。近似表示周期振动。例例1.1 已知一周期性矩形波如图所示，试对其作谐波分析。已知一周期性矩形波如图所示，试对其作谐波分析。解解 矩矩形形波波一一个个周周期期内内函函数数F(t)可表示为可表示为表示表示F(t)的波形关于的波形关于t轴对称，故其平均值为零。轴对称，故其平均值为零。30第30页，本讲稿共36页 返回首页Theory of Vibration with Applications 1.3 1.3 周期振动的谐波分析周期振动的谐波分析n=1，2，3于是，得F(t)的傅氏级数F(t)是奇函数，在它的傅氏级数是奇函数，在它的傅氏级数中也只含正弦函数项。在实际中也只含正弦函数项。在实际的振动计算中，根据精度要求，的振动计算中，根据精度要求，级数均取有限项。级数均取有限项。F(t)的幅值频的幅值频谱如图所示。谱如图所示。31第31页，本讲稿共36页 返回首页Theory of Vibration with Applications 1.4 1.4 非周期函数的连续频谱非周期函数的连续频谱 第第第第1 1 1 1章章章章 振动的基本理论振动的基本理论振动的基本理论振动的基本理论 32第32页，本讲稿共36页 返回首页Theory of Vibration with Applications 1.4 1.4 非周期函数的连续频谱非周期函数的连续频谱函数f(t)的傅氏积分公式f(t)的傅氏变换 的傅氏逆变换 又称非周期函数f(t)的频谱函数。频谱函数的值一般是复数。连续频谱 f(t)称为非周期函数 33第33页，本讲稿共36页 返回首页Theory of Vibration with Applications 1.4 1.4 非周期函数的连续频谱非周期函数的连续频谱例例1-2 试求图所示的单个矩形脉冲的频谱图形。试求图所示的单个矩形脉冲的频谱图形。可求得频谱函数可求得频谱函数f(t)的傅氏积分为的傅氏积分为解解:f(t)可表示为可表示为34第34页，本讲稿共36页 返回首页Theory of Vibration with Applications 1.4 1.4 非周期函数的连续频谱非周期函数的连续频谱其振幅频谱其振幅频谱频谱图傅氏积分和变换，是研究瞬态振动傅氏积分和变换，是研究瞬态振动与随机振动的重要工具。实际应用与随机振动的重要工具。实际应用时，可使用计算机运算或应用各种时，可使用计算机运算或应用各种快速傅氏分析仪器快速傅氏分析仪器(FFT)。35第35页，本讲稿共36页36第36页，本讲稿共36页