8.4.2线性方程组.docx
教 案授课时间 班 周星期 第 节 班 周星期 第 节 班 周星期 第 节课 次1学时数2授课形式(请打)纯理论 纯实践 理实一体化 习题课 其他授课题目 §8.4.2线性方程组 教学目的(1)了解线性方程组解的判定;(2)学会求线性方程组的解教学重点线性方程组解的判定和求解线性方程组教学难点求解线性方程组使用的教具/多媒体/仪器/仪表/设备等PPT; Flash,计算机;Mathematica 软件教学方法讲练结合法教学、合作学习法.教学过程设计意图一、复习:初等行变换的三种变换二、新授引例:一个木工,一个电工,一个油漆工,三人相互同意彼此装修他们自己的房子。在装修之前,他们达成了如下协议:(1)每人总共工作10天(包括给自己家干活在内);(2)每人的日工资根据一般的市价在240-320元之间;(3)每人的日工资数应使得每人的总收入与总支出相等。下表是他们协商后制定出的工作天数的分配方案,如何计算出他们每人应得的工资?用矩阵的初等变换解非齐次线性方程组设非齐次线性方程组为 (8-14)如令则称A为方程组(8-14)的系数矩阵,A为方程组(8-14)的增广矩阵。定理1设线性方程组(8-14)的系数矩阵A的秩为r(A),增广矩阵A的秩为r(A),则1) 当r(A)r(A)时,方程组(8-14)无解;2) 当r(A)= r(A)=n(n为未知数的个数)时,方程组(8-14)有唯一解;3) 当r(A)= r(A)<n时,方程组(8-14)有无穷多组解。例4:解线性方程组解:对方程组的增广矩阵施行初等行变换。即解:对方程组的增广矩阵施行初等行变换。即.A=2-3135-21243-1532-103-1r3+r1-1-2-405-21243-1532-103.5r1+r23r1+r32r1+r4-1r112400-12-840-7-730-5-83r2r3-17r2-14r31240011-37032-10-5-83.-3r2+r35r2+r41240011-3700-12700-367-1r33r3+r41240011-37001-270000.-1r3+r2-4r3+r112087010-17001-270000-2r2+r1100107010-17001-270000所以rA=rA=3,原方程组的唯一解为例5:解线性方程组解:对增广矩阵施行初等行变换,即.A=1-13-112-1-1423-223310-45-1.-2r1+r2-3r1+r3-1r1+r41-13-1101-76001-76001-76-2.-1r2+r4-1r2+r3r3r40-13-1101-7600000-200000由此可得rA=2,rA=3,所以方程组无解.例6:解线性方程组.解:对方程组的增广矩阵施行初等行变换,即.A=1-12-3122-27-1553-33-505.-2r1+r2-3r1+r31-12-312003-43100-34-3-1.r2+r313r21-10-13-143001-43113000000因为rA=rA=2<5,所以方程组有无穷多组解,并且原方程组与方程组x1-x2-13x4-x5=43x3-43x4+x5=13同解,令x2=c1,x4=c2,x5=c3得x1=43+c1+13c2+c3x2=c1x3=13+43c2-c3x4=c2x5=c3(c1、c2、c3为任意常数)解本章引例:设木工的日工资为,电工的日工资为,油漆工的日工资为。则木工的10个工作日总收入应该为10 ,而木工、电工及油漆工三人在木工家工作的天数分别为:2天,1天,6天,按日工资累计木工的总支出为2 + + 6。于是木工的收支平衡可描述为等式同理,可建立描述电工,油漆工各自的收支平衡关系的另外两个等式,将三个等式联立,可得描述实际问题的方程组。整理,得齐次方程组的系数矩阵如下:由此得等价的齐次方程组根据r(A)=2<3齐次方程组有无穷多解,表示为(c为任意常数)为了确定满足条件的方程组的解。即选择适当的c以确定木工、电工及油漆工每人的日工资,取c=288,得所以,木工、电工及油漆工每人的日工资为248、256和288元。三、练习1、设线性方程组AX=b中,若r(A, b) = 4,r(A) = 3,则该线性方程组解的情况如何?2、线性方程组的解的情况如何?3、求方程组的解4、解齐次线性方程组5、求线性方程组的解(1) ; (2) 四、课堂小结1.线性方程组的矩阵表示2.线性方程组解的判定3.求线性方程组的解五、布置作业P159、13、14用一道典型的数学问题引入新课线性方程组的系数用矩阵来表示线性方程组解的解判定,这部分内容要求学生熟练掌握定理结论,不作展开证明用初等变换方法及结合定理1对线性方程组解的情况进行判定唯一解的情况 无解的情况无穷解的情况 无穷多解的解表示求解齐次线性方程组,当无穷多解时注意其解的表示方式 线性方程组求解的实例 结合实际情况进行求解 讲完此道例题后可以引导学生思考:“情境引入”的求解 课堂相应练习进行巩固以提问的方式来小结本次课的内容