3.1导数与微分的概念.doc
教 案授课时间 班 周星期 第 节 班 周星期 第 节 班 周星期 第 节课 次1学时数2授课形式（请打）纯理论 纯实践 理实一体化 习题课 其他授课题目 §3.1 导数与微分的概念教学目的掌握导数的概念及其几何意义；掌握微分与倒数关系教学重点导数的概念及其几何意义教学难点导数与微分的几何意义使用的教具/多媒体/仪器/仪表/设备等PPT; Flash，计算机；Mathematica 软件教学方法图示法；演示法；练习法；讲授法；讨论法；教学过程设计意图一、 引入新课：引例 某企业当生产量为100件时，产品总成本为1200元；当生产量增至150件时，产品总成本为1500元；当生产量增至300件时，产品总成本为2325元，那么，当生产量由100件增加到150件时，平均每件产品增加总成本 当生产量由150件增加到300件时，平均每件产品增加总成本 这说明该企业后一阶段产品总成本增加量相对于生产量增加量的变化速度有所下降。上述例子中，如果已知产品总成本 是生产量的函数，要考察产品在某个生产量点上的变化率情况，则需要引入导数的概念。二、讲授新课：（一）、导数的定义： 先看两个实例1、产品总成本的变化率： 设某产品的总成本c是产量q的函数,即c=f(q).当产量由变到时，总成本相应的增量为：则表示产量由变到时，总成本的平均变化率。 当时，如果极限存在，则称此极限是产量为时的总成本的变化率，在经济学中称为边际成本。2、变速直线运动物体的瞬时速度设表示一物体从某个时刻开始到时间t做直线运动所经过的路程。现在讨论该物体在时的运动速度。当时间由改变到时，物体在这段时间所经过的路程为于是，从时刻到这一段时间内物体运动的平均速度为当很小时，可以用近似地表示物体在时刻的速度，越小，近似程度越好。当趋于零时，如果极限存在，就称此极限为物体在时刻的瞬时速度,即 定义3.1 设函数y=f(x) 在点及其附近有定义，当自变量在点处有增量时，函数f(x)取得相应的增量如果与之比的极限存在，即 (3-1)存在，则称此极限值为函数y=f(x)在点处的导数，记作：若极限（3-1）存在，那么就称函数在点处可导，否则，则称函数在点处不可导例1： 利用定义求函数在点x=-1处的导数解 当x在x=-1处取增量时，对应的函数增量为： 所以 即 如果函数y=f(x)在区间（a,b）内的每一点都可导，就称函数在区间（a,b）内可导。这时，函数y=f(x)对于（a,b）内的每一个确定的值，都对应着一个确定的导数，这就构成了一个新的函数，我们将这个函数叫做函数y=f(x)的导函数，记作： 显然，导数就是导函数在点处的函数值。在不致发生混淆的情况下，导函数简称为导数。例2：求函数y=C(C为常数)的导数。解： （1）求增量：（2）算比值：（3）求极限： 例3 ： 求函数的导数。解： （1）（2）（3）即：例4：设y=x,求.解：（略）（二）、微分及其与导数的关系 设函数y=f(x)在点x处可导，由定义3.1知： 根据2.4节无穷小量与函数极限的关系（2-4）式，得 其中，当 时，因此上式可写成： （3-3）（3-3）式表明，函数的增量可以表示成两项之和：第一项是的线性（一次）函数，第二项，当时是的高阶无穷小。所以，当很小时，把 叫做的线性主部，并把它称为函数y=f(x)的微分。定义3.2 设函数y=f(x)在点x处可导，则称为函数y=f(x)在点x处的微分，记作 即 这时，称函数y=f(x)在点x处可微。 如果将自变量当作它本身的函数y=x，则有;而由例4及（3-4）式，得 ，从而有 .这就是说，函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数，因此，导数又称为微商.例 5： 设，当x由-1改变到-1.02时，求函数的增量与函数的微分。 解: 函数的增量 故函数的微分 例6：求函数的微分。解：（略）（三）、导数与微分的几何意义 一般地，设是曲线上的一个定点，是曲线上异于的任意一点，则割线PQ的斜率为，其中为割线PQ的倾斜角.当时，如果极限 存在，那么，这个极限值就是曲线在点处的切线PT的斜率.函数y=f(x)在点P处的导数 就是曲线y=f(x)在点处切线PT的斜率，即这就是导数的几何意义。函数微分的几何意义就是：在曲线上某一点处，当自变量取得增量时，曲线在该点处切线纵坐标的增量。 由导数的几何意义及直线的点斜式方程可知，曲线y=f(x)上点P处的切线方程为: 例7： 求函数在点 （1，1）处的切线方程。解：斜率为所求曲线在点 P (1,1) 的切线方程为:例8：求在处的导数，并求的图形在处的切线方程.解 所以 =6而当时，所以的图形在处的切线方程即 .（四）、可导与连续的关系 定理3.1 如果函数y=f(x)在点处可导，则它在点处一定连续。事实上，若y=f(x)在点处可导，即存在，这时，所以y=f(x)在点处连续。 但是，这个结论的逆命题不一定成立，即函数y=f(x)在点连续，则它在点处不一定可导。例如：函数在x=0连续，但不可导。 因为所以在x=0处，连续，但不可导。三、 课堂练习：1、求下列函数的导数.（1） （2） （3） （4）2.求曲线在处的切线方程.四、 小结：掌握用导数定义求函数的导数的三步曲，会求函数的导数，理解导数的变化率的概念，理解导数、微分的几何意义，会用导数（变化率）描述一些简单的实际问题。还应注意与区别与联系。五、 作业：P58:1（1）（2）（3），2（1）（2），3,4（1）（2）（3）（4）结合经济实例，引入新课。启发学生思考，边思考边展开讨论。函数在点处的导数的概念，同时也让学生明确导数在经济中的实际意义可以为边际成本。通过例子，再次引导学生了解导数概念的形成过程。从特殊到一般，引导学生得到函数求导的一般方法。给出微分的定义。通过例子讲解加深学生的理解。给出导数与微分的几何意义。给出可导与连续的关系。通过课堂练习，巩固知识。通过总结，进一步体会导数的意义及极限的思想，训练学生的概括能力。 通过完成作业，巩固所学内容。
